练习与习题解答1

1、练习4.11. 函数在区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的值. 解：是初等函数。在其有意义的区间内连续，所以在上连续。又在内存在，在内可导,而因此在上满足罗尔定理所有条件。故有 得 .2. 函数与在上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的值. 解：与在上连续，在内可导，且，所以与在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点，使，即，.3. 证明方程在上存在一个实根.证明：令，由。既方程。若方程则在上连续，在内可导，所以在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点使得,但，矛盾,因此方程在上存在一个实根。4. 证明方程只有一个正根. 证明：令，则在上连续，且

2、，由。既方程在至少有一个正根。若方程还有另外一个正根，.则在上连续，在内可导，所以在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点使得,但，矛盾,因此方程只有一个正根。5. 已知函数，不求的导数，试讨论方程。解：在内连续、可导，且。由罗尔定理知至少存在，使得即方程。又方程=0为三次方程，故它至多有三个实根。因此方程=0有且仅有三个实根，它们分别在区间。6.利用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 证：若,显然成立； ，不妨设 令 ， 易得。所以在内至少存在一点，使得 即于是，所以对于，同理可证。故 （2）若则 证：若 显然等号成立；若，设 ，易得上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得 即

3、. 由，有，于是.所以 .故若，有.（3） 若,则. 证：令 易得在（）上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得 ， 即 .因为 ，所以，于是得而，所以.（4）若，则.证：令 易得在上满足拉格朗日中值定理条件，所以在内至少存在一点，使得,即又因为，所以，由此，即故若，则.7.证明恒等式：.证：令 因为， 所以。取.因此.练习4.21.求下列函数的极限（1）解：=1（2）解： （3）解：（4）解：（5）解：=（6）解：=（7）解：=1（8）解：=（9）解：=1（10）解=1（11）解：=（12）解：=（13）解：=（14）解：=（15） 解：=，而=0所以（16）解：而=所以2.

4、验证极限存在，但不能用洛必达法则得出. 解：=1+而，由有界函数与无穷小的积仍是无穷小知：故=1.若用洛必达法则得：=，此极限不存在，且不为，不满足洛必达法则条件（3），所以不能用洛必达法则得出.3. 验证极限存在，但不能用洛必达法则得出. 解：=0 若用洛必达法则得：=2，这种解法是错误的，因为并不是型，也不是型，所以不能用洛必达法则得出. 练习4.31求下列函数的单调区间（1） 解： 令=0 得 0 的单调增区间为，单调减区间为。（2）解： 令得 舍去 1 0的单调减少区间为，单调增加区间为。2. 证明下列不等式（1）当时，；证：令 ，则，由于 ，所以在内单调增加，于是当时，有 ，即，.（

5、2） 当时，；证：令，则，由于=当时，因此，所以在内单调增加，于是当时，有 ，即，（3） 当时，；证：令，=当时，又设=所以内单调增加，于是有.故，于是当时，即，.（4） 当时，.分析：不等式两边取对数得：，即.证：令（5） ，所以在内单调增加，于是当时，而，所以 ，.3.证明方程有且仅有一实根。证：设 则在内连续因为且仅在处取等号，即不在任何区间内恒等与0，所以在内单调增加。于是在内最多有一个实根。又 而在内连续，所以在内至少有一个实根。故方程有且仅有一个实根。4.求下了函数的极值（1）解： 令 得到，无使不存在的点。 ，所以在处有极大值在处有极小值（2）解： 时不存在，无驻点。1不存在极大

6、值在处有极大值5.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值（1） 解：，令，得 ，无使不存在的点。函数在驻点和端点的函数值分别为： ， ， ， .经比较可知，在上的最大值为，最小值为 .（2） 解：， 令，得， 无使不存在的点。函数在驻点和端点的函数值分别为：， ， ， .经比较可知，在上的最大值为 ，最小值为.6. 一工厂与铁路的垂直距离为20公里，它的垂足到火车站的铁路长为100公里，工厂的产品需经过火车站才能转销外地，为使运费最省，准备在铁路上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为.为了使产品从工厂运到火车站的运费最省，问点应离火车站多少公里？解

7、：如图，已知公里，公里，设公里，那么公里， 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运 （ 第6题）的运费之比为.不妨设铁路每公里货运的运费为，公路上每公里货运的运费.设从工厂到火车站的总运费为，则.，令，得唯一驻点.而，经比较知公里时，总运费最省，此时点离火车站的距离公里。7. 求抛物线的切线与两条坐标轴所围成的三角形的面积的最小值。解：如图，设点为抛物线上任意一点，则.抛物线在点的斜率为.切线方程为， 令，得.令，得. （第7题）即过点的切线在两坐标轴上的截距分别为.于是三角形的面积为.，令，得唯一驻点,且当时，当时，所以为极小值，从而也是最小值，这时切点为.练习4.4求下列函数曲线的凹向

8、区间与拐点（1）解：，令，得.曲线在内上凹，在内下凹，拐点（2）解： = ，D内无使的点也无使不存在的点。所以此曲线无拐点。在内上凹。（3）解：， .时不存在。不存在曲线在内下凹，在内上凹，拐点（4）解：， ， .时不存在。不存在曲线在内上凹，在内下凹，拐点。练习4.51.求下列曲线的渐近线（1）解：=.曲线有水平渐近线.无垂直渐近线.*设有斜渐近线，则，曲线有斜渐近线.（2）解： ，曲线有水平渐近线. ，曲线有垂直渐近线.2.求作下列函数的图形（1）解: （1）定义域为,（2）是奇函数,其图形关于原点对称,无周期性.(3)= 曲线无水平渐近线. = 是曲线的垂直渐近线 设有斜渐近线，则 曲线

9、的斜渐近线为.(4),令，得驻点， ，无使得的点，函数定义域中也无使不存在的点.（5）列表讨论 +0 极大值极小值（6） 作图(2) 解：（1）定义域为 （2） 是奇函数,其图形关于轴对称,无渐近线.（3） 是使不存在的点. 是使不存在的点.（4）列表讨论 0不存在不存在极小值2（5） 补充点和（6） 作图 练习 4.61. 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获最大收入？解：设房租为元时获得的收入为租出去的公寓套数为，由题意知，令，得唯一驻点，又

10、因为，所以当时，取得极大值，即最大值.故房租定为1800元时，可获最大收入.2. 某商品的销售量（吨）是价格（万元/吨）的函数，,问价格为多少时，总收益最大？并求总收益最大时，收益对价格的弹性及需求对价格的弹性.解：依题意，收益函数为 ,令，得（舍去），又由,所以为函数的最大值点.故价格时，总收益最大.此时收益对价格的弹性为.需求对价格的弹性.3. 某工厂生产一种产品的总成本函数为，需求函数为，其中 为产量（等于需求量），为价格，求生产该产品的最优产量和最大利润. 解: 利润 令，得唯一驻点 故是 所以生产该产品的最优产量为625,最大利润为50.4. 假设有某个企业的需求函数已知，需求函数为

11、，该企业的平均成本函数为，其中为需求量也即产量，为价格，求使利润最大时的产量. 解：总成本 由，得则收益于是利润函数： ，得，故的定义域为.令，得由问题的实际意义知，时，不可能有最大利润；同样时，也不可能有最大利润,于是只可能在驻点处取得最大值，而,所以函数的最大值为，故使利润最大时的产量为.5. 设某商品的需求量是单价（单位：元）的函数；商品的总成本是需求量的函数;每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润。解：由得，则收益函数为,于是利润函数,令，得唯一驻点,又因为，所以是函数的极大值点，即最大值点.这时.=167080故当商品单价为101元时，利润最大，最大利润为16

12、7080元.6. 某厂生产一种产品，其年销售量为100万件，每批生产需增加生产准备费1000元，每件产品的年储存费为0.05元，如果年销售量是均匀的，问分几批生产，才能使生产准备费与储存费之和最小？解: 方法一,设批数为,准备费与储备费之和为，则 令，得唯一驻点 ， 所以是极小值点，故分5批生产，才能使生产准备费与储存费之和最小。 方法二:设批量为件,批数为. 由已知, , 令，得唯一驻点, , 所以件是极小值点. 此时的故分5批生产,才能使准备费与储备费之和最小. 习题四1. 选择题： （1）下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是( )；A. B. C. D. 解：A中函数在上连续，在内存在，

13、且，故满足罗尔定理。B中，由于在处没有定义，所以间断，故不满足罗尔定理。C中，由于，所以，故不满足罗尔定理。D中，所以函数在处不连续，故不满足罗尔定理。故选（A）.（2）下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的条件的是( )；A. B. C. D. 解：，即，所以在处不可导，因此上不满足拉格朗日定理的条件。故选（B).（3）函数在区间上( )；A. 满足拉格朗日定理条件，且B. 满足拉格朗日定理条件，但无法求C. 不满足拉格朗日定理条件，不存在D. 不满足拉格朗日定理条件，但有能满足该定理的结论解：，即，所以在处不可导，故函数在区间上不满足拉格朗日定理条件。另外，由拉格朗日定理的结论有，；而由

14、可知，。所以不存在。故选（C）.（4）若对一切，函数存在二阶导数，且，则极限( )（其中为正的常数）；A. 1 B. 0 C. 不存在 D. 解：若对一切，函数存在二阶导数，所以在上满足拉格朗日定理的条件，故有，两边取极限，当时，因此.故选（B）（5）若函数在区间内可导，是区间内任意两点，则至少存在一点，使下列式子成立的是( )；A. ，其中B. ，其中C. ，其中D. ，其中 解：若函数在区间内可导，则在区间内连续，故在上连续，在内可导，因此在上满足拉格朗日定理条件，所以结论D成立。由已知不能确定在端点处是否连续，而A，B，C选项中的区间都包含了或，故不一定满足拉格朗日定理条件，所以结论不一

15、定成立。故选（D）.（6） 函数与在哪个区间上满足柯西中值定理( )；A. B. C. D. 解：在处无定义，所以不连续，而A，B，C中的区间都包含，因此不满足柯西中值定理。D中与在上连续，在内可导，且，因此满足柯西中值定理。故选（D）.（7）函数，则有（ ）A. 一个实根 B. 两个实根 C. 三个实根 D. 没有实根 解：为连续，可导函数，且，所以在上满足罗尔定理条，由罗尔定理知至少存在，使得，即方程至少有两个实根。又方程=0为二次方程，它至多有两个实根。因此方程=0有且仅有两个实根。故选（B）.（8）函数在区间内可导，则是函数在内单调增加的( )；A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条

16、件 C. 充分必要条件 D. 无关条件解：若函数在区间内可导，且，则在内单调增加；反之，若函数在区间内可导，且在内单调增加，则。故选（A）.（9）函数在区间内( )；A. 单调增加 B. 单调减少 C. 有增有减 D. 不增不减解：，令，得驻点，当时，；当时，。故选（C）.（10）下列极限中，能使用洛必达法则的是( )；A. B. C. D. 解：A. 不存在，也不是，因此不能使用洛必达法则。 B. ，用洛必达法则，无限循环，因此不能使用洛必达法则。C. ，因此能使用洛必达法则。D. 不存在，也不是，因此不能使用洛必达法则。故选（C）（11）极限( )；A. 1 B. 0 C. D. 不存在解

17、：=.故选（B）.（12）函数在点处取得极大值，则必有( )；A. B. (C) 且 D. （很小）解：函数在点处取得极大值，则可能为零，也可能不存在，所以A,B,C选项都不对。而D选项是极值的定义。故选（D）.（13）设在内存二阶导数，且满足方程，若是的极值点，则( )；A. 当时，是极小值点B. 当时，是单调增加的C. 当时，是极小值点D. 当时，是极大值点解：若是的极值点，则，将代入原方程得， 当时，是极大值点；当时，是极小值点；故选（C）.（14）已知函数在处有极值，则( )；A. B. C. D. 解：，是极值点，因此，解得。故选（B）.（15）函数在开区间内连续且有唯一极值点，则在

18、内( )；A. 至多有一个驻点 B. 必有且只有一个最值C. 既有最小值，也有最大值 D. 不一定有最值解：如果函数在开区间内连续且有唯一极值，则它就是在内的最值；如果它是极大值（或极小值），则它就是函数在内的最大值（或最小值）。故选(B).（16）设在区间内二阶可导，则是在内上凹的( )；A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件解：设在区间内二阶可导，若，则在内上凹；反之，若在内上凹，则。故选（A）.（17）如果点是曲线的一个拐点，则有( )；A. B. C. D. 解：，点是曲线的一个拐点有，分别代入相应的方程得，解方程组得，假如，则曲线为，无拐点，与

19、已知矛盾，所以。故选（B）.（18）点是曲线( )的拐点A. B. C. D. 解：A. ，曲线无拐点，B. ，曲线无拐点，C. ，点不在曲线上，D. ，时，不存在，且时，；时，所以点是曲线的拐点。故选（D）.（19）设连续，则是点为曲线的拐点的( )；A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上答案都不对解：设存在二阶导数，且，若在的左右邻域内异号，则点为曲线的拐点；若在的左右邻域内同号，则点不是曲线的拐点。反之，点为曲线的拐点，则或不存在。故选（D).（20）曲线的渐近线的条数为( )；A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：，所以是曲线的水平渐近线，无斜渐近线，所以是曲线

20、的垂直渐近线，所以是曲线的垂直渐近线。故选（D).（21）曲线的水平渐近线是( )；A. B. C. D. 不存在解：，所以是曲线的水平渐近线。故选（A）.（22）曲线( )；A. 没有渐近线 B. 有水平渐近线C. 仅有两条垂直渐近线 D. 有斜渐近线解：，所以是曲线的两条垂直渐近线 ，曲线无水平渐近线，设斜渐近线为，则，所以曲线有斜渐近线。故选（D）.*（23）方程在内的实根个数为( )；A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：设，.，令，得唯一驻点，当时，函数单调增加；当时，.，函数单调减少。所以是函数的极大值，也就是最大值。又由于，由连续函数的介值定理与函数单调性知，分别在和内有一个

21、零点，即方程在内有两个实根。故选（C）.*（24）若，则方程( ).A. 有唯一实根 B. 有两个不同实根C. 有三个不同实根 D. 无实根 解：设，由于，所以，函数单调增加。且，因此有唯一的零点，即方程有唯一实根。故选（A）. 2. 已知在区间内存在二阶导数，且，试证明在内至少存在一点，使. 证:由已知条件知在上满足罗尔定理条件,所以存在，使得, , 又因为在上满足罗尔定理条件，所以存在，使得 。3.设可导，且，试证在内至少存在一点，使.证: 令， ， ，所以至少存在一点，使 而 4. 已知在上连续，在内存在，又连接，两点的直线交曲线于，且，试证：在内至少存在一点使. 证:已知三点在同一条直

22、线上，所以线段与的斜率相同，即：。 又因为在上连续，在内可导,所以分别在区间和上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在，使得，故有又因为在内存在，所以在上满足罗尔定理,所以至少存在一点，使得。5. 已知函数在内满足关系式，且，证明：. 证：令，则 由，有 所以 (为常数) 于是 又因为 得 所以.6. 证明：方程最多有3个实根. 证：（用反证法）假设方程有4个实根，分别为，令，则，分别在，上满足罗尔定理条件，故存在，使得；又分别在，上满足罗尔定理条件，故存在，使得；又在上满足罗尔定理条件，故存在，使得。另一方面，与前面产生矛盾。所以假设不成立，故方程最多有3个实根.7. 设在上连续，在内可导，试证

23、：在内存在一点使. 证法（1）:令，由已知有在上连续，在内可导，且，在上满足罗尔定理，所以存在，使得 于是 得 证法（2）：令，且在内存在，则在是满足柯西中值定理条件，所以存在，使得，即，移项得：8. 设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使. 证:令,则在上连续，在内可导，即在上满足拉格朗日中值定理条件，因此在内至少存在一点,使得 而，故 *9. 设函数在上连续，在内可导，且，证明：在内存在两点与，使得.证：函数在上连续，且，由闭区间上连续函数的介值定理知，存在点，使得.在和上分别满足拉格朗日中值定理条件，因此有：，即，即，从而.*10.设在上连续，在内可导；若在内有，使，证明：在内存

24、在两点，使. 证：因为得在，和上分别应用拉格朗日中值定理得，存在，使得存在，使得所以得，.11求下列函数的极限 （1）解：= （2）解：当时，所以（3）解：=（4）解：= =（5）解：=.（6） 解： =.(7)解：=所以=(8)解：= 而= 所以(9)解：而所以（10）解：而所以12.设存在二阶连续可导，求.解： =13设连续可导，且，求.14求下列函数的单调区间. （1）；解：的定义域为.，且仅当时取等号，所以在内单调增加。（2）；解：的定义域为.，令，得驻点，列表 结论：在上单调增加，在上单调减少。（3） ；解：的定义域为.，令，得驻点，列表 1 结论：在上单调减少。在上单调增加。（4）

25、.解：的定义域为.i）当时，在上单调减少。ii）当为偶数且不为零时，令，得驻点，列表 0 0 结论：在和上单调减少；在上单调增加。iii）当=1时，令，得驻点列表 0 结论：在上单调增加，在上单调减少。iv）当为奇数且不为1时，令，得驻点，列表 0 0 结论：在上单调增加，在上单调减少。综上可得：i）当时，在上单调减少。ii）当为偶数且不为零时，在和上单调减少；在上单调增加。iii）当为奇数时，在上单调增加，在上单调减少。15. 设在上连续，且在内有，证明：在内单调增加. 证：令 ，则 由在上连续，且在内可导，有在，上满足拉格朗日中值定理，因此存在使得 因为在内有。所以在内单调递增。 于是，

26、即 得 所以在内单调递增16. 证明下列不等式（1） 当时， ；证：令，所以在内单调增加，故当时，有，即.（2） 当时，；证：令，则在上满足拉格朗日中值定理，所以存在，使得，即.又令，因为，所以，从而在上单调减少，而，所以，因此，即（3） .证：若,不等式显然成立.若，不妨设 ， 令 ， 易得在上满足拉格朗日中值定理，所以在内至少存在一点，使得 即，于是，所以，对于，同理可证.故 17求下列函数的极值（1）解：，令，得驻点， 所以在处有极小值.（2）解： ，令 得驻点， ，所以有极大值，极小值（3）解：， 令，得 驻点列表00极小值0极大值有极小值，极大值.（4）解： ，使不存在的点为，列表不

27、存在极小值有极小值.18. 若函数在处有极大值8，在处有极小值，试求的值. 解：由已知有即 解得：19当为何值时，函数在处取得极值，它是极大值还是极小值？并取出极值。解：在处取得极值，因而是其驻点，得. 所以时，在处取得极大值.20. 已知均为函数的极值点，求的值. 解：，由已知有，即 解得 .21求下列函数在已给区间上的最大值和最小值.（1） 解：, 在上单调增加，因此在上有最大值 ，最小值(2) 解：+，令，得驻点而，.所以在上的最大值，最小值.22. 求在上的最大值，并求.解：，令，得驻点，而，所以在上的最大值.=.23.求下列函数曲线的凹向区间与拐点。（1） 解：的定义域为。， ，令，

28、得当时，曲线在内下凹；当时，曲线在内上凹。拐点，（2）解：的定义域为。 ， ，令，得列表In2In2曲线的下凹区间是和，上凹区间是，拐点是和。24. 试确定曲线的系数，使曲线过点，且以为驻点，为拐点. 解：，由已知可得，将这四个条件分别代入相应的方程得，解得：.25. 当为何值时，为曲线的拐点？解：，.由为曲线的拐点，有，.于是 .26.求下列曲线的渐近线（1）解：曲线无水平渐近线.是曲线的垂直渐近线.设曲线有斜渐近线，则所以是曲线的斜渐近线.（2）解： 曲线无水平渐近线. 是其垂直渐近线.设曲线有斜渐近线，则 是其斜渐近线.27.求下列函数的图形（1） 解：定义域为；为偶函数，图形关于轴对称

29、； 无渐近线； ，令，得驻点 ，令得；列表拐点拐点 补充点；作图 （略） (2)解：定义域为；， 是其水平渐近线； ， 是其垂直渐近线； 无斜渐近线 得驻点 得列表0拐点极小值作图（略）28.讨论方程在取何值时（1）有唯一实根（2）有两个不等实根（3）无实根。解：令 且在内连续， ， ，（1）当时，, ,在内单增，且 因此与轴只有一个 交点，所以当时，有唯一实根。（2）当时，显然 所以无实根。（3）当时，令，得唯一驻点（） ，是极小值点也就是最小值点，最小值，即点在轴上方，与轴无交点，所以 无实根。（4）当时，令，得驻点，, 是极小值点也就是最小值点最小值，点（1，0）在轴上，即与轴只有一个交点，所以有唯一实根。（5）当时，令，得唯一驻点 （）， 是极小值点也就是最小值点，最小值，即点在轴下方，而 , ,曲线在内上凹， 曲线在内上凹，所以与轴有两个交点，分别在和