等腰三角形的复习2

1、等腰三角形复习等腰三角形复习 等腰三角形的性质与判定 1.性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已

2、知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.ABCD1 2 2. 若等腰三角形的一个内角是若等腰三角形的一个内角是45,则则它的顶角为它的顶角为90( )1.若等腰三角形两条边的长分别是若等腰三角形两条边的长分别是5和

3、和8,则它的周长为则它的周长为 .21或或18NO(Yes or no!)1、如果等腰三角形的一个外角为如果等腰三角形的一个外角为100，则这个，则这个等腰三角形的顶角为等腰三角形的顶角为 。2、如图，在三角形、如图，在三角形ABC中，中，BC=10，AD=BD，若三角形，若三角形ACD的周长为的周长为18 ， 则则AC长为长为 。ABCDABCED例1：已知，如图等边AEB与等 边BCD在线段AC的同侧求证： ABD EBC A B C DE变式：已知如图ABD与ACE均为等边三角形，求证：DC=BE想一想：你还能写出哪些结论例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E

4、，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 证明：AB=AC ABC=ACB（等边对等角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余） 1=2（等角的余角相等） BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3 已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.求证：AC= BD.证明：BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC= DCAC=

5、BD2121ABCD21例4.如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求A的度数. 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设A=x ，EBD=y，C=zAB=ACABC=C=zBD=BCC=BDC=zBE=DEEBD=EDB=90AD=DEA=AED=x又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ABC+ACB=180（三角形内角和为180）解得x=45即：A=451802zzxyxzyxABCDExyzxyz例5.已知：如图，C=90，BC=AC

6、，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形. 分析分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMD CME得到结果。证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例6.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，求证：DEF也是等边三角形.证明：ABC是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDB

7、CBC=ACCECD=AE在AEF和CDE中AEF CDE（SAS）EF=DE同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G求证：DG=EG 思路思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。证明：过D作DHAE，交BC于HAB=AC DB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.说明说明

8、本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBG EFG，同学们不妨试一试。GCABEDH例8 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q.求证：BP=2PQ思路思路 在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAE ACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ说明说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们

9、细心体会。PCABEDQ1.等腰三角形顶角为36，底角为_。2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。5.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。6.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。练习练习8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。9.如图，在ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=D

10、E=EA，求A的度数。ABCDEBCABCAED 在等腰直角三角形中在等腰直角三角形中,折出折出CAB的平分线的平分线AE,交交BC边边于点于点E. C点在点在AB边上的落点为边上的落点为D,连结连结DE. 2. 若若CE=1,则则DE=_. 3. 你还能找出哪些相等的线段吗你还能找出哪些相等的线段吗? 4. 若若AB=6,则则DEB的周长等于多少的周长等于多少?1. DEAB吗吗?11DB=_.即：即：CE=DE=DBAD=AC=BCCABOCAEFOB 等腰直角三角形等腰直角三角形ABC两底角的平分线两底角的平分线AO与与BO交于点交于点O, 过过O点作底边点作底边AB的平行线交的平行线交

11、AC于点于点F,交交BC于点于点E. 则则: 3. 若若AC=10,则则CEF的周长为多少的周长为多少?2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？三条线段的长度有何关系？1. 图中有几个等腰三角形图中有几个等腰三角形?AF+ EB=FE相等角之间的转化相等角之间的转化相等线段之间的转化相等线段之间的转化CAEFOBABCFEO（二）（二）如图（二）当如图（二）当AC=12,BC=8.求求CFE的周长的周长?解解:因为因为OA平分平分CAB. 所以所以FAO=OAB. 又因为又因为EFAB. 所以所以FOA=OAB. 所以所以FAO=FOA 即即:AF=OF 所以所以AC=AF+FC=OF+

12、FC. 同理可得同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.所以所以CFE的周长的周长: =OF+FC+OE+EC=AC+BC=12+8=20如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?150a 请把这个等腰三角形纸片折成请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰两个等腰三角形三角形！36ABCBCAD36ABC36D请把这个三角形纸片折成两个请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形等腰三角形！2040120ABC2040120CABD2040120ABCD 在下图三角形的边