高中数学知识点基本概念

1、精品文档文档精品文档高一数学必修 1 知识网络集合一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的 集合或集，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 。一般地，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A B 或 B A，读作“ A包含于 B，或“ B 包含于 A 。如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A B 或 BA，读作“ A 真包含于 B，或“ B 真包含 A。一般地，

2、如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么我们就说 集合 A 等于集合 B，记作 A=B 。一般地，对于两个给定的集合 A，B，由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合，叫做 A ，B 的交集，记作 AB ，读作“A 交 B。一般地，对于两个给定的集合 A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 AB，读作“A 并 B。如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合，叫做 A 在 U 中补集，记作 CuA，读作“ A 在 U 中的补集。精品文档文档精品文档1元素

3、与集合的关系：属于和不属于2集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素3集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4集合的表示方法：列举法、描述法自然语言描述、特征性质描述、图示法、区间法子集：假设xAx，那么A，即 是 的子集。BBAB、假设集合 中有 个元素，那么集合 的子集有2n个，真子集有(2n个。1AnA-1)、任何一个集合是它本身的子集，即AA注2关系、对于集合A,B,C,如果A，且BC,那么A C.3B、空集是任何集合的真子集。4集合真子集：假设且即至少存在x0但，那么 是 的真子集。ABABB x0AA B集合相等：A且ABB AB集合与集合定义：AB

4、x /x且xB交集A性质：，AAAAABBAABA,ABBAB ABA定义：ABx /x或xB并集A性质：，运算AAAAAABBAABAABBAB ABBCard( A B) Card( A)Card (B) - Card( AB)定义：CUAx / xU 且 xAA补集 性质：A)A，A U，CU(CUA)，(CUA)，(CU(CUA)ACU(A B)(CUB)CU( AB)(CUA)(CUB)1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性。如：集合Ax |ylg x，By |ylg x， C(x, y) | ylg x，A、B、C 中元素各表示什么？2 进展集合的交、

5、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 A2x| a x 1， 假设 BA ， 那么 实 数 a 的 值 构 成 的 集 合 为x| x2 x 30， B1答：1，0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m33注意以下性质：精品文档文档精品文档（ 1集合 a1，a2， ，an的所有子集的个数是 2n（ 2假设 ABABA，ABB；4你会用补集思想解决问题吗？排除法、间接法如：关于x 的不等式ax5的解集为M，假设 3M 且 5M ，求实数a 的取值范围。x20a精品文档文档精品文档53M ，a 3

6、032a5a，19 255M ，a 550352a函数函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值，相应地就确定唯一的一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。定义 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法那么 f ，对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中有且仅有一个唯一确定元素 y 与 x 对应，那么称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。这时，称 y 是 x 在映射 f的作用下的象， 记作 f(x) 。于是 y=f(x) ， x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为： f：AB， xf(x). 其中 A 叫

7、做映射 f 的定义域函数定义域的推广，由所有象 f(x) 构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作f(A) 。注意：1.“y=f(x) 是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ；2. 函数符号“ y=f(x) 中的 f(x) 表示 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x。3.集合 A 和 B 是有先后顺序的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f 表示具体的对应法那么，可以用多种形式表示。4.“有且仅有一个唯一确定意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。构成函数三个要素是定义域、对应关系

8、和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数。精品文档文档精品文档两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间无穷区间区间的数轴表示如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合 A 中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合 B 的一一映射。在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法那么，这样的函数通常叫作

9、 分段函数 。函数的单调性定义：对于函数 f(x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,（ 1假设当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么说 f(x) 在这个区间上是增函数；（ 2假设当 x1f(x2)，那么说 f(x) 在这个区间上是减函数。假设函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x11，且 n N

10、*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数此时， a 的 n 次方根用符号na 表示式子na 叫做根式radical，这里 n 叫做根指数radical exponent， a 叫做被开方数 radicand当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n次方根用符号na 表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成na a 0由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作n00 精品文档文档精品文档表yaxa 0,a 1对数数函数ylogax a0, a1指数函数1定义

11、xRx0,域值y0,yR域图象过定点 (0,1)过定点 (1,0)减函数增函数减函数增函数x(,0)时，y(1,)时，x时， y(0,)时，x(,0)y(0,1)(0,1)xy(,0)(0,1)x(0,时，y(0,1)x(0,时，y(1,)x(1,时，(,0)x (1,时，y(0,)y)性质abababab底数越大越接近坐标底数越小越接近坐标轴轴底数越小越接近坐标轴底数越大越接近坐标轴表 2幂函数 yx (R)p01110qp 为奇数奇函数q 为奇数p 为奇数q 为偶数精品文档文档精品文档p 为偶数q 为奇数偶函数第一象限增函数过定点0，1减函数性质指数的运算指数函数指数函数根本初等函数对数的

12、运算对数函数对数函数根式：na, n 为根指数，a 为被开方数n分数指数幂arasars( a0, r ,sQ )性质( ar)sars( a0, r , sQ)( ab )rarbs( a0, b0,rQ )定义：一般地把函数yax( a0 且a1)叫做指数函数。性质：见表1对数：xlo gaN, a 为底数，N 为真数loga(MN )log aMlogaN;logaMlogaMlog aN;N.性质nlogMnlogM;( a0,a1 , M0, N0)aa换底公式：logblogcb0 且 a ,c1 , b0)alog( a , cca定义：一般地把函数ylogax ( a0且 a1

13、) 叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数 yx 叫做幂函数，x 是自变量，是常数。幂函数性质：见表 2以 10 为底的对数叫做 常用对数。换底公式： logbNlog a Nlogab自然对数：以 e 为底的对数叫做 自然对数。积、商、幂的对数运算法那么：（ 1loga(MN)=logaM+logaNloga(N1N2N3,Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+,+logaNk即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。精品文档文档精品文档2loga(M)=logaM-logaNN即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。精品文档文档精品文档（ 3loga

14、M = logaM即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。幂函数定义 ：一般地，函数 y=xa叫做幂函数， x 是自变量， a 是常数。幂函数的性质：1、所有的幂函数在 (0，+)都有定义，并且图象都过点 1，1原因：1x=1;2、 在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴简记为指大图低；在(1，+ )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴。3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限， 值域是否出现在第二、 第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点。4、 幂函数

15、的定义域的求法可分五种情况，即：1为 0；2为正整数；3为负整数； 4为正分数； 5为负分数。5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象， 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内精品文档文档精品文档完整的图象。6、幂函数 yx (R) 的图象主要分为以下几类：(1)当 =0 时，图象是过 (1，1)点平行于 x 轴但抠去 (0，1)点的一条“断直线；(2)当 为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。(3)当 为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。(4)当 为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，

16、但不过原点。(5)当 为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。7、当0 时，幂函数 yx 图象一些性质：(1)图象都通过点 (1，1)，(0，0)；(2)在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；(3)在第一象限内，1 时，图象是向下凸的； 0 1 时，图象是向上凸的。8、当B 且 B 推不出 A，那么 A 是 B 的充分非必要条件；假设 A 推不出 B 且 B=A，那么 A 是 B 的必要非充分条件假设 A=B 且 B=A，那么 A 是 B 的充要条件假设 A 推不出 B 且 B 推不出 A，那么 A 既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要条件。注：如果甲是乙的充分

17、条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然.4、逻辑联结词：或、且、非；含逻辑联结词的命题真假的判断；5、全称量词与存在量词；全称命题与存在性命题；命题的否认。全称命题 p :xM , P( x) ,它的否认 p :xM , P(x)特称命题 p :xM , P( x) ,它的否认 p :xM , P(x)圆锥曲线与方程精品文档文档精品文档椭圆第一定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离和等于常数大于 F1F2的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即MF1MF 22a(2aF1F2 )。第二定义：平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数 e 的

18、点的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 即MFe(0e 1)d d 为 M 到 l 得距离。标准方程及其性质：焦点在x轴上焦点在y轴上标准方x2y21(ab0)y2x21(ab0)程a2b2a2b2图形c2a2b2c2a2b2焦点坐F1( c,0)、F2(c,0)F1(0,c)、F2(0, c)标顶点坐(a,0) , (0, b)( b,0) , (0,a)标范围xa, ybxb, yax 轴，长轴为2a；x 轴，短轴为2b；对称轴y 轴，短轴为2b。y 轴，长轴为2a。准线方a2a2程xycc离心率ec， 0e 1a精品文档文档精品文档1设点 (,

19、y0) 为椭圆x2y21( ab0)上一点，F1、F2分别椭圆的左、右焦P x0a2b2焦半径点，那么 PF1aex0， PF2aex0；公式：2设点 (,y0) 为椭圆y2x21(ab0)上一点，F1、F2分别椭圆的下、上焦P x0a2b2点，那么 PF1aey0， PF2aey0；双曲线第一定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值是常数小于 F1F2的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即MF1MF22a(2aF1F2) 。第二定义：平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比等于常数 e e1的点的轨迹叫做双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线 l 是椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率。即MF1) d 为 M 到 l 得距离。e(ed双曲线的标准方程及其几何性质：焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2y21(a0, b0)y2x21( a0, b0)a2b2a2b2图形F1( c,0)、F2(c,0)F1(0, c)、F2(0, c)焦点坐标c2a2b2c2a2b2精品文档文档精品文档顶点坐标范围对称轴准线方程离心率渐近线方程等轴双曲线焦半径公式x轴，实轴为2a；x轴，虚轴为2b；y轴，虚轴为2b。y轴，实轴为2a。xa2ya2ccec， e1a