浙江师范大学《高等数学》d11_7斯托克斯公式

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院斯托克斯公式 第七节 第十一章 是格林公式的推广.LDQdyPdxdxdyyPxQ高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑有向闭曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在则有斯托克斯公式把曲面上的曲面积分与其边界曲线的曲线积分联系起来.高等数学高等数学浙江师范大

2、学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院注意注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院zxy111Oyxzyxxzzyzyxdd

3、dddd例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为 , 取上侧,则个边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性利用对称性yxDyxdd323yxD高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例 2计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中 是平面23 zyx截立方体:10 x,10 y,10 z的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向.解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部

4、部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx xyDdxdy332高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院z2xyO例例3. 为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, .ddd2zxzyxyxyI解解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公

5、式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222计算高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos也可写成:SAsAnd)(d),(RQPA 其中AnA)(A 的旋度AA在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业P248 1高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数

6、理与信息工程学院思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)(;)(divrrr ra ad dg gr ro ot tr ra ad dg g提示提示:rr ra ad dg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rr ra ad dg gr ro ot t三式相加即得)(divrr ra ad dg grzryrxzyxkji0高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法, 在1845年他导