第3034课时 参数取值问题的题型与方法

1、第3034课时： 参数取值问题的题型与方法（）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<a+5要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+c

2、os2x的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,a+5>3即>a+2上式等价于或，解得a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t1,1,整理得2t24t+4a+>0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)>0

3、,即>a2.(下同)例2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x1对于任意xR恒成立，这又等价于对于任意xR恒成立。不等式（1）对任意xR恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意xR恒成立的充要条件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3设直线过点P

4、（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范

5、围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是

6、充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函

7、数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则的取值范围是（ ）(A) (B)

8、 (C) (D)分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以由于在四个选择支中只有C含有，故选Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示） 说明 由本题可见, 0年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位这也是选择题的应有特点例5当x(1,2)

9、时，不等式(x1)2<logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1<a2.例6函数y=(x1)loga6xlog3a+x+1，其中在x0,1时函数恒正，求a的范围。解：排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为y=f(x)=(log32

10、a6 log3a+1)x+1log32a, x0,1.一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。故有：说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)<0，则有例7对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：

11、不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x<1或x>3.例8.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（a1)(a+2)<0时，即2<a<1时，对一切x1,+)，F(x)0恒成立；）当=4（a1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得3a2;综合可得a的

12、取值范围为3，1说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。4oxy例9关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。解法1（利用韦达定理）：设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根与系数的分布知识）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0时，f

13、(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合题意；a=8时，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合题意。a=8.20. >0,即a<8或a>0时，f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<4.a<8综合可得a8.三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将

14、该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，

15、还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。1几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。2代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。例10已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往

16、不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消

17、去参数k点Q的轨迹方程在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化简得： (3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几

18、何综合问题求解的一条有效通道.例11已知，试讨论的值变化时，方程表示的曲线的形状。解：（1）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线； （2）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线； （3）当时，方程化为，它表示一个单位圆； （4）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆； （5）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆； （6）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的双曲线。（）、求参数的取值范围在解析几何中的应用例12一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期2

19、40元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？ 分析：最优种植安排问题就是要求当非负变量x、y满足条件和时，总利润P达到最大，是线性规划问题。解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得： 即 此不等式组的解为四边形区域（包括边界），这些解通常就叫做本问题的可行解，并称这个区域为问题的可行解区域。而利润P（3×400200）x（5×10080）y960x+420y为二元函数，通常就叫做本问题的目标函数。故所求问题变为：要在此可行解区域内，找出（x，y）点，使目标函数P960x+42

20、0y的值为最大，这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢？观察目标函数P，我们知道：（1） 当P等于任意常数m时，m960x+420y 都是48/21的直线；（2） 若直线l：m960x+420y与可行解区域相交，则对应于此直线的任一可行解，目标函数P的值皆为m；（3） 当直线l：m960x+420y 即 y48/21xm/400过可行解区域，且纵截距最大时，m有最大值，即目标函数P有最大值。由图可知，当直线l过B点时，纵截距最大。解方程组 得交点B（1.5,0.5）所以当x1.5，y0.5时，Pmax960×1.5420×0.51650（元）即水稻种1.5亩，花生种0

21、.5亩时所得的利润最大。 说明：很多数学应用题都与二元一次不等式组有关，而不等式组的解答往往很多，在各种解答中，是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢？求此类问题的解答为数学的一个重要分支线性规划。线性规划是最优化模型中的一个重要内容，它具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点，它是现代管理科学的重要基础和手段之一。利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：（1） 根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域；（2） 设所求的目标函数f（x，y）为m值；（3）将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f（x，y）m在y轴上截距的最大值（最小值）从而得

22、m的最大值（最小值）。 例13某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车。今欲制造40辆甲型车和乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最小？ 分析：这是一个如何安排生产才能发挥最佳效率的问题。最优工作时数的安排问题就是A、B两厂生产甲、乙两种不同型号的汽车数不得低于甲型40辆、乙型20辆时，总工时最少。解：设A厂工作x小时，B厂生产y小时，总工作时数为T小时，则它的目标函数为T=xy 且x3y40 ，2x+y20 ，x0 ，y0可行解区域，而符合问题的解答为此区域内的格子点（纵、横坐标都

23、是整数的点称为格子点），于是问题变为：要在此可行解区域内，找出格子点（x，y），使目标函数T xy的值为最小。由图知当直线l：yxT过Q点时，纵截距T最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点。解方程组 得Q（4,12）为格子点，故A厂工作4小时，B厂工作12小时，可使所费的总工作时数最少。说明：也可以用凸多边形性质去寻找最佳解，要注意到有时符合题意的解仅限于可行解区域内的格子点，此时如果有端点并非格子点，这些点就不符合题意，不是我们要找的解；如果所有的端点都是格子点，所有的端点全符合题意，我们就可用凸多边形性质去找出最佳解。符合本题的解仅为可行解区域内的格子点，其可行

24、解区域的端点P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子点，都符合题意，而它们所对应的目标函数值如下表所示： （x，y） （40,0） （4,12） （0,20） T 40 16 20 故Q（4,12）即为所要找的点。例14私人办学是教育发展的方向。某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表如下（以班级为单位）：班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元）初中 50 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生

25、每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和环境等条件的限制，办学规模以20至30个班为宜。教师实行聘任制。初中、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排找生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？解：设初中编制为x个班，高中编制为y个班。 则 （x>0,y>0,x,yZ）。计年利润为s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs0截距的最大值。过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出s的最大值。联立得A（18,12）。将x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。设经过n年可收

26、回投资，则11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。学校规模初中18个班级，高中12个班级，第一年初中招生6个班300人，高中招生4个班160人。从第三年开始年利润34.8万元，大约经过36年可以收回全部投资。说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。（）、强化训练1（南京市2003年高三年级第一次质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”依此规定， 能说明，“线性相关”的

27、实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 2已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。3设函数f(x)=2x-12-x-1,xR,若当0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求实数m的取值范围。4已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。5试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确

28、定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本3020300劳动力 （工资）510110单位利润68 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8

29、发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？（）、参考答案1分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）2分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要

30、手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由

31、可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msin<2m+2.令t=sin,命题转化为不等式t22mt+(2m+1)>0,t0,1-(*)恒成立时，求实数m的取值范围。接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间0，1的位置关系，分类使g(t)min>0,综合求得m>.本题也可以用

32、函数思想处理，将（*）化为2m(1t)>(t2+1),t0,1当t=1时，mR;当0t<1时，2m>h(t)=2(1t)+,由函数F（u)=u+在（1，1上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, m>,综合（1）、（2）知m>。说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。xyl1l2l-20o4分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和