第一章概率论的基础知识

1、概率与统计概率与统计 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系国家精品国家精品课程主页课程主页: http:/ 陆中胜陆中胜E-mail: 教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计刘力维刘力维 等编等编高等教育出版社高等教育出版社 20102010参考书：概率论与数理统计参考书：概率论与数理统计浙江大学浙江大学 盛骤等编盛骤等编高等教育出版社高等教育出版社自然现象分类自然现象分类确定性现象确定性现象:1、磁铁的同性相斥、磁铁的同性相斥,异性相吸异性相吸2、液体在达到沸点时就会沸腾、液体在达到沸点时就会沸腾不确定性现象不确定性现象:1、抛硬币猜正反面、抛硬币猜正反面2、

2、某一时刻新街口等车的人数、某一时刻新街口等车的人数3、某个教室在一天中的某个时刻的学生数、某个教室在一天中的某个时刻的学生数序言概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算一、随机试验一、随机试验对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。随机试验的特点随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； 2.试验结果可能不止一个试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果但能明确所有的可能结果;3.试验前无法确定是哪个结果会出现。试验前无法确定是哪个结果会出现。随机试验可表为随机试验可表为E随机试验的例

3、E1: 抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H” 和和“T” 表示出正面和反面表示出正面和反面, 观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况;E2: 将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛三三次，次，观察观察正反面出现的情况；正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重任选一人，记录他的身高和体重 。随

4、机事件随机事件二、样本空间二、样本空间 1、样本空间：试验的、样本空间：试验的所有可能结果所组成的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为集合称为样本空间，记为S（ ） . 2、样本点、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点元素称为一个样本点,记为记为e （ ）. 3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事称为一个基本事件件,记为记为e （ ）. 请请给出给出E1-E7的样本空间的样本空间试验中可能出现也可能不出现的情况叫试验中可能出现也可能不出现的情况叫“随机事件随机事件”， 简称简称“事件事件” 。记作。记作A、B、C

5、等。等。 定义定义注注任何事件均对应着样本空间的某个子集任何事件均对应着样本空间的某个子集.称称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A中的元素中的元素三、随机事件三、随机事件样本空间的子集称为样本空间的子集称为随机事件。随机事件。 定义定义例例1E4: 掷一颗骰子，考掷一颗骰子，考察察可能出现的点数。可能出现的点数。 S4=1,2,3,4,5,6; A=“掷出偶数点掷出偶数点” B=“掷出大于掷出大于4的点的点” =2，4，6 =5，6 C=“掷出奇数点掷出奇数点”=1，3，5几个特殊事件几个特殊事件: 必然事件必然事件 、不可能事件、不可能事件 、基本事件基本事

6、件e四、事件间的关系四、事件间的关系1.包含关系包含关系A B “A发生必导致发生必导致B发生发生”。 SAB2.2.相等关系相等关系 A AB B A A B B且且B B A A3n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生至少有一个发生 发生发生iniA14. 积（交）事件积（交）事件:A与与B同时发生同时发生 A BAB发生发生4n个事件个事件A1, A2, An同时发生同时发生 A1A2An发生发生5.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件。的差事件。AB发生发生 事件事件A发生而发生而B不发生不发生何时何时A-B= ? 何时何时A-B=A？6 互不相容（互斥）互不相容（互斥

7、） BASBA7 对立事件对立事件 （逆事件）（逆事件）SBABA SAAB A A与与B B互斥表示互斥表示事件事件A与与B不可能同时发生。不可能同时发生。A与与B互为逆事件互为逆事件. 表示表示A,B不可能同时发生，不可能同时发生，但必有一个发生。但必有一个发生。事件与集合对应关系类比事件与集合对应关系类比概率论概率论集合集合样本空间样本空间全集全集样本点样本点元素元素事件事件子集子集事件事件A A发生发生e A事件事件A A不发生不发生e A必然事件必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集事件事件A A发生导致事件发生导致事件B B发生发生A B1、交换律：、交换律：A BB A，A

8、BBA2、结合律：、结合律：(A B) CA (B C)， (AB)CA(BC)3、分配律：、分配律：(A B)C(AC) (BC)， (AB) C(A C)(B C)4、德德.摩根摩根(De Morgan)律：律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广五、事件的运算交变并，并变交，最后加补交变并，并变交，最后加补甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，分别表示甲、乙、丙命中目标，试用试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三

9、人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例例2作业1.2可参照此例题1.2 古典概型古典概型 从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发生的可能性。发生的可能性。P（A A）应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？定义：定义：若某试验若某试验E满足满

10、足1.有限性：样本空间有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ;2.等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1 )=P(e 2)=P(e n ). 则称则称E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能等可能概型。概型。1.2.1.古典概型与概率古典概型与概率设事件设事件A中所含样本点个数为中所含样本点个数为N(A) ，以，以N(S)记样本空间记样本空间S中样本点总数，则有中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：具有如下性质：(1) 0 P(A) 1； 非负性非负性(2) P(S)1； P( )=0 规范性规范性(3) AB ，则，则 P( A B ) P(A) P(B) 有限可加性有限可加

11、性古典概型中的概率古典概型中的概率 :( )( )( )N AP AN S例例: :有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,设每个孩子是男是女的概率设每个孩子是男是女的概率相等相等, ,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少? ?N(S)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT=8N(S)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT=8N(A)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT=7N(A)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT=787)()()(SNANAP解解: :设设AA至少

12、有一个男孩至少有一个男孩, ,以以H H表示某个孩子是男孩，表示某个孩子是男孩，以以T T表示某个孩子是女孩，则表示某个孩子是女孩，则1.2.2 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题两个原理与排列与组合两个原理与排列与组合乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件事共种方法，则完成这件事共有有n n1 1n n2 2种方法种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有一种途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有

13、n n2 2种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。有放回（重复）排列：从含有有放回（重复）排列：从含有n n个元素的集合中个元素的集合中随机抽取随机抽取k k 次，每次取一个，记录其结果后放次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，回，将记录结果排成一列，n n n n n nn n共有nk种排列方式.无放回（重复）排列：从含有无放回（重复）排列：从含有n n个元素的集合中随个元素的集合中随机抽取机抽取k k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，素排成一列，共有共有P Pn nk k

14、=n(n-1)(n-k+1)=n(n-1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. .n n n-1n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1组合一：从含有组合一：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，个，共有共有种取法.)!( !knknkPknCknkn组合二组合二 ：把把n个个球随机地分成球随机地分成m组组(n m)，要求同时满足第要求同时满足第 i i 组恰有组恰有ni个球，个球，i=1,m，共有共有种取法.!.!111121212111mmmmnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn例例1:设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从盒中个红球，现从盒中任

15、任抽抽2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。解解:设事件设事件A为取到一红一白为取到一红一白25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP答答:取到一红一白的概率为取到一红一白的概率为3/51、抽球问题、抽球问题一般地，设盒中有一般地，设盒中有N个球，其中有个球，其中有M个白个白球，现从中任球，现从中任抽抽n个个球，则这球，则这n个个球中恰有球中恰有k个白球的概率是个白球的概率是kn kMN MnNC CpC已知同上例，求至少有一只白球的概率？已知同上例，求至少有一只白球的概率？解：令解：令 B = “至少有一只白球至少有一只白球” 则：则： N(B)=

16、231213CCC109)(BP超几何分布超几何分布例例2 2：将：将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，每盒装球个盒子中去，每盒装球数目不限，问：数目不限，问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）只空一盒的概率是多少？）只空一盒的概率是多少？解解: :设设A=“A=“每盒恰有一球每盒恰有一球”, , B=“ B=“只空一盒只空一盒”33)(SN! 3)(AN92)(AP323)(3131213CCCBP131213)(CCCNB1)(全有球空两盒PPBP329233132、 分球入盒问题分球入盒问题作业作业2.5可参照此例题可参照此例题一

17、般地，把一般地，把n n个个球随机地分配到球随机地分配到m m个盒子中去个盒子中去(n(n m)m)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnmmAp 81281120.95AP 有八人，有八人，问至少有两个人的出生月份问至少有两个人的出生月份相同的概率有多大？相同的概率有多大？某班级有某班级有n 个人个人(n 365)，问问至少有两个人的生日在同一天至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？例例3：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均名学生平均分成分成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3

18、名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(! 9! 9! 9!27! 3)(SNAP20318)(3)(10101020727SNCCCBP3、分组问题、分组问题作业作业2.6可参照此例题可参照此例题例例4：从：从1，2，3，4，5诸数中，任取诸数中，任取3个排成自左向右的次序，个排成自左向右的次序，求：求： （1） “所得三位数是偶数所得三位数是偶数”的概率？的概率？ （2） “所得三位数不小于所得三位数不小于2

19、00”的概率？的概率？2A解：解： 60)(35 ASN24)() 1 (24121ACAN5/260/24)(1AP48)()2(24142ACAN1A5/460/48)(2AP4、 随机取数问题随机取数问题例例5 5 从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个, ,(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解：设（解：设（1 1）（）（2 2）（）（3 3）所求的事件分别

20、为）所求的事件分别为A A、B B、C CN(B)=200/8=25 N(C)=200/24=8N(B)=200/8=25 N(C)=200/24=8P P（A A）= 33/200 P= 33/200 P（B B）= 1/8 P= 1/8 P（C C）=1/25=1/25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25N(S)=200N(S)=200N(A)=200/6=33N(A)=200/6=33例例6：袋中有：袋中有 a 只白球，只白球，b 只红球，依次将球一只只摸出，不只红球，依次将球一只只摸出，不放

21、回，求第放回，求第 k 次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？解：解： 设想设想 a+b 只球进行编号，将只球进行编号，将 a+b 只球顺次排列在只球顺次排列在 a+b 个个 位置上。位置上。 令令 A=“第第 k 次摸到白球次摸到白球” 则则 N(S) = (a+b)! N(A) = Ca1 (a+b-1)! 所以所以 P(A) = a (a+b-1)!/(a+b)! = a/(a+b)5、 抽签问题抽签问题某人向目标射击，以某人向目标射击，以A A表示事表示事件件“命中目标命中目标”，P P（A A）= =？定义定义:事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA(频数）频数）次，次，

22、则比值则比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的频次重复试验中出现的频率，记为率，记为fn(A). 即即fn(A) nA/n1.3 频率与概率频率与概率频率的性质频率的性质0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若A1,A2,Ak两两不相容两两不相容，则则 fn(A1A2 Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 随机波动性。随机波动性。(5) 当当n充分大时，具有稳定性。充分大时，具有稳定性。历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币试图证明抛掷匀质硬币时时,出现正反面的机会均等。出现正反面的机会均等。 实验者

23、实验者n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率. 此为概率的统计定义此为概率的统计定义.概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值;频率是概率的反映频率是概率的反映, 用频率去解释概率用频率去解释概率.例如例如: P(A)=0

24、.8,: P(A)=0.8,则应理解为在观察则应理解为在观察A A而做的而做的20002000次次试验中试验中, ,事件事件A A的出现次数应在的出现次数应在16001600次左右次左右. .两者的关系两者的关系概率的公理化定义概率的公理化定义1.定义：定义：若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间S中的中的每一事件每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) 非负性：非负性：P(A) 00；(2) 规范性规范性（归一性）：（归一性）：P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：设设A1，A2，, 是一列两两互不是一列两两互

25、不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。(2) 有限有限可加性可加性：设设A1，A2，An , 是是n个两两互不个两两互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,则则有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 单调不减性单调不减性：若事件：若事件A B，则则P(A)P(B) (

26、 )0P(1),0( )1ASP A概率的性质概率的性质(5) 加法公式加法公式：对任意两事件：对任意两事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) 该公式该公式可推广到可推广到任意任意n个个事件事件A1，A2，An的的情形情形. P(A)1-P(A)例例1解解: (6)(6) 互补性互补性 P(AB)P0.3ABP B例例2某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸, 订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%, 其中有其中有10%的人的人同时定甲、乙两种报纸同时定甲、乙两种报纸. 没有人同时订甲丙没有人同时订甲丙或乙丙报纸或乙丙报纸. 求从

27、该市任选一人求从该市任选一人, 他至少订有他至少订有一种报纸的概率一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0例例3 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数既不能被）取到的数

28、既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。1( )2P A 3( )10P B (1) ()( )( )()P ABP AP BP AB1()10P AB 107(2) ()1()P ABP AB 103(3) ()( )()P ABP AP AB52解解:设设A取到的数能被取到的数能被2整除整除; B-取到的数能被取到的数能被3整除整除 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问

29、第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？取到红球的概率是多少？已知事件已知事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生发生的概率称为的概率称为A A条件下条件下B B的条件概率，记的条件概率，记作作P(B|A)P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是则第二个人取到红球的概率又是多少？多少？一、条件概率一、条件概率例例1 1 设

30、袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意个红球，现从袋中任意抽取两次，抽取两次，每次取一每次取一个个，取后不放回，取后不放回，（1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; ; （2 2）求第二次取到红球的概率）求第二次取到红球的概率（3 3）求两次均取到红球的概率）求两次均取到红球的概率解：设解：设AA第一次取到红球第一次取到红球,B,B第二次取到红球第二次取到红球41)|() 1 (ABP522312)()2(25PBP10112)()3(25PABP这就是利用缩减的样本空间来做的这就是利用缩减的样本空间来做的S

31、=ABAA第一次取到红球第一次取到红球, ,BB第二次取到红球第二次取到红球显然，若事件显然，若事件A、B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中中的两个事件，其中A含有含有NA个样本点个样本点,AB含有含有NAB个样本点，则个样本点，则AABNNABP)|(称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，则则 )()(APABPSNNSNNAAB()( | )( )P ABP B AP A“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？条件概率的性质条件概率的性质:(P(A) 0)(1)

32、 P(B|A) 0 P(S|A)=1 对对一列两两互不相容的事件一列两两互不相容的事件 A1, A2 , , 有有P( A1 A2 |A) P(A1|A) P(A2|A)+ 例例2 2 设设A,B,CA,B,C是样本空间是样本空间S S中的三个事件中的三个事件, ,且且P(C)0,P(C)0,试用概率的运算性质证明试用概率的运算性质证明: :P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)()()(| )( )( )(:)()()()()()( )( )( )( )( | )(#| )(| )P A BCP ACBCP A B

33、 CP CP CP ACP BCP ABCP ACP BCP ABCP CP CP CP CP A CP B CP AB C证例例3.3. 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,旧乒乓球，各有红旧乒乓球，各有红、白两色，分、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。球的概率。红白新4030旧2010解：设解：设AA从盒中随机取到一只红从盒中随机取到一只红球球. B. B从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球. 60AN40ABN32)|(AABNNABP这就是利用缩减的样

34、本空间来做的这就是利用缩减的样本空间来做的设设A、B S，P（A）0,则则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件上式就称为事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。 上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1) 二、乘法公式二、乘法公式例例4 4 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取一只个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只

35、与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，次取球时取到白球，i=1,2,3,4,i=1,2,3,4,则则312(|)37P AA A4123(|)48P AA A A125()P A 213|6()AP A1234()370P A A A A作业作业4.4可参照此例题可参照此例题)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP解解：令令 Ai = “第第

36、 i 次抽到合格品次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 则所求的事件为：则所求的事件为：321AAA123121312()() (|) (|)P A A AP A P AA P AA A1099010099980083. 0例例5 5一批零件共一批零件共100100件，其中有件，其中有1010件次品，依次做件次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？定义：定义： 事件组事件组A1，A2，An (n可为可为 )，称为，称为样本空间样本空间S的一个划分，若满足：的一个划分，若满足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiA

37、AiiSAijiniiA1A2AnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例：例：S=南理工全体本科生南理工全体本科生 Ai=“南理工本科南理工本科i i年级学生年级学生” i i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生南理工本科生中男学生” “南理工本科生中女学生南理工本科生中女学生”.组成样本空间一个划分AA与S,A:例 概率论意义概率论意义：若：若A1，A2，An是是S的一个划分，的一个划分，则，则， A1，A2，An任意两个不可能同时发生但任意两个不可能同时发生但必有一个发生。必有一个发生。定理定理1、设、设A1，, An是是S的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0，(

38、i1，n)，则对任何事件则对任何事件B S有有 1( )() ( |)niiiP BP A P B A上式称为上式称为全概率公式全概率公式。例例6. 6. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三，且三家工厂的次品率分别为家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品，试求市场上该品牌产品的次品率。牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()(

39、)|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP例例7 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设解：设A A1 1从甲袋放入乙袋的是白球；从甲袋放入乙袋的是白球； A A2 2从甲袋放入乙袋的是红球；从甲

40、袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；从乙袋中任取一球是红球；12743312132)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP甲乙作业作业4.5可参照此例题可参照此例题例例8 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为别为0.9与与0.4，而日本队战胜美国队的概率为，

41、而日本队战胜美国队的概率为0.5，试，试问中国队取得冠军的可能性有多大？问中国队取得冠军的可能性有多大？解：设解：设A A1 1日本队胜美国队；日本队胜美国队； A A2 2美国队胜日本队；美国队胜日本队； B中国队取得冠军；中国队取得冠军；1122( )() ( |)() ( |)P BP A P B AP A P B A0.5 0.90.5 0.40.65若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决赛而获胜的概率是多少？决赛而获胜的概率是多少？308. 065. 04 . 05 . 065. 0)|()()()()|(2222ABPAPBPBAPB

42、AP解解: :定理定理2 2 设设A A1 1，, A, An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i)0)0，(i (i1 1，n)n)，则对，则对任何事件任何事件B, P(B)0,B, P(B)0,有有 ),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上式称为上式称为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例9 9商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只。其中每箱仅可能含只。其中每箱仅可能含0 0，1 1，2 2只次品，其相应的概率分别为只次品，其相应的概率分别为0.8,0.1, 0.10.8,0.1, 0.1。某顾客。某顾客选

43、中一箱，从中任选选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下了这只检查，结果都是好的，便买下了这一箱一箱. .若已知顾客买下了一箱，则这一箱含有一个次品的概若已知顾客买下了一箱，则这一箱含有一个次品的概率是多少？率是多少？解解: :设设B:B:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. . A A0 0, A, A1 1, A, A2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知已知:P(A:P(A0 0)=0.8, P(A)=0.8, P(A1 1)=0.1, P(A)=0.1, P(A2 2)=0.1)=0.10(|)

44、1P B A41914204(|)5CP B AC418242012(|)19CP B AC由贝叶斯公式由贝叶斯公式: :11120() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP ABP A P B A0848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 0例例10数字通讯过程中，信源发射数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中两种状态信号，其中发发0的概率为的概率为0.55，发，发1的概率为的概率为0.45。由于信道中存在干扰，。由于信道中存在干扰，在发在发0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和和0.05接收为接收为0、1和和“

45、不清不清”。在发。在发1的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和和0.1接收为接收为1、0和和“不清不清”。现接收端接收到一个。现接收端接收到一个“1”的信号，的信号，则发端发的是则发端发的是0的概率是多少的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.067解：设解：设A发射端发射发射端发射0， B接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的信的信号号45. 085. 055. 005. 055. 005. 00 (0.55)0 1 0 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 1 0 不不清清(0.8

46、5)(0.05)(0.1)条件概率 缩减的样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率条件概率 小小 结结有限可加性 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球依次从袋中各取一球,令令 Ak = “第第k个人摸到红球个人摸到红球”，K=1,2212(|)0(),P AAP A2121(|)()10,P AAP A若摸后不放回：若摸后不放回：若摸后放回：若摸后放回：2121(|)()10P AAP A212(|)1/9()P AAP A结论：若摸后放回结论：若摸后放回, A1发生与否对发生与否对A2不产生影响。不产生影响

47、。1.5 事件的独立性事件的独立性设设A、B是两事件，若是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立, 简称独立简称独立。若P(A) 0，上，上式等价于式等价于：P(B|A)P(B) 一、两事件独立一、两事件独立例例1 1 、从一副、从一副5252张的扑克牌中任意张的扑克牌中任意抽取一张，以抽取一张，以A A表示抽出一张表示抽出一张A A，以，以B B表示抽出一张黑桃，问表示抽出一张黑桃，问A A与与B B是否是否独立？独立？411:( ),( )521341()52()( ) ( )P AP BP ABP ABP A P BA B解与 独立定理：以下四种情

48、形等价：定理：以下四种情形等价：(1)事件事件A、B相互独立；相互独立；(2)事件事件A、B相互独立；相互独立；(3)事件事件A、B相互独立；相互独立；(4)事件事件A、B相互独立。相互独立。证明证明: :(1)(1)(2) (2) 因为因为事件事件A、B相互独立相互独立,故故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故故A与与B相互独立相互独立.二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、若三个事件、若三个事件A、B、C满足：满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A、B、C相互独立。相互独立。一般地，设一般地，设