【素材】111平方根与立方根

1、11.1平方根与立方根重、难点研习研习点1：平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平方运算【归纳整理】1.平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“- ”表示，a的平方根合起来记作 ，其中读作“正负二次根号a”，读作“二次根号下a”根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“ ”读作“正、负根号a”.2.平方运算与开平方运算互为逆运算根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根与其他

2、运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算.典例1求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49.【研析】(1)(±9)2=81，81的平方根为±9即：；（2）， 的平方根是，即；（3），的平方根是，即；(4)(±0.7)2=0.49，0.49的平方根为±0.7.研习点2：平方根的性质1一个正数有两个平方根，它们互为相反数20有一个平方根，它是0本身3负数没有平方根【探索发现】数a是否有平方根，应根据a的取值而定，一般地，当a是正数时，a有两个平方根，它们是互为相反数；当a是0时，只有一个平方根是它本身；而当a为负数时，则没有平方根，所以判

3、断一个数a是否有平方根一定要注意a的隐含条件，即a一定是非负数典例2求下列各式中x的值：（1）；（2）.【研析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.解：（1） ， ， ，则 （2） ， ，则 本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题.但要注意一个正数的平方根有两个.研习点3：算术平方根0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即【辨析比较】算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a0时，表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根典

4、例3求下列各数的算术平方根：【研析】(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即（2）的算术平方根是。(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即研习点4：平方根与算术平方根的区别及联系 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”. （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.联系：（1

5、）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种.（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根均为0.【辨析比较】平方根的符号有三种形式：±，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.典例4填空：(1)1的平方根是_；立方根为_；算术平方根为_(2)平方根是它本身的数是_(3)立方根是其本身的数是_(4)算术平方根是其本身的数是_(5) 的立方根为_.(6) 的平方根为_.(7) 的立方根为_ .解：(1)±1；1；1(2)0(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误

6、)(3)±1和0(由此题，再复习一道立方根的性质)(4)0，1(此题有学生可能会忘掉0)(5)-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将 翻译为-8，在求立方根，也有学生将 看成 得到 ，讲解时注意）(6) （此题首先让学生把 计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）(7)-2研习点5：立方根1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方运算与立方运算互为逆运算3立方根的表示方法：类似于平方根的表示方法，数a的立方根我们用符号来表示，读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.4.立方根的性质：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.【类比扩展】方根概念的拓展概念：若，则x叫a的n次方根。表示为 ，（的整数）。n为偶数时，可对比平方根时，a有n次方根；时，a的n次方根不存在.n为奇数时，对任意的a都有n次方根.归纳：A：n为偶数时，；B：n为奇数时：.典例5求下列各数的立方根： 【研析】(1)(-2)3=-8，