浙江师范大学《高等数学》d12_1常数项级数

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算常数项级数常数项级数幂级数幂级数傅里叶级数傅里叶级数第十二章高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质 第一节 第十二章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆

2、内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面积 A .0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n23式中的项数无限增多高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义：定义： 给定一个数列,321nuuuu由这个数列,1iiu1iiunuuuu321称为常数项无穷级数无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项一般项,级数的前 n 项和niinuS1称为级数的部分和部分和.nuuuu321构成

3、的表达式, 简记为当n依次取1,2,3,时，他们构成一个新的数列：高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义定义：如果级数,limSSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和级数的和, 记作212uuS,3213uuuS11uS ,321nnuuuuS,1iiu的部分和数列Sn有极限S，即,1iiu1iiuS,lim不存在若nnS则称无穷级数发散无穷级数发散 .当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.显然0limnnr高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 讨论等比级数讨论等比级数

4、 (又称几何级数又称几何级数)0(20aqaqaqaaqaiii( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发

5、散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.)0(,0aqann高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 证明级数证明级数n3212) 1(321nnnSn是发散的是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，,limnnS因此所给级数是发散的.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发

6、散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 例例3.判别级数判别级数2211lnnn的敛散性的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2

7、) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数k 所得级数1nnku也收敛 ,证证: 令,1nkknuS则nkknku1,nkSnnlimkS这说明1nnuk收敛 , 其和为 k S . nnSklim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 k S .

8、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质2. 设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质2 表明收敛级数可

9、逐项相加或相减收敛级数可逐项相加或相减 .(用反证法可证用反证法可证)高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质3. 在级数中加上、去掉或改变有限项有限项, 不会改变级数的敛散性.证证: 将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级

10、数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 性质性质5：设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnn

11、nnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假设不真 .21高等数

12、学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:;!e) 1 (1nnnnn解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!ennnnnu 则nnuu1nn)1 (e1),2, 1(1n故e11uuunn从而,0limnnu这

13、说明级数(1) 发散.111)1 (e)1 (nnnn11) 1(! ) 1(ennnnnnnn!e高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2) 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS2