数列部分常用方法总结

1、数列部分常用方法总结2015/11/22数列通项的求法公式法1运用等差(等比)数列的通项公式2已知数列an前n项和Sn ,则an(注意：不能忘记讨论S<|n = 1Sn - Sn /n 乏 2求此数列的通项公式。例1已知数列an的前n和Sn满足log2(Sn 1) = n 1,所以an32n解得 Sn =2n 1 _1 ，当 n=1 时 aj =3,当n _2时 an 二Sn -Sn=2n “ -2n = 2n(n =1)(n _2)解决方法anan f(n)( f n可以求和)累加法例2在数列：a/?中，已知a1=1,当n _2时，有aanj 2 n -1 n _2，求数列的通项练习:

2、1、已知数列a1=2， an 1 = an +3n+2,求 an。公式。解析：Tan_ an d-2n-1(n _2)a 2 - a1=3上述n -1个等式相加可得a 3 - a 25a n - a n丄=2n-1an- a1 二2 n-1an2二 n2、 已知数列 订满足a1, an =3nanJ n -2 ,求通项公式ann 1*3、 若数列的递推公式为a1 =3,an 1 =an -2 3 (n N )，则求这个数列的通项公式4、已知数列 曲 满足a1,且1，则求这个数列的通项公式n 1an_1 a _n(n+1)解决方法三.an1 = f(n) an( f(n)可以求积)累积法例3在数

3、列3”中，已知 印=1,有nan J二n 1 an，( n - 2)求数列：an的通项公式。a n n解析：原式可化为 a n丄二n 1n _1na n _ananan Aan _2an 3 a2a1T=i(3.n 1 n n 14 3 n 1又T 6也满足上式；.an(n N)2练习：1、已知数列、an 满足a1 =,3n： ；1一 an，求 an。n 12、已知 a1, a. = n(an 1 -a.) (nN ),求数列通项公式.a n丄3、已知数列 gj满足3i =1, an1 = nan，求通项公式a“解决方法四. an 1二Aan B(其中A,B为常数A = 0,1 )'待

4、定常数法可将其转化为an 1A(an t)，其中t二一B-，则数列、an "为公比等于A的A 1等比数列，然后求an即可。例4在数列 G餐中，3 =1，当n 2时，有an =3an-2，求数列:aj的通项公式。解析：设 an t =3 ant，则 an =3an 2tt -1，于是 an，1 =3 an4 1 an 'V是以a11 = 2为首项，以3为公比的等比数列。a =2 3nJ-1练习：1、在数列 中，a1 , an 2an - 3，求数列 订鳥的通项公式。2、 已知 a1 = 2 , an - 4an 2 ，求 an。3、 已知数列an满足a2,an 2an (2n-

5、1)，求通项a.4.已知数列an满足an v =3an 5 2n 4, a1 =1，求数列an的通项公式。五_c an五.an 1：pan +d解决方法_T 倒数法2 an，求 an。1解析：两边取倒数得： an 112an-1,设丄二0,则 bn 1 -2 bn =1 ；an21令bn 12（bn t）；展开后得,t 一2 ； . 丄bn 22171.Ibn -2是以0-2=丄-2 = -7为首项，一为公比的等比数列。a142；即丄一2二-an心得；练习：1、设数列an满足ai = 2, aanan1,求 an.2、在数列an中，4=2,an1 ，求数列an的通项公式.an 33、在数列an

6、中，ai =1,an i -2a屮，求数列an的通项公式.证明是等差（等比）数列的方法、禾U用等差（等比）数列的定义在数列an中，若a. - a二d （ d为常数）或二q （ q为常数），则 an数列an为等差（等比）数列这是证明数列an为等差（等比）数更最主要的1一 ann为偶数2 一 , an ' 一n为奇数4方法如:1例1 （2005北京卷）设数列可的首项6 = a = -，且a* 1二4记 bn 二 a?(I)求a?, a3; (n )判断数列0是否为等比数列，并证明你的结论.11 111解：(I)比"1 a* 4 a-2a2a 8 ；113* 为虫34=238，所以

7、,241611u 11 1 111所以 dy a , b2=a3a , b3=a5a-4442I 4丿4414 丿1猜想：是公比为1的等比数列.1 11 1 (11证明如下：因为 0 1 = a2n 1a2na2n Jbn,(n N )4 242(4丿 21 1所以bn是首项为a-，公比为-的等比数列.评析：此题并不知道数列0的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。例2 ( 2005山东卷)已知数列an的首项a5 ,前n项和为Sn ,且Sn 1 =2Sn n 5n N j(I )证明数列an 1是等比数列；(n)略.解：由已知Sn 1 = 2Sn 5 5(n N*)可得n

8、 2时，Sn =2Sn-n - 4两式相减得:S.1 -Sn VSn)1，即 an2an 1，从而时仁2 1),当 n i 时，S2 =2S +1 +5，所以 a2 +印=2印 +6 ,又 a1 =5，所以 a2 =11,从而 a? 1 二 2(a1 1).a+1故总有 an 1 1 二 2(an 1), n N ",又印=5, a10，从而 42 .an +1所以数列an 1是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S的式子再类似写出含 Sn4的式子，得到anpan q的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项an的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常米用的两个

9、式子 an-an4=d和an - an = d有差别,前者必须加上“ n > 2 ”，否则n =1时氏无意义，等比中一样有：n > 2时，有电=H|=q (常数式0 );门 N*时，有空=H = q (常数式0).an 1an二运用等差或等比中项性质an an 2 =2an 1二an是等差数列，anan .2 = an/(an = 0)二an是等比数列，这是证明数列an为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3 (2005江苏卷)设数列aJ的前项为Sn，已知a =1, a2 =6, a3 -11，且(5n -8)Sn1-(5n 2)S=An B, n =1,2,3,川,其中 A, B

10、 为常数.(1)求A与B的值；(2)证明数列an为等差数列；(3)略.解：(1)由 a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，得 S = 1, S2 = 7, §3=18 A 亠 b = _28 把 n =1,2 分别代入(5n -8)&1 -(5n 2)S An B，得一'2A+B=48k解得，A 20 , B=8 (n )由(I )知，5n(Sn 1 Sn) 8Sn 1 2Sn 20n8，即5nan 1 - 8Sn 1 - 2Sn -20 n - 8 ,又5(n 1)0. 2 -8&2 -2Sn-20(n 1)-8 -得，5(n 1)an 2 - 5n

11、an 1 _8an 2 - 2°n 1 = -20 ,即(5n 3)an 2 -(5n 2)an 1 二-20 又(5n2)an 3 -(5n 7)an - -20 .-得，(5n 2)(an 3Ta. 2 ' a. 1) = 0 ,' a.3 -2an2a. 1 =0 ,二 an 3 -an 2 =2 一o. 1 = HI =狂 一a? =5，又 a2=5,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘Sn的意义导出递推关系式，灵活巧妙 地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4 (高考题改编)正数数列an和0满足：对任意自然数n

12、,耳，bn, anM成等差数列，0, ani, 0 1成等比数列证明：数列、.瓦为等差数列.证明：依题意，an0,bn0,2bn"n an1，且a. i= i ,an =、. bnbn(n > 2) 2bn 二 Jbnh Jbnbn / 由此可得 2x b , bT7 即；昭-1 bn瓦-兀(n > 2).数列.石为等差数列.评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于-.6 的等差数列，使问题得以解决.前n项和的求法、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式:Sn(a1 an) na n(n-1

13、).Snna1dnaj2 2(q =1)2、等比数列求和公式:Sn =彳 ai(1 qn)ai -anq1 -q解:4、Sn工為 k2 工1 n(n 1)(2n 1)6k 411 2= 7(n 1)T23已知log 3 x，求x x x 亠log 2 3xn 的前n项和.由 log 3 x =log 2 3-1 1二 log 3 x _ - log3 2= x =-2由等比数列求和公式得Sn 二 x x2x3 学 "xn(利用常用公式)11n(1-)=1-1 2 1 x(1 _x ) _ 2'2n的最大值.例 2 设 5 = 1+2+3+n, n N ,求 f (n)(n +

14、32)&申1 1（利解：由等差数列求和公式得Sn =2 n（n T）, Sn =2（n，1）（n - 2）用常用公式）f(n)二Sn(n 32)Sn 1n234n64n 34nf (n)max当、n - 8 ，即8时,J8504"-l"i2n2题1.等比数列匕的前n项和 Sn = 2n - 1,y I Ij22232题 2 .若 1 +2 + +(n-1) =an+bn+cn,贝U a= ,b=,c=（軒-1）用（2旳一1）2«3 - 3w2111解：原式=】L答案：:1 I'二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这

15、种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an卜 bn 分别是等差数列和等比数列 例 3 求和：sn =1 3x 5x2 7x3（2n -1）xn解：由题可知，（2n- 1）xnJ的通项是等差数列2n- 1的通项与等比数列xn的通 项之积设 xSn =1x 3x2 5x3 ' 7x4 （2n _1）xn.（设制错位）得（1 -x）Sn = 1 2x 2x2 2x3 2x42xn* -（2n-1）xn（错位相减）1n_1再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Sn = 1 2x丄 -（2n -1）xn1 - xSn =(2n 一 1)xn 1 一(2n 1)xn(1 x)(1-x)

16、2Qn-前n项的和2n2n1解：由题可知， 2n 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 n 的通项之积24=+2_222例4求数列2,$,$,2 22 23设Sn2Sn位）62n+ +22 232n462n-+ + . .+2324（设制错（错位相减）Sn=2 -2n 22n2* 12 2n2 2 2 2=+ + + + + 2222324n n 也三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1 an）.例 5 求证：c° 3cn - 5C； h 叫2n 1)C：二(n 1)2n证明：设 Sn

17、 =C0 3cn 5Cn - (2n T)C：把式右边倒转过来得Sn =(2n 1)cn (2n-1)C：- 3C； -cn°（反序）又由cfm二c：可得.0 1Sn =(2n 1)Cn (2n -1)6+得2Sn =(2n 2)(C： cnC：) = 2(n 1) 2n（反序相加）=(n 1) 2n例 6 求 sin21 si n22 sin 23 飞 in2 88 sin 289 的值解：设 S =s in21sin2 2 sin 23飞 in2 88si n 2 89S =si n289 sin 2 88sin3 sin2 sini(反序)又因为 sin x 二 cos(90

18、x),sin x cos x = 1得89 ) = 89 + (反序相加)2 0 2。 2 0 2© 2。 22S 二(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )亠 亠(sin 89 cosS= 44.5已知函数(1)证明求110丿(9丿的值.解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，两式相加得:四、分组法求和所以 -有一类数列，既不是等差数列,也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 例8求数列n(n +1)(2n+1)的前n项和.解：设 ak =k(

19、k 1)(2k 1) =2k3 3k2 knnSn =為 k(k 1)(2k1) = ' (2k3 3k2 k)kh（分组）（分组求和）将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2 k33、k2' kk 4k 4k 4=2(1323 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 -亠 n)2 2n2(n 1)2 n(n 1)(2 n 1) n(n 1)2 2 2=n(n +1)2( n +2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合， 使之能消去一些项,最终达到求和的目的 .通项分解（裂项）如:(1)

20、an=f (n 1)-f (n)(2)sin1tan(n 1) - tan ncos n cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)an 二(2n)2(2n -1)(2n 1)1 1-e-2 2n -1 2n 1(5)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)ann 212(n 1) - n 1n(n 1) 2nn(n 1)2n n 2n (n 1)2n(n 1)2n(7)an(An B)(An C) C - B An B An C(8)an=二 n 1 -n. n * ：扌n 1例9求数列1 、2 .2 .3 I n，n 八 的前“项和.解：设ann1-i nJn

21、+如 +1（裂项）和）Sn = 1-= += + + 厂”n 12. 2 仁 3. n n 1（裂项求=(.2 - .1) (.3 -、2)( n 1 -n)=8(1 -nn2二数列bn的前n项和1 1111Sn - 8(1)()()22334（裂项）- .n(ln=n 11例10在数列an中，1an :2 + + *n+ ,2又bn，求数列bn的前n项n 1n 1n 1an ，anJ!的和解：/12nnan :.+ +n 1n 1n 12（裂项求和）例11求证:=8(1 -n 1)8nn 11cosO cos11cos1 cos 21cos88 cos89cos1sin211 1 1解：设S

22、 =八 JlooQQQOcosO cos1 cos1 cos 2cos 88 cos 89（裂sin itan(n 1) -tanncosn cos(n 1)项)1 1 1S(裂项cosO cos1 cos1 cos2cos88 cos89求和)IaQ.O0,Q0.00(tan 1 -tanO ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 - tan2 ) tan 89 - tan88 sin1a11 一cos1=- (tan 89 _ tan 0 ) =- cot 1 =2 si n1si n1sin 1原等式成立丄+丄+f 1 一练习题1.1x4怕-2)x(弼+ 1) n答案：川-.练

23、习题2。:T + =1 1 1+ 答案：223丹+2丹+3六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° 解：+ + cos178° + cos179 ° 的值.设 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179殊性质项）并求和） cosn - -cosQ80 -n ) Sn= (cos1 °

24、+ cos179°) + ( cos2° + cos178°) + (cos3+(cos89° + cos91°) + cos90°+ cos177°（找特)+ '(合例13数列何：31 T, 3 *2 = 3, 33 = 2, 3n 2 = 3n 1 - 3n，求 S2002.解：设&002 = 3i32 ' 3彳 3200237=1 , 38 = 3,39 = 2, 3w 二 一 1, 311 = 一 3, 31236k 1- 1,36k 2-3, 36k 3 2, 36k 4 = _1, 36k

25、 5-3,36k 6 二 _236k 136k 236k 336k 436k 536k 6 = 0（找特殊性质项）S20023i32333 2002（合并求和）81999 a20oo a2ooi 82002a6k 136 k讦2 ' a6k 3 ' a6k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求log3 a1 log3 a - log3 a10的值.解：设 Sn = log3 ai Iog3 a?亠 Togsag（找特由等比数列的性质m n二p q= aman二apaq殊性质项）和对数的运算性质loga M loga N =loga M N 得Sn =(log3a1 logsag) (logsa? logsag),log3a5lo