高中数学必修5不等式复习知识点总结与练习二

1、高中数学必修5_第三章不等式复习知识点总结与练习（二）第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题知识能否忆起1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2线性规划中的基本概念名称意义约束条

2、件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个

3、特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C 0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点2最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入例1(2011·湖北高考)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个B

4、1个C2个 D无数个自主解答由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点A(5,0)，且斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)答案B由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点以题试法1(1)(2012·海淀期中)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3 B2C1 D0(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐

5、标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为_解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5个整点，故选C.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的ABC，且A(2,2)，B(a，a4)，C(a，a)，若a0，则有ABC的面积SABC4，故a0，BC的长为2a4，由面积公式可得ABC的面积SABC(a2)·(2a4)9，解得a1.答案：(1)C(2)1求目标函数的最值典题导入例2(1)(2012·新课标全国

6、卷)设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_(2)(2012·广州调研)已知实数x，y满足若目标函数zaxy(a0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_自主解答(1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线yx过点B(1,2)时，z取得最小值为3；当直线过点A(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为3,3(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线axy0，可知当平移到与直线2x2y10重合，即a1时，目标函数zaxy的最小值有无数多个答案(1)3,3(2)1若本例(2)条件变为目标函数zaxy(a0)仅在点处取得最小值，其它条

7、件不变，求a的取值范围解：由本例图知，当直线axy0的斜率ka1，即a1时，满足条件，所求a的取值范围为(，1)由题悟法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.注意：转化的等价性及几何意义以题试法2(1)设z2xy，其中x，y满足若z的最大值为6，则k的值为_；z的最小值为_(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面

8、区域上的一个动点，则|的最小值是_解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.(2)依题意得，(x1，y)，|可视为点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0

9、)的距离最小，因此|的最小值是.答案：(1)22(2)线性规划的实际应用典题导入例3(2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元B2 400元C2 800元 D3 100元自主解答设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则z300x400y，在坐标平面内画出

10、该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z300x400y取得最大值，最大值是z300×4400×42 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元答案C由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解以题试法3(2012·南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab

11、(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_百万元解析：可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为目标函数为z3x6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为zmin3×16×215.答案：15第四节基本不等式知识能否忆起一、基本不等式1基本不等式成立的条件：a>0，b>0.2等号成立的条件：当且仅当ab时取等号二、几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，

12、bR)；2(a，bR)三、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用

13、和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b>0)逆用就是ab2(a，b>0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件利用基本不等式求最值典题导入例1(1)已知x0，则f(x)2x的最大值为_(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，当且仅当x，即x2时等号成立f(x)2242，f(x)的最大值为2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y

14、·(3x4y)·×25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.答案(1)2(2)C本例(2)条件不变，求xy的最小值解：x0，y0，则5xyx3y2，xy，当且仅当x3y时取等号xy的最小值为.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件以题试法1(1)当x0时，则f(x)的最大值为_(2)(2011·天

15、津高考)已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b2×3(当且仅当3a32b，即a2b时取等号)又a2b24(当且仅当a2b时取等号)，3a9b2×3218.即当a2b时，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值为10.答案：(1)1(2)18(3)10基本不等式的实际应用典题导入例

16、2(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)

17、a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应

18、减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为t元，依题意，有t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax

19、25×850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元练习题小题能否全取1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为()A2xy30B2xy30C2xy30 D2xy30解析：选B将原点(0,0)代入2xy3得2×00330，所以不等式为2xy30.2(教材习题改编)已知实数x、y满足则此不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C1 D.解析：选A作出可行域为如图所示

20、的三角形，S×1×1.3(2012·安徽高考)若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()A3 B0C. D3解析：选A根据得可行域如图中阴影部分所示，根据zxy得yxz，平移直线yx，当其经过点(0,3)时取得最小值3.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是_解析：由可行域知不等式组为答案：5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人数的约束条件是_答案：1(2012·三明模拟)已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a

21、的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：选B根据题意知(92a)·(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2已知实数对(x，y)满足则2xy取最小值时的最优解是()A6 B3C(2,2) D(1,1)解析：选D约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直线l0：y2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2xy)min3.3(2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B.C1,6 D.解析：选A不等式组表示的平面区域如图所示，目

22、标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B处取得，即最大值为6，最小值为.4在不等式组确定的平面区域中，若zx2y的最大值为3，则a的值是()A1 B2C3 D4解析：选A如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数zx2y在点A(a，a)处取得最值，故a2a3，解得a1.5(2012·石家庄质检)已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足则|PQ|的最小值为()A5 B.C2 D7解析：选A不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为xy20，过Q点且与直线AB垂直的直线为y4x5，即xy10，其与直线xy20的交点为

23、，而B(1,1)，A(0,2)，因为1，所以点Q在直线xy20上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故|PQ|min5.6(2013·山东烟台模拟)已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设 Z为在上的投影，则Z的取值范围是()A， B3,3C，3 D3， 解析：选B约束条件所表示的平面区域如图在上的投影为|·cos 2cos (为与的夹角)，xOA30°，xOB60°，30°150°，2cos 3,37(2013·成都月考)若点P(m,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式

24、2xy3表示的平面区域内，则m_.解析：由题意可得解得m3.答案：38(2012·“江南十校”联考)已知x，y满足则x2y2的最大值为_解析：作出如图所示的可行域x2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(3，4)处取最大值(3)2(4)225.答案：259(2012·上海高考)满足约束条件|x|2|y|2的目标函数zyx的最小值是_解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x2，y0时，目标函数zyx取得最小值2.答案：210画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等

25、式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2468101242(个)11某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过1

26、0小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为W2x3y300，如图所示，作出可行域初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值由得最优解为A(50,50)，所以Wmax550(元)答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元12变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；

27、(2)设zx2y2，求z的取值范围解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率. 观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|. 故z的取值范围为2,29小题能否全取1(教材习题改编)函数yx(x0)的值域为()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)解析：选Cx0，yx2，当且仅当x1时取等号2已知m>0，n>0，且mn81，则mn的最小值为()A18 B36

28、C81 D243解析：选Am>0，n>0，mn218.当且仅当mn9时，等号成立3(教材习题改编)已知0<x<1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B.C. D.解析：选B由x(33x)×3x(33x)×，当且仅当3x33x，即x时等号成立4若x>1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则2 2，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：21已知f(x)x2(

29、x0)，则f(x)有 ()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，f(x) 2224，当且仅当x，即x1时取等号2(2013·太原模拟)设a、bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：2，则p是q成立的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B命题p：(ab)20ab；命题q：(ab)20.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件3函数y(x>1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax>1，x1>0.yx122 222.当且仅当x1，即x1时，取等号4(20

30、12·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()Aa<v< BvC.<v< Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为s，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为a<b，所以全程的平均速度为v<，>a，即a<v<.5已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B.C. D不存在解析：选A设正项等比数列an的公比为q，由a7a62a5，得q2q20，解得q2.由4a1，即24，得2mn224，即mn6.故(mn)，当且仅当时等号成立6设a>0，b>0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.7已知x，y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案：38已知函数f(x)x(p为常数，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_解析：由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时