信号与线性系统(第8章)

1、第八章 Z变换与Z域分析Z transform and analysis on Z complex domain8.1 Z变换(Z transform) 8.1.1 从拉普拉斯变换到 Z变换(Laplace transform to Z transform) 连续时间信号经过抽样后，就得到离散时间信号。设连续时间信号 每隔时间T 抽样一次，抽样后信号 相当于连续时间信号 乘以冲激序列 ，即 (8.1-1)( )f t( )sf t( )f t( )Tt( )( )( )sTf tf tt( )()kf ttkT() ()kf kTtkT 取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到 可得抽样信号的双边拉普

2、拉斯变换为 (8.1-2) 取一新复变量Z ，令 ,则上式可写为: (8.1-3) ()ksTBLtkTe( )( )sBsF sLf t()ksTkf kT esTze( )()kkF zf kT z 上式称为序列 的双边 变换(Bilateral Z transform) 可见，序列 的Z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。 定义：如有离散时间序列 则函数 (8.1-4) f k f k (0, 1, 2,)f k k ( ) kkF zf k z 称为序列 的双边Z变换。 与拉普拉斯反演积分公式相对应，逆 变换公式可利用复变函数理论中的柯西积分公式推导出来。 即 的逆Z变换(Inverse

3、 Z transform)为: (8.1-5) f k( )F z11 ( )2kCf kF z zdzj 式中C是环绕原点逆时针方向的围线。式(8.1-5)称为双边逆 Z变换。 如果序列 是因果序列(A cause sequence)，即有当 时， , 则序列 的 Z变换和逆变换可定义为: (8.1-6) (8.1-7) f k 0f k f k0k 0( ) kkF zf k z11 ( ),02kCf kF z zdz kj 式 (8.1-6) 和 (8.1-7) 分别称为 的单边Z变换(Unilateral Z transform)和 的逆Z变换(Inverse Z transform

4、). 它们之间的关系也简记作: (8.1-8) f k( )F z ( )f kF z Z变换与傅里叶变换、拉氏变换之间的关系(The relationship of Z transform and Laplace transform): 在离散时间信号系统中应用的 Z变换，它的作用类似于在连续时间信号和系统中应用的拉氏变换。因此，Z变换和拉氏变换之间的对应关系，可以通过序列 的 Z 变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换推出，得到: f k 1SlnZTX ZX S ZX SX Ze(8.1-9) 因此可建立如下的S和Z之间的映照关系(Mapping relationship)： (8.1-10)

5、eZ1SlnZT 令 ，当 ， 从0到 时，可如图8.1-1所示在Z平面上画出一个半径为1的单位圆(An unit circle)。 图8.1-1 Z-平面上一个半径为1的单位圆Zrej1r 2 按照上面的映照关系，这是一种多值映照关系，S 平面上高为 的一个无限长水平横条可映照成整个Z 平面(Z- plant)。其中S 平面上长 的一段虚轴(Imaginary axle)映照成整个单位圆。横条的左半部分映照成Z平面的单位圆内部，横条的右半部分映照成单位圆的外部。因此Z平面上的每一个点在S平面上有无限个对应点。如图8.1-2所示。 图8.1-2 Z-平面和S-平面的映照关系 按照上面的这种映照

6、关系，一个稳定的模拟系统将被映照成为一个稳定的数字系统。这是我们研究从模拟滤波器设计数字滤波器的一个重要依据。8.1.2 Z变换的收敛域(Convergence of Z transform) 因 变换的表达形式是一幂级数，显然，仅当该级数收敛时， 变换才有意义。根据等比级数和级数理论，级数收敛的充分必要条件是该级数绝对可和(Absolutely sumable)，即 (8.1-11)0 kkf k z 根据比值判别法可知，级数收敛的条件(Sufficient condition of convergence)是 : (8.1-12) 若序列 在 的任意有限间隔内是有限值，且当 趋于无限大时是

7、指数阶的，111 kkf kzf k z f k0k 则其 Z变换在 的范围内存在。这里 称 为收敛半径(Convergence radius)。 在 平面上， 为半径的圆，而 是该圆外部区域，称为象函数 的绝对收敛域(Region of Convergence, ROC)，极径 称为收敛半径，圆 称为收敛圆(Convergence circle)。0z000z( )F z0 根据以上讨论，序列的Z 变换仅在收敛域内存在， 由于在其收敛域内存在，因而象函数与收敛域一起才能确定原函数 。对于因序列的单边 Z变换，其收敛域均为 圆外的区域，对于反因序列的 Z变换，其收敛域均为 ，圆内的区域；对于双

8、边序列的 Z变换，其收敛域分别结合因序列和反因序列的情况，注明收敛域。 现将常见单边信号的 Z变换如表8.1所示。表8.1 常见单边信号的 Z变换(Typical examples of Z transform ) 本节例题 【例8.1-1】Determine the z-transform for the following sequences. Express all sums in closed form and indicate the region of convergence. （1）单位函数 ,求Z变换。 解： ，即单位函数 的 Z 变换等于常数1，它在全 Z平面收敛。1,0 0

9、,0kkk00 11kkkz k （2） ,求Z变换。解：根据等比级数求和公式，可得：1,0,1,2,1 0,0,NkNpkkkN10 1NkNkpkz12(1)1Nzzz Npk1111NNNNNzzzzzzzz 8.2 Z 变换的性质(properties of Z transform) Z变换的基本性质类似于拉普拉斯变换的性质，熟悉和掌握Z 变换的一些基本性质或定理，对于掌握 Z变换及其应用是很重要的。 （1） 线性性质(Linearity ) 若离散序列 和 的象函数分别为 和 ，其收敛半径分别为 和 ，设 和 是两个任意常数，则 的象函数为 。则: (8.2-1)1 f k2 f k

10、1( )F z2( )F z121a2a1 122 a f ka f k1122( )( )a F za F z1 1221122 ( )( )a f ka f ka F za F z 其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。根据Z 变换的定义容易证明以上结论，这里从略。 Z变换的线性性质不难推广到有多个序列的情形。 (2) 移位特性(Time shifting) 序列 沿 轴移位有两种情况：向右移位（延迟）和向左移位（提前）。 对于单边序列（因果序列）, 将其右移 个单位 后，可写为 ，其单边 变换为: f kk f k u km f km u km 令 ，则上式可写为:0 kkf km u

11、 kmf km u km z()mk mk mzf km znkm0 mnnf km u kmzf n z( )mzF z (3) 序列乘 （Z 域尺度变换）( scaling transform) 序列 也可称为指数加权序列。如果序列 的 Z变换为 ，那么Z变换为：ka ka f k f k( )F z0 kkkka f ka f k z0 kkzf kazFa (4)卷积定理 (1) k域卷积（z 域相乘）(Convolution in Time) 在单边Z 变换中所讨论的序列都是因果序列，即序列 和 的卷积和可写为1 f k u k2 fk u k1212 if kf kf i u i

12、f ki u ki 于是 其收敛域至少是二函数收敛域相重叠的部分。12120 ( )iif kf kf i z F z12( )( )F z F z (2) 序列相乘（Z 域卷积）(Convolution in Z) 式中C 是 和 收敛域重叠部分内逆 时针方向的围线。1212( )1 2CzFFf k f kdj12zC12z 1( )F2zF (5) 序列乘 k（ Z域微分）(Difference in Z complex frequency) 用同样的方法可推广到乘以 K的任意正次幂。对于任意正整数 m，有0 kkkf kkf k z(1)0() kkzf kkz 0() kkdzf k

13、zdz mk f k( )mdzF zdz (6) 序列除 km（Z 域积分）(Integral in Z) 令 ，设有整数 m，这里 。根据Z 变换的定义: ( )f kF z0km0 kkf kf kzkmkm()0 k mmkzzf kkm(1)0 mk mzkzf kd (7) 部分和的Z 变换( transform of partial sum sequence) 设有序列 ，它是另一序列 的前K 项之和，即 则： g k f i0 kig kf i100 1 kkiig kg kf if if k 令取上式的 Z变换，得：由上式可解得： ( ), ( )g kG zf kF z1(

14、 )( )( )G zz G zF z11( )( )( )11zG zF zF zzz 下面，我们将 变换的性质列于表8.2-1以便查阅。 表 8.2-1 单边Z 变换的性质(properties of Unilateral Z transform) 本节例题 【例8.2-1】 Determine the z-transform for the following sequences. Express all sums in closed form and indicate the region of convergence. （1）sin k u k1sin()2j kj kkeej1si

15、n () 2j kj kkkeeu kj 11 22j kj keu keu kjj则：12jjzzjzeze21()()2()1jjjjz zez zejzz ee2sin,12 cos1zzzz （2） 根据Z 域微分特性，可知： ku k 1dzku kzdz z 2211(1)(1)dzzzzdz zzz 2 (1)zku kz （3）2 k u k22 (1)dzk u kzdz z 2233(1)2(1)(1)(1)dzzzzzdz zzz 223 (1)zzk u kz （4） 根据 K域卷积定理： kka u ka u k2 kkza u ka u kza 【例8.2-2】 求

16、一个矩形序列 的Z 变换。1,0,1,2,1 0,0,NkNpkkkN 矩形序列可看作是单位阶跃序列 与右移 N个单位的单位阶跃序列 之差，即： 根据 Z变换的线性和移位特性，得 Kpku ku kN Npku ku kN 11Nzzzzz 则：(1)1Nzzz11NNzzzz8.3 逆Z变换（Inverse Z transform） 从序列的 Z变换反过来求序列本身的过程称为逆 Z变换。按照复变函数中罗朗级数的理论， 逆变换可按下列公式求出: = 这是 Z平面上的一个环路积分(Contour integration)。C1是 Z平面上 收敛区内的一个闭合环路。 x k12j11( )kcX

17、Z ZdZ 按 的逆 Z 变换公式直接计算逆 Z 变换通常十分复杂。 计算逆 Z 变换的常用方法为： （1）留数定理法 （2）幂级数展开 （3）部分分式展开 我们重点讲解（ 3）部分分式展开法。( )X Z 部分分式展开法(partial-fraction expansion): 部分分式展开法求逆 Z 变换的步骤为： （1）对于单边 Z 变换，象函数 , 通常可 以先将 展开,然后再乘以Z，对于 为 单极点： 如果 的极点都互不相同，则 可展 开为：( )F z( )F zz( )F z( )F z( )F zz011( )nnKKKF zzzzzzz0niiiKzz （2） 有共轭单极点(

18、Conjugate complex root)： 如果 有一共轭单极点 式中 是除该共轭极点外的其余部分， 而( )F z( )F z1,2zcjd2( )F zz112( )F zKKzzcjdzcjd （3） 有r 重极点： 如果 在 处有 r 重极点，则 可展开式为： 各系数 可用下式求得：( )F z( )F z1zza( )F zz12( )( )( )F zF zF zzzz1112121( )()()rrrKKKF zzazazaz1111( )()(1)!iriz aidF zKzaidzz 将求得的系数 代入，可得：1112121( )( )()()rrrK zK zK zF

19、 zF zzazaza本节例题 【例8.3-1】计算逆变换：（1） 将 展开为部分分式，得：242( )(1)(0.5)zzF zzz1z ( )F zz2012( )42(1)(0.5)10.5KKKF zzzzz zzzzz 根据部分分式展开式系数公式，得：00( )4zF zKzz11( )(1)2zF zKzz 20.5( )(0.5)1zF zKzz 则： 等号两端同乘以 Z ，得 ： 取上式的逆变换，得 ：( )42110.5F zzzzz2( )410.5zzF zzz 4 2 (0.5) kf kku ku k （2） 有一对共轭二重极点 共轭项 根据部分分式展开式系数公式可求

20、得422( )(4)zF zz( )F z21,222jzje 31112222( )(4)(2)2KKF zzzzzjzj22112( )11(2)22jzjF zKzjjez 所以 共轭项 因为：2122( )1(2)2zjdF zKzjdzz221122( )(2)2jezzF zzjzj222jje1 (2)cos (1)12 cos 222kkkf kkku ku k8.4 Z 域分析(analysis on Z complex domain) 描述线性非时变离散系统的一种形式是常系数线性差分方程，而Z 变换是求解线性差分方程的有力工具，它的主要优点是：求解步骤简明而有规律，其初始状

21、态已自然地包含在象方程（以 Z为自变量的象函数方程）中，可一举求得方程的全解。因此，本节主要介绍差分方程的变换解方法、以及系统函数和系统稳定性分析。 8.4.1 差分方程的变换解(Solution of a n order linear constant coefficient difference equation based on Z transform) 一般而言，描述线性非时变系统的差分方程为:11010 11 1nmmy kay ka y kna y knb f kbf kb f km 对于因果系统，上式中 ,考虑 是因果序列。 对上式 进行 Z 变换，得： 式中mn f k1(1)

22、1101(1)110(1) ( )( )() ( )nnnmmmmaza za zY zM zbbzb zb zF z1 1110( )( )( )( )nnnM zaP za Pza P z 它是与各初始状态 有关的 Z 多项式( Z polynomial related initial conditions)。 称为差分方程式 的特征多项式(Eigen polynomial).( 1), ( 2), ()yyyn1(1)110( )1nnnA zaza za z 1110()nnnnzzaza za 可得： 因而式中第一项是零输入响应 的象函数 ，式中第二项只与激励 的象函数 有关，因而零

23、状态响应 的象函数 。1(1)1110110( )()mmmmmmmmmB zbbzb zb zzb zbzb zb( )( )( )( )( )( )M zB zY zF zA zA z xy k( )xY z( )f k( )Fz fyk( )fYz 这样， 系统的全响应为： 其中：( )( )( )XfY zYzYz Xfy kykyk1 ( )XXykYz 1 ( )ffykYz 系统零状态响应的象函数与激励象函数之比称为系统函数(system transmission function)，表达为： 即：( )( )( )fYzH zF z( )( )B zA z1111011110(

24、 )( )( )1mmmmnnnbbzb zb zB zH zA zaza za z 式中系数 都是实系数， 方程 的根， ， 称为系统函数 的极点； 方程 的根， ，称为系统函数 的零点。(0,1,2, ),(0,1,2,)ija in bjm1na ( )0A z 12,nppp( )H z( )0B z 12,m ( )H z 如果极点均在单位圆内，在这种情况下，我们可求系统的频率响应（或频率特性(frequency characteristic of system)）：()()( )j TjdH eHe d( )j Tz eH z11()()mj Tmjjnj Tiibeep 系统的激

25、励为单位函数时，其零状态响应称为单位响应。故系统的单位响应 是系统函数 的逆 Z 变换。 单位响应 中各分量的函数形式只决定于 的极点，其幅度和相角则由零点和极点共同确定。 由此可知，系统的单位响应 将完全决定于 的零、极点在 Z 平面的分布状况。 h k( )H z h k( )H z h k( )H z (1)极点在单位圆内 如果 展开式因子 有一阶实极点 ,其逆 Z 变换，即相应于 的单位响应量 。 由于 ，故 随着k 的增大而减小， 当 时 。( )H z( )iH z(1)za a( )iH z kih ka u k1a ih kk 0ih k 如果 在单位圆内有高阶实极点，例如二阶

26、实极点 ，则逆 Z 变换，即单位响应的分量 由于 ，当 时， 。 如果在单位圆内的极点是共轭成对的，其所对应的单位响应分量仍是衰减的。( )iH z(1)pa a11112 1 kkih kK kau kK a u k1a k 0ih k (2)极点在单位圆上 如果在单位圆上的极点只有一阶实极点 或1。其逆 Z 变换 它们是等幅序列，当 时， 为有限值。 有一阶共轭极点 其逆 Z 变换 它是等幅的余弦序列。1p ( 1) kih ku kk ( )ih k*121,jpepp1 2cos() ih kKku k 如果 在单位圆上有高阶极点，则其相应的单位响应分量 当k趋近于无限大 时， 趋近于

27、无限大。( )iH z ih k ih k （3）极点在单位圆外 如果 在单位圆外有实极点或有共轭极点，则其相应的单位响应分量 当k趋 近于无限大时， 趋近于无限大。( )iH z ih k ih k8.4.2 线性位移不变离散系统的稳定性(stability of a discrete-time LTI system) 线性位移不变离散系统的稳定性分析：一个线性位移不变离散系统是稳定系统(A stable system)的充分和必要条件是： 在时域中，系统的输出 ； 在频域中，其系统函数 的极点都在位于单位圆的内部。| |y k( )H z 因此，判别系统是否稳定，也可以判别系 统函数 的特

28、征方程 所有的 根的绝对值是否小于1。 对于 为高次代数方程时，朱里(July rule)提出了列表判别系统是否稳定的方法，步骤如下：( )( )( )B zH zA z( )0A z ( )0A z （1）根据 ，首先列表如下： 表8.4-1 离散系统稳定性检验列表( stability of a discrete-time system based on July array)1110( )nnnnA za zaza za （2）表中第1行列出 的系数，第2行也是 的系数但按反序排列。第3行按下式计算：( )A z( )A z010nnnaacaa1201nnnaacaa2302,nnna

29、acaa （3）第4行将第3行的各系数反序排列。根据第3、4两行，再用上述相同方法，计算第5行。 这样求得的两行比前两行少一项，依次类推，直到第 行。10201nnnccdcc11302,nnnccdcc23n （4）朱里判别法指出， 的所有根都在单位圆内的充分和必要条件是：( )A z(1)0A( 1)( 1)0nA01020nnnaaccdd20rr 本节例题 【例8.4-1】For the following difference equations and associated input and initial conditions, determine the zero-input and zero-state responses by using the unilateral z-transform: where 12 2