数列精彩试题

1、阶段性测试题五（数列）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）S3 P1.（理）（2011市调研）已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足空=1,则数列an的公差是（C. 2答案解析n n 1设an的公差为d,贝U Sn = na1 +2d,半是首项为a1,公差为2的等差数列,普多=1，二d= 1,.d= 2.2. (2011 二中检测，四校联考 )已知数列an满足 log3an + 1 = Iog3an +1(n N*

2、)且 a2 + a4 +1a6= 9，贝U Iog§(a5 + a7 + a9)的值是()C. 51D5答案A分析根据数列满足Iog3an+ 1 = Iog3an+ 1（n N*）.由对数的运算法则，得出an+1与an的关系，判断数列的类型，再结合 a2 + a4 + a6= 9得出a5+ a7+ a9的值.* I 解析 由 Iog3an+ 1 = Iog3an+i(n N )得,an+1= 3an,Tan>0,.数列an是公比等于 3的等比数列,35-a5+ a7 + a9 = (a2 + a4 + a6) x 3 = 3 ,1 5 Io g 3(a5 + a7 + a9)=

3、 log 33 = 5.3. (理)(2011百校论坛联考)已知a>0, b>0 , A为a, b的等差中项，正数 G为a, b的 等比中项，贝U ab与AG的大小关系是()A . ab= AGB. ab> AGC. abw AGD .不能确定答案Ca+ b 解析由条件知，a+b= 2A,ab= G2,.A= > .ab= G>O,.AG >G2,即卩AG> ab,故选C.点评在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差（等比）数列的公式及性质的运用.14. （2011潍坊一中期末）各项都是正数的等比数列an的公比qz 1,且

4、a2,艺3, a1成等差数列，则a3+a4的值为（）a4 + a5D.号或号答案1解析'a2, qa3, a1 成等差数列， a3 = a2+ a1,5 1an是公比为 q 的等比数列， a1q2= ag+ a1,.q2 q 1 = 0,Tq>0,.q = ' 25. (2011日坛中学月考)已知数列an满足a1= 1, a2= 1, an+1= |an an-1|(n> 2),则该数列前2011项的和S2011等于（A. 1341B. 669C. 1340D. 1339答案A解析列举数列各项为:1,1,o,1,1,o, -bn = an+ 1(n= 1,2,),

5、54 , - 24,18,36,81,2011 = 3X 670 + 1 , S2011= 2X 670 + 1 = 1341.6. （理）（2011皖南八校联考）设an是公比为q的等比数列，令 若数列bn有连续四项在集合 53, 23,19,37,82中，贝U q等于（答案C解析集合 53, 23,19,37,82中的各元素减去1得到集合32）在等差数列an中，其前n项和是Sn，若Sl5>0，Sl6<0,其中一24,36 , - 54,81 或 81,- 54,36, 24 成等比数列，二 q =-或一g这样詈>0，S2>0，a8>0，詈<0,S10S10

6、<0,S15，S5<0，而 0<S1<S2<<S8,a1沁>a8>0，所以在鲁，学,，签中最大的是学，故选B.& （2011新余四中期末）在厶ABC 中,sinA cosA签CCOSA是角A、B、C成等差数列的（S1S2则在一，一，S15中最大的是( )a1a2a15S1A.-S8B.S9C."S15D_a1a8a9a15答案B16 a1 + a16解析由于 S15= 15a8>0,S16=2=8(a8+ a9)<0，所以可得 a8>0, a9<07.（理）（2010西南师大附中月考A .充分非必要条件B

7、充要条件C. 必要非充分条件D. 既不充分也不必要条件答案AsinA 2cosC+ cosA解析贏=A? 2sinAsinC-sinA = 2cosAcosC + cosA? 2cos(A+ * 1 = 0? cosB= 2? B = / A+ C= 2B? A B、C成等差数列.但当A、B、C成等差数列时，藝AA2cosC+ cosA不2si nC sinA定成立，如A=n B=n C=n故是充分非必要条件.故选A.9.（理）（2010调研）已知F1、F2分别是双曲线X2 24= 1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列，则F1PF2的

8、面积为（）A. 24B. 22C. 18D. 12答案A解析由题意可知|PF2|<|PF1|,所以点P在双曲线的右支上，所以|PF1| |PF2|= 2,又|PF2|+ |F1F2|= 2|PF1|,即 |PF2|+ 10= 2|PF1|,联立解得 |PF1|= 8, |PF2|= 6，所以 F1PF2 是以点 P 1为直角顶点的直角三角形，所以面积为2 X 8X 6 = 24.10.（理）（2011嘉积中学模拟、诊断1口)若数列an满足：an+1= 1 an且a1 =2,则a2011等于( )11A . 1B. 2C. 2D."2答案C解析1a1= 2, a2= 2 a3=

9、1,1a4= 2, a5 = 2 a6= 1,依次类推，数列an的周期11.（理）（2011豫南九校联考）设数列an是以2为首项,1为公差的等差数列, bn是以是 3,而 2011 = 3X 670+ 1,故 a2oii = ai = 2.1为首项，2为公比的等比数列，则ab1 + ab2+ ab10=（）A. 1033B. 1034C. 2057D. 2058答案A解析an= 2+ (n 1)X 1 = n + 1, bn= 1 X 2 1 = 2 1ab1 + ab2 + + ab10 = a1+ a2 + a4 + + a29= (1 + 1) + (2 + 1) + (22 + 1)

10、+ + (29 + 1)= 101 X 210 1 +2 1=210 + 9= 1033.12. （理）（2010质检）在数列an中，an+1 = an+ a（n N*, a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量OA, OB , OC满足OC= a1OA + a2010OB ,三点A、B、C共线且该直线不过 O点， 则S2010等于（）A. 1005B. 1006C. 2010D. 2012答案A解析由条件知数列an为等差数列，且A、B、C三点共线，.a+ a2010 = 1,故有S20102010 a1 + a2010=1005.第n卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小

11、题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）13. （2011市质检）已知1, X1, X2,7成等差数列，1, y1, y2,8成等比数列，点 M（x1, y1）,N（X2, y2）,则线段MN的中垂线方程是 .答案x+ y 7= 0解析 由条件得 X1 = 3, X2= 5, y1= 2, y2 = 4,.MN 的中点（4,3）, kMN = 1,.MN 的中垂线方程为 y 3= （x 4），即卩 x+ y 7 = 0.14. （理）（2010模拟）已知正项数列an的首项ai= 1,前n项和为Sn,若以（an, Sn）为坐标1的点在曲线y = 2x（x+1）上，则数列an的通项公式为 .

12、答案an= n1 1 1 2解析由条件知，Sn= an（an+ 1）,Sn1 =空玄“1（an1 + 1） （n>2），两式相减得 an="2（an一 a2 1 + an an1）,整理得 an 一an1 = 1 ,Ta1= 1,an= n.n n15. (2011苏北九校联考)已知 a 0, 2 U 2， n,且si na, sin2 a, sin4 a成等比数列,则a的值为2 n 答案2f解析由题意，sin 22a= sin a si n4 a ,.si n22a= 2si nasi n2acos2a ,即 sin2 a= 2sin acos2a, 2sin acos a=

13、 2sin a cos2 a, 即 cos a= cos2 a ,/.2cos2 a 1 = cos a.(ZCOS a+ 1)(COSa 1) = 0.-cos a=2n3 .答案22解析由横行成等差数列知,16. （理）（2011八校联考）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数 列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，贝Ua + b+ c的值为.acb6126下边为3,从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比4+ 6q = 2,b = 2 X 2 = 4由横行等差知 c下边为厂=5，故c= 5X 2= 10,由纵列公比为2知a=1 X 23= 8 ,a+ b+ c=

14、22.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （理）（2011诊断）已知数列an的前n项和Sn= 2n2 2n,数列bn的前n项和Tn= 3 一 bn.求数列an和bn的通项公式；1 1设Cn = Ranbn,求数列的前n项和Rn的表达式.解析 由题意得 an= Sn Sni = 4n 4（n > 2）而n= 1时ai = Si = 0也符合上式/an= 4n 4(n N+)又bn= Tn Tn 1 = bn 1 bn,bn = 1bn 121bn是公比为14+-+ (n 2) 1 n+ (n 1) 1 n+1的等比数列,而 b1 = T

15、1= 3 b1 ,.b1 = 2,1n1= 3 2 n(n N +).1111Cn = 1aqbn= 1(4n4)x尹 3=(n 1) 1 n, 'Rn = C1 + C2 + C3+ + Cn141+ 2 -13+ +111 n (n 1) 2 n+ 1,2 .Rn = 1 (n + 1)18. （理）（2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）已知数列bn前n项和为Sn,且 b1 = 1,1 bn+ 1 = gSn.(1)求 b2, b3, b4 的值;求bn的通项公式；求b2+ b4 + b6 + b2n的值.解析(1)b2 =新=如=3，b3= 3(b1 + b2)

16、= 4, b4 =担=如 + b2+ b3)=毒1bn + 1 = §Sn 1bn = gSn- 1 一解b2= 1 ," = 3.3 n-2 (n>2)1n= 1.bn =43n-2n > 214(3)b2, b4, b6b2n是首项为3,公比3 2的等比数列,14 2n1口 - 4 +b2n=rr1 - 323 4 2n=3(3)1-19. (理)(2011林口四中)已知a1 = 2，点(an, an+1)在函数f(x) = x2+ 2x的图象上，其中 n =1,2,3,(1) 证明数列lg(1 + an)是等比数列；(2) 设 Tn= (1 + a1)(1

17、 + a2)(1 + an)，求 Tn 及数列an的通项.分析从题设入手，点(an, an+1)在函数f(x)= x2 + 2x的图象上可得，an+1 = a2 + 2an,两边同时加1得an+1+ 1 = (an+ 1)2,取对数即可解决问题.由第(2)问的形式知可由(1)问继而 求出1 + an的表达式.则 Tn可求.解析(1)由已知 an +1 = a2+ 2an ,.an+1 +1 = (an+ 1)2. 'a1 = 2,an+ 1>1，两边取对数得:lg 1 + an+1 lg(1 + an+1) = 2lg(1 + an),即卩=2.lg 1 + anlg(1 + a

18、n)是公比为2的等比数列.由(1)知 lg(1 + an)= 2ni lg(1 + a”=2n-1 lg3 = lg32nT1 + an= 32n_ 1(*).Tn= (1 + ai)(1 + a2)(1+ an) = 32° 321 32“一1= 31 + 2 + 22+ + 2_1 = 32n 1.由(*)式得 an= 32n 1 1.20. (理)(2011河历中学月考)设曲线y= x2 + x + 2 Inx在x= 1处的切线为I，数列an 的首项a1 = m,(其中常数 m为正奇数)且对任意n N + ,点(n 1, an+1 an a1)均在直线I 上.(1) 求出an的

19、通项公式；(2) 令bn= nan (n N +)，当an>a5恒成立时，求出 n的取值围，使得 bn+1>bn成立.解析(1)由 y= x2+ x + 2 Inx,知 x= 1 时，y= 4,厂，1又 y |x= 1 =2x+ 1 x= 1 = 2,x直线 l 的方程为 y 4= 2(x 1)，即 y= 2x+ 2,又点(n 1, an+1 an a1)在 l 上，a1= m,an+1 an+ m = 2n.即an+ 1 an= 2n m(n N +),-a2 a1 = 2 m,a3 a2= 2X 2 m,an an1 = 2X (n 1) m.各项迭加得，an= 2(1 + 2

20、 + + n 1) (n 1)m + a1 = n2 (m + 1)n.通项 an= n2 (m+ 1)n(n N +)m+ 1rm为奇数，为整数，m+ 1由题意知，a5是数列an中的最小项， _ = 5,/m= 9,令 f(n)= bn= n3 (m+ 1)n2= n3 10n2, 则 f ' (n) = 3n220n,20由 f ' (n)>0 得,n>y(n N +),即n>(n N + )时，f(n)单调递增，即 bn+ i>bn成立，二n的取值围是n>7,且n N +.n nn n21. (理)(2011 四校协作体联考)数列an满足 a

21、i= 1, a2= 2, an+ 2= 1 + coS2? an+ sin2g， n = 1,2,3,(1) 求a3, a4,并求数列an的通项公式；a2n1 一1(2) 设 bn=a不，Sn= b1 + b2+ bn证明：当 n > 6 时，|Sn 2|<n分析考虑到递推关系式中的si和cosn，可以对n分偶数和奇数进行讨论，从而求得数列an的通项公式，然后再求出数列bn的前n项和公式，用数学归纳法进行证明.解析(1)因为 a1= 1,a2= 2，所以 a3 = (1 + cos2a1 + sin2 a1+ 1 = 2,a4= (1 + cos2 n a2+ sin2 n= 2a

22、2= 4.2k 1 n2k 1 n当 n= 2k 1(k N*)时,a2k+1 = 1 +2 2 cos 2a2k1 + sin?= a2k 1 + 1,即 a2k + 1 a2k 1 = 1.所以 a2k 1 = k.* ,22k n22k n当 n= 2k(k N )时，a2k+2= 1 + cos2- a2k + sin2_ = 2a2k.所以 a2k= 2k.故数列an的通项公式为n+1*2 n= 2k 1 k Nan =n*22 n = 2k k N由(1)知，bn =a2n 1a2nn2n,Sn=+ 歩+ + 2n,"Sn=寺+ 23+ +一得,1_nn 2*+1亠=1 - A-亠2门+122门+12n= 2-n+ 22n1n n+ 2要证明当n6时，Sn-2|<成立，只需证明当 n6时，一 <1成立.(1)当 n = 6 时，6 % ；6十 2 = 48 = 4<1 成立.k k + 2k+ 1 k+ 3 k k+ 2假设当n = k(k6)时不等式成立，即p <1.则当n =