《三维设计》2013届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线与圆、圆与圆的位置关系知识能否忆起一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr二、圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量化dr1r2dr1r2|r1r2|d r1r2d|r1r2|d|r1r2|小题能否全取1(教材习题改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离解析：选B由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，0d，故该直线与圆相交但不过圆心2(2012·银川质检)由直线yx1上的一点向圆x2

2、y26x80引切线，则切线长的最小值为()A. B2C3 D.解析：选A由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小圆x2y26x80可化为(x3)2y21，则圆心(3,0)到直线yx1的距离为2，切线长的最小值为.3直线xy10与圆x2y2r2相交于A，B两点，且AB的长为2，则圆的半径为()A. B.C1 D2解析：选B圆心(0,0)到直线xy10的距离d.则r22d2，r.4(教材习题改编)若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围是_解析：由题意知 1，解得k.答案：(， )5已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直

3、线方程是_解析：两圆相减即得x2y40.答案：x2y401.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算2对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况直线与圆的位置关系的判断典题导入例1(2012·陕西高考)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能自主解答将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024×39123<0，所以点P(3,0)在圆内故过点P的直线l定与圆C相交答案A本例中若直线l为“xy40”问题不变解

4、：圆的方程为(x2)2y24，圆心(2,0)，r2.又圆心到直线的距离为d32.l与C相离由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交以题试法1(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(2,0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A(2，2) B(，)C. D.解析：选C易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是yk(x2)，即kxy2k0，根据点到直线的距离公式得1，即k2，

5、解得k.直线与圆的位置关系的综合典题导入例2(1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A3B2C. D1(2)(2012·天津高考)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1，1 B(，1 1，)C22，22 D(，22 22，)自主解答(1)圆x2y24的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x4y50的距离d1.故|AB|222.(2)圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，整理得(mn)2

6、280，解得mn22或mn22.答案(1)B(2)D由题悟法1圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|x1x2|.注意常用几何法研究圆的弦的有关问题2求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解以题试法2(2012·杭州模拟)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C， D.解析：选B如图，设圆心C(2,3)到直线ykx3的距离为d，若|MN|2，则d2r22431

7、，即1，解得k .圆与圆的位置关系典题导入例3(1)(2012·山东高考)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切 D相离(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|_.自主解答(1)两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交(2)由题意可设两圆的方程为(xri)2(yri)2r，ri0，i1,2.由两圆都过点(4,1)得(4ri)2(1ri)2r，整理得r10ri170，此方程的两根即为两圆的半径r1，r2，所以r1r217，r1r210，则|C1C2|

8、15; ×8.答案(1)B(2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到以题试法3(2012·青岛二中月考)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_解析：依题意得|OO1|5，且OO1A是直角三角形，SO O1A··|OO1|·|OA|·|AO1|，因此|AB|4.答案：4一、选择题1(2012·人大附中月考)设m0，则直线(xy

9、)1m0与圆x2y2m的位置关系为()A相切B相交C相切或相离 D相交或相切解析：选C圆心到直线l的距离为d，圆半径为.因为dr(m21)(1)20，所以直线与圆的位置关系是相切或相离2(2012·福建高考)直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A2 B2C. D1解析：选B因为圆心(0,0)到直线xy20的距离为1，所以AB22.3(2012·安徽高考)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析：选C欲使直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等

10、于圆的半径即可，即，化简得|a1|2，解得3a1.4过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. B.C2 D3解析：选C设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0xy0y1.分别令x0，y0得A，B，则|AB| 2.当且仅当x0y0时，等号成立5(2013·兰州模拟)若圆x2y2r2(r0)上仅有4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围为()A(1，) B(1, 1)C(0, 1) D(0, 1)解析：选A计算得圆心到直线l的距离为 1，如图直线l：xy20与圆相交，l1，l2与l平行

11、，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离 1.6(2013·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A. B.C2 D2解析：选D圆心C(0,1)到l的距离d，所以四边形面积的最小值为2×2，解得k24，即k±2.又k0，即k2.7(2012·朝阳高三期末)设直线xmy10与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是_解析：由题意得，圆心(1,2)到直线xmy10的距

12、离d1，即1，解得m±.答案：±8(2012·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为_解析：由题意可知圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为2 ，由于a2b2c2，所以所求弦长为2.答案：29(2012·江西高考)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是_解析：点P在直线xy20上，可设点P(x0，x02)，且其中一个切点为M.两条切线的夹角为60°，OPM30°.故在RtOPM中，有

13、OP2OM2.由两点间的距离公式得OP 2，解得x0.故点P的坐标是( ， )答案：( ， )10(2012·福州调研)已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点(1)若|AB|，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x±，则Q点的坐标为(，0)或(，0)从而直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径

14、的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx2y30，所以直线AB恒过定点.11已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：AOB的面积为定值；(2)设直线2xy40与圆C交于点M、N，若|OM|ON|，求圆C的方程解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为(xt)22t2，化简得x22txy2y0，当y0时，x0或2t，则A(2t,0)；当x0时，y0或，则B，所以SAOB|OA|·|OB|2t|·4为定值(2)|OM|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点

15、为H，则CHMN，C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k，t2或t2.圆心为C(2,1)或C(2，1)，圆C的方程为(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于当圆方程为(x2)2(y1)25时，直线2xy40到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆C的方程为(x2)2(y1)25.12在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解：(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)

16、过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A、B等价于4(k3)24×36(1k2)42(8k26k)>0，解得<k<0，即k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)则(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)4.因P(0,2)、Q(6,0)，(6，2)，所以与共线等价于2(x1x2)6(y1y2)，将代入上式，解得k.而由(1)知k，故没有符合题意的常数k.1已知两圆x2y210x10y0，x2y26x2y400，

17、则它们的公共弦所在直线的方程为_；公共弦长为_解析：由两圆的方程x2y210x10y0，x2y26x2y400，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2xy50.圆心(5,5)到直线2xy50的距离为2，弦长的一半为，得公共弦长为2.答案：2xy5022(2012·上海模拟)已知圆的方程为x2y26x8y0，a1，a2，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是_解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为4，故公差最大为.答案：3.(2

18、012·江西六校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|BO|2.(1)求圆M和抛物线C的方程；(2)若P为抛物线C上的动点，求,·,的最小值；(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标解：(1)易得B(1，)，A(1，)，设圆M的方程为(xa)2y2a2(a0)，将点B(1，)代入圆M的方程得a2，所以圆M的方程为(x2)2y24，因为点A(1，)在准线l上，所以1，p2，

19、所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x，y)，则,(2x，y)，,(1x，y)，又点P在抛物线y24x上，所以,·,(2x)(1x)y2x23x24xx2x2，因为x0，所以,·,2，即,·,的最小值为2.(3)证明：设点Q(1，m)，则|QS|QT|，以Q为圆心，为半径的圆的方程为(x1)2(ym)2m25，即x2y22x2my40， 又圆M的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，由两式相减即得直线ST的方程3xmy20，显然直线ST恒过定点.1两个圆：C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B由题知C1：(x1)2(y1)24，则圆心C1(1，1)，C2：