讲义参数估计和假设检验

1、第五章 参数估计和假设检验统计推断：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推 断。两类问题：参数估计和假设检验基本特点：（1）以随机样本为基础； （2）以分布理论为依据； （3）推断的只是一种可能的结果； （4）是归纳推理和演绎推理的结合。归纳推理 从样本 总体演绎推理 大前提（分布规律） 小前提（样本信息） 结果本章主要内容：阐述统计推断的基本原理和常用的几种参数估计和假设检验方法。第一节 抽样分布一、简单随机抽样和简单随机样本的性质不放回不放回 无限总体 有限总体放回放回抽样方法：随机样本：样本性质： 独 立 性 和 同 一 性 同一性 （当n/N5%时，有限总体不放回抽样等同于放回抽

2、样）二、统计量与抽样分布 1统计量：即样本指标。如： 样本均值 ，样本成数 ，样本方差 2抽样分布：某一统计量所有可能的样本的取值形成的分布。性 质 0P（Xi）£1 P（Xi）=1 数字特征 均值E（X） 方差Ex-E(x)2 方差的平方根即抽样分布的标准差就是推断的抽样误差。三、样本均值的抽样分布（简称均值的分布）抽样 总体X，（N） 样本x，（n） 均值=Xi/N 均值所有可能的样本的均值（ ）所形成的分布，称为样本均值的抽样分布。均值分布的数学期望和方差抽 样 方 法均 值方 差标 准 差（1）从无限总体抽 样和有限总体 放回抽样（2）从有限总体 不放回抽样 。 从正态总体中

3、抽样得到的均值的分布也服从正态分布。从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？ 中心极限定理：无论总体为何种分布，只要样本n足够大（n30），均值（ ）标准化为（z）变量，必定服从标准正态分布，均值（ ）则服从正态分布，即：四、两个样本均值之差的抽样分布 从两个总体中分别独立地抽取两个样本（n1, n2），它们的均值之差（ ）所形成的抽样分布。 总体X1（N1） 总体X2，（N2） 样本n1 样本n2 （1）如果： （2）如果两个总体都是非正态总体，只要n1、n2足够大，根据中心极限定理，可知 （有限总体不放回抽样）五、样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布）抽样 总体X，（N） 样本x，（

4、n） 成数P=Ni/N 成数 所有可能的样本的成数（ ）所形成的分布，称为样本成数的抽样分布。成数分布的数学期望和方差抽 样 方 法数 学 期 望方 差标 准 差(1)从无限总体抽 样和从有限总 体放回抽样(2)从有限总体不 放回抽样 根据中心极限定理，只要样本足够大， 的分布就近似正态分布。（当P一定，np和nq大于5时 就近似正态分布。），即成数推断的抽样误差。 六、两个样本成数之差的抽样分布 从两个总体中分别独立地抽取两个样本n1、n2，它们的成数之差（ ）所形成的分布。P1-P2=？ 总体X1，（N1） 总体X2，（N2） （P1） （P2） （估计） 样本n1 样本n2， 当n1、n

5、2都足够大时，样本成数 都近似服从正态分布，两个样本成数之差（ ）也近似服从正态分布。 第二节 参数估计一、参数估计的基本原理两种估计方法 点估计 区间估计 1点估计：以样本指标直接估计总体参数。点估计优良性评价准则（1）无偏性。估计量 的数学期望等于总体参数，即 ， 该估计量称为无偏估计。（2）有效性。当 为 的无偏估计时， 方差 越小， 无偏估计越有效。（3）一致性。对于无限总体，如果对任意 ，有 ,则称 是 的一致估计。（4）充分性。一个估计量如能完全地包含未知参数信息，即为 充分估计量。 2区间估计：估计未知参数所在的可能的区间。区间估计优良性评价要求（1）置信度。随机区间 包含 的概

6、率（即可靠程度） 越大越好。（2）精确度。随机区间 的平均长度 （即误差 范围）越小越好。 置信区间频率解释的图解：以总体均值 为中心的样本均值的正态分布 区间估计的一般形式： 或： 总体参数 估计值 误差范围 ：一定倍数的抽样误差。例如 抽样误差 一定时， 越大，概率（可靠性）大； 随之增大，精确度就差。二、总体均值和成数的置信区间待估参数 已知条件置信区间总体均值 （）正态总体，2已知正态总体，2未知非正态总体，n30未知时，用S有限总体，n30（不放回抽样）未知时，用S两个总体均值之差（1-2）两个正态总体 已知两个正态总体， 未知但相等两个非正态总体n130，n230两个总体成数之差（

7、P1-P2）N1P15, n1q15N2P25, n2q25第三节 分层抽样、整群抽样的估计 待估参数已知条件置信区间分层抽样总体均值 （）有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）各层nh30总体成数 （P）有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）各层nh30整群抽样总体均值 （）有限总体不放回抽样，样本群数r足够大总体成数 （P）有限总体不放回抽样，样本群数r足够大 ·要点解释· 1、分层抽样（等比例分配）总体均值的估计 总体N，2 样本n， 抽样分L层N1，1，12N2，2，22 NL，L，L2 记为：Nh，h，h2 均值： 平均层内估计方差：抽样误差： 置信区间： 分

8、层抽样的抽样误差决定于平均层内方差。 2、整群抽样总体均值的估计 总体群数R 样本群数rFEDBCAC C JQPMLKJIGH L PN O 均值： 估计群间方差： 抽样误差： 置信区间： 整群抽样的抽样误差决定于群间方差。样本数的确定 例：误差范围 待估参数已知条件样本数的确定简单随机抽样总体均值 （）正态总体，2已知有限总体，不放回抽样，2已知总体成数 （P） 服从正态分布，有限总体，不放回抽样分层抽样总体均值（）有限总体不放回抽样，等比例分配样本整群抽样总体均值（）有限总体不放回抽样， 服从正态分布第四节 假设检验的基本原理一、假设检验的基本思想 1小概率原理 如果对总体的某种假设是真

9、实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。抽样总 体 样 本 （某种假设） 观察结果检验 （接受） （拒绝） 小概率事件 小概率事 未 发 生 件 发 生 2假设的形式 H0原假设， H1备择假设 双尾检验：H0：=0 ， H1：0 单尾检验：H0：0 ， H1：0 H0：0 ， H1：0 假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。二、假设检验规则与两类错误 1、确定检验规则 检验过程是比较样本观察结果与总体假设的差异。差异

10、显著，超过了临界点，拒绝H0；反之，差异不显著，接受H0。 差 异临界点判 断 c拒绝H0 c接受H0 怎样确定c? 2、两类错误 接受或拒绝H0，都可能犯错误 I类错误弃真错误，发生的概率为 II类错误取伪错误，发生的概率为检验决策H0为真H0非真拒绝H0犯I类错误（）正确接受H0正确犯II类错误（） 大就小，小就大 基本原则：力求在控制前提下减少 显著性水平，取值：0.1, 0.05, 0.001, 等。如果犯I类错误损失更大，为减少损失，值取小；如果犯II类错误损失更大，值取大。 确定，就确定了临界点c。 设有总体：XN（，2），2已知。随机抽样：样本均值 。接受域 标准化： 。拒绝域拒

11、绝域确定值，查概率表，0Z 知临界值计算Z值，作出判断。三、假设检验的一般步骤（1）建立总体假设H0，H1 （2） （3） （4）抽样得到样 选择统计量 根据具体决策 本观察值 确定H0为真 要求确定 （6） 时的抽样分布 （5） 计算检验统计量 确定分布上的临界（7）比较并作出检验判断 的数值 点C和检验规则第五节 几种常见的假设检验一、总体均值的检验0Z类型条 件检验统计量H0、H1 拒绝域 ZZ0t0t0t-Z0Z0Z0ZI正态总体2已知(1) H0：=0 H1：0(2) H0：0 H1：0(3) H0：0 H1：0-ttII正态总体2未知(n30)(1) H0：=0 H1：0(2) H

12、0：0 H1：0(3) H0：0 H1：0-ZZ00ZIII非正态总体n302已知或未知(1) H0：=0 H1：0(2) H0：0 H1：0(3) H0：0 H1：0二、两个总体均值之差的检验类型条 件检验统计量H0、H1 拒绝域 -Z0Z0ZZ0ZI两个正态总体1, 2已知(1) H0:1=2 H1:12(2) H0:12 H1:12(3) H0:12 H1:12-tt00tt0tII两个正态总体1，2未知，但相等(1) H0:1=2 H1:12(2) H0:12 H1:12(3) H0:12 H1:120Z-Z0ZZZ0III两个非正态总体 n130,n230, 1,2已知或未知(1) H0:1=2 H1:12(2) H0:12 H1:12(3) H0:12 H1:12三、