第5章频率特性

1、第5章 频率特性法 5.1 频率特性的基本概念 5.2 极坐标图（奈氏图） 5.3 伯德图 5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5 控制系统的相对稳定性 5.6 系统频率特性与时域性能的关系 5.7 MATLAB用于频域分析 5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率响应频率响应在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态响应称为在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态响应称为频率响应频率响应。 设线性定常系统的传递函数为设线性定常系统的传递函数为012( )( )( )()()()mmnb sbC sG sR sspspsp当输入为正弦信号时，当输入为正弦信号时， ，则系统输出的拉氏变换为，则系统输出的拉氏变

2、换为 tAtrsin)(001( )niiikkkC sspsjsj001( )inp tj tj tiic tk ek ek e00(),()22AAkGjkG jjj 其中：()()()()()jG jG jG jG je ,()()G jGj和为共轭复数则则对于稳定系统，有对于稳定系统，有 00()()( )()2j tj tsjtjtc tk ek eeeA G jj () sin( )A G jt （） 表明：对于一般的线性系统（或元件）输入正弦信号时，表明：对于一般的线性系统（或元件）输入正弦信号时，系统的稳态输出信号，即系统的稳态输出信号，即频率响应频率响应是与是与输入同频率的正

3、弦信号，输入同频率的正弦信号，但幅值和相位不一样但幅值和相位不一样。 ( )r t( )sc t( )r t( )c trAcAt0线 性 系 统线 性 系 统（或元件（或元件）( )r t( )c t)a)b5.1.2 频率特性的定义频率特性的定义 ()G j()j 定义：定义：系统频率响应与输入信号的复数比称为频率特系统频率响应与输入信号的复数比称为频率特性，常用性，常用 或或 表示：表示： ()()()()()()()()()C jG jAR jC jG jR jC jG jR j （ ）（ ）称为的称为的幅频特性，幅频特性，它等它等于频率响应输出幅值与于频率响应输出幅值与输入信号幅值之

4、比；输入信号幅值之比； 称为的称为的相频特性相频特性，它是它是稳态输出稳态输出 对输入对输入 的相位移。的相位移。 ()C j()R j将将传递函数传递函数 中的中的s s用代替即得系统的用代替即得系统的频率特性频率特性 。 ( )G s()G j 频率特性频率特性 的幅值和相位都是随的幅值和相位都是随 而变化，即频而变化，即频率特性反映了系统对不同频率信号的响应特性，描述了系统率特性反映了系统对不同频率信号的响应特性，描述了系统对不同频率正弦信号的传递能力。频率特性与微分方程和传对不同频率正弦信号的传递能力。频率特性与微分方程和传递函数一样，是系统在在递函数一样，是系统在在频域的数学模型频域

5、的数学模型，它描述了系统的，它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。内在特性，与外界因素无关。 ()G j各种数学各种数学模型之间模型之间的关系的关系jssGjG)()(例例: :RCRC电路网络是一个惯性环节，其传递函数为电路网络是一个惯性环节，其传递函数为( )1( )( )1crUsG sUsTs其频率特性为其频率特性为arctan2211()( )11jTsjG jG sej TT221( )1AT, ( )arctanT ( )sinrru tUt当 时，其稳态输出为其稳态输出为: :=1，( )20.447sin63.4cu tt（）( )( )sin( )cru tUAt 221

6、5( )0.447,51AT( )arctan263.4 2( )2sinrTu tt当，所以有所以有练习：作业练习：作业5-15-15.1.3 频率特性的表示频率特性的表示 频率特性的解析式频率特性的解析式 频率特性频率特性 是复变函数，它在复平面上的向量如图所示是复变函数，它在复平面上的向量如图所示表示，它可以用以下几种形式的解析式表示。表示，它可以用以下几种形式的解析式表示。 ()G j幅频幅频- -相频形式相频形式： ()()()( )( )G jG jG jA 指数形式指数形式： ()()()()( )j G jjG jG jeAe 三角函数形式：三角函数形式： ()( )cos(

7、)( )sin( )G jAjA 实频实频- -虚频形式：虚频形式： ()Re()Im()( )( )G jG jjG jPjQ( )A( ) P( )ReQ( )Im()G j02. 频率特性常用的图形频率特性常用的图形 幅频特性、相频特性图幅频特性、相频特性图 在直角坐标系内，以频率为横坐标，分别作出的幅在直角坐标系内，以频率为横坐标，分别作出的幅频、相频特性曲线。频、相频特性曲线。 极坐标图极坐标图 也称幅相特性图、奈奎斯特（也称幅相特性图、奈奎斯特（NyquistNyquist）图，简称奈氏图）图，简称奈氏图 它是当它是当 由由0 0变化到变化到时，时， 向量端点在复平面上运动形成的轨

8、向量端点在复平面上运动形成的轨迹，也称为迹，也称为 的极坐标曲线图。的极坐标曲线图。 ()G j()G j由表由表5-15-1数据绘数据绘制出的制出的RCRC网络网络的极坐标图：的极坐标图： 010( )AReIm1T( ) 45复平面（3 3）伯德（）伯德（BodeBode）图）图伯德图伯德图纵坐标均按线性分度纵坐标均按线性分度横坐标是角频率横坐标是角频率 ，按，按 分度，分度，10倍频程，用倍频程，用dec 表示。表示。lg又称对数频率特性图又称对数频率特性图()20lg( )LAdB对数幅频特性对数幅频特性单位：单位：对数相频特性对数相频特性()(单位：单位：由表由表5-15-1数据绘数

9、据绘制出的制出的RCRC网络网络的伯德图：的伯德图： 5.2 极坐标图（奈氏图）极坐标图（奈氏图） 5.2.1 典型环节的奈氏图典型环节的奈氏图 控制系统所包含的典型环节有：比例、积分、惯性、振控制系统所包含的典型环节有：比例、积分、惯性、振荡、微分、一阶微分、二阶微分以及延迟等环节。荡、微分、一阶微分、二阶微分以及延迟等环节。 典型环节的频率特性及其奈氏图典型环节的频率特性及其奈氏图 环节环节()G j( )A( ) 比例比例KK0积分积分1j190惯性惯性11j T21()1Tarctan T振荡振荡22112TjT 22 2211TT（）（2）222arctan1TT 振荡环节是控制系统

10、中很常见的环节，需要注意它的频率特振荡环节是控制系统中很常见的环节，需要注意它的频率特性有几个特点：性有几个特点： （3 3）相频特性须分低频和高频两种计算）相频特性须分低频和高频两种计算（4 4）幅频特性的最大值点）幅频特性的最大值点, ,也称为谐振点：也称为谐振点：22111 202121rrTM典型环节的频率特性及其奈氏图（续）典型环节的频率特性及其奈氏图（续） 环节环节()G j( )A( ) 微分微分arctan T2212TjT 22 221TT（）（2）222arctan1TTj90一阶微分一阶微分1j T2()1T二阶微分二阶微分延迟延迟je15.2.2 控制系统开环奈氏图控制

11、系统开环奈氏图 概略绘制开环奈氏图方法概略绘制开环奈氏图方法: : 1) 1) 确定开环奈氏图的起点和终点确定开环奈氏图的起点和终点2) 2) 确定开环奈氏图与负实轴的交点确定开环奈氏图与负实轴的交点 3) 3) 确定开环奈氏图的变化趋势确定开环奈氏图的变化趋势 用奈氏图对控制系统进行分析和设计时，只要概略绘用奈氏图对控制系统进行分析和设计时，只要概略绘制的奈氏图便可。制的奈氏图便可。( 0)( 0)90()KKG jH jjlim()()0() 90G jH jnm 起点：起点：终点：终点：()nm当时1) 1) 确定开环奈氏图的起点和终点确定开环奈氏图的起点和终点11(1)(1)()()(

12、)() (1)(1)mnK jjG jH jnmjj Tj T设系统（最小相位系统）的开环频率特性为：设系统（最小相位系统）的开环频率特性为：起点位置与系统类型有关终点相角与(n-m)有关0ReIm01230000开环奈氏图的起点开环奈氏图的起点 开环奈氏图的终点开环奈氏图的终点 0ReIm2n m 3n m 1n m 4n m 2)2)确定开环奈氏图与负实轴的交点确定开环奈氏图与负实轴的交点有两种方法：有两种方法： （1 1）频率特性用幅频）频率特性用幅频- -相频形式表示时，令相频形式表示时，令 ，解得，解得交点频率后代入幅频特性中求出对应的幅值交点频率后代入幅频特性中求出对应的幅值. .

13、 （2 2）频率特性用实频）频率特性用实频- -虚频形式表示时，令虚频形式表示时，令 得交点频率后代入频率特性的实部中求出对应实部得交点频率后代入频率特性的实部中求出对应实部. . ( ) Im ()()0G jH j3)3)确定开环奈氏图的变化趋势确定开环奈氏图的变化趋势 由频率特性的幅频、相频或实频、虚频确定奈氏图以由频率特性的幅频、相频或实频、虚频确定奈氏图以何种趋势、单调性由起点进入终点，或图所在的象限区。何种趋势、单调性由起点进入终点，或图所在的象限区。 解解 系统的幅频特性和相频特性为系统的幅频特性和相频特性为 225( )1(0.2 )1A , ( )900.2arctgarct

14、g 1) 起点和终点起点和终点0,( 0)( 0)90G jH j ,lim()()0270G jH j 起点：起点：终点：终点：2) 负实轴穿越点负实轴穿越点( )180 令，20.2arctan9010.2即，即， 52.24g得5,()0.836gA奈氏图与实轴交于奈氏图与实轴交于 ( 0.83, 0)j。 由以上计算和分析作出系统的奈氏曲线如图。由以上计算和分析作出系统的奈氏曲线如图。 例例5-15-1 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 , ,试绘制系试绘制系统统概略开环奈氏图。概略开环奈氏图。 5( )( )(1)(0.21)G s H ss ss0ReIm00.83 3)

15、负相角增大趋势，负相角增大趋势，( )90180 由5.3 伯德图伯德图 伯德图实现了横坐标的伯德图实现了横坐标的非线性压缩非线性压缩，伯德图采用了，伯德图采用了对数，将对数，将幅值的乘除运算简化为加减运算幅值的乘除运算简化为加减运算，大大简化了，大大简化了频率特性的计算。这些特点使伯德图成为了控制系统设频率特性的计算。这些特点使伯德图成为了控制系统设计的有效工具，得到了广泛的应用。计的有效工具，得到了广泛的应用。 将系统的传递函数按典型环节分解将系统的传递函数按典型环节分解 1( )( )NiiG sG s式中，式中，N N为典型环节的个数。为典型环节的个数。 则系统频率特性为则系统频率特性

16、为 1()(),NiiG jG j1( )( ),NiiAA1( )( )Nii 系统对数幅频特性为系统对数幅频特性为NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(典型环节典型环节的对数频的对数频率特性叠率特性叠加加5.3.1 典型环节的伯德图典型环节的伯德图1比例环节比例环节其对数幅频特性和对数相频特性分别为其对数幅频特性和对数相频特性分别为( )20lgLK( )0 0( )/dBL10.10( ) 0.1120lg K 是一条高度为是一条高度为 的水平线。的水平线。 ( )L20lg K 对数相频特性是对数相频特性是0 0度线。度线。 2积分、微分环节积分、微分环节积分、微分环

17、节的频率特性积分、微分环节的频率特性 1();1,()G jj ( )20lgL ( )90 020( )/dBL10.1101190() 9020110积分环节积分环节微分环节微分环节 对数幅频特性是一条斜线，对数幅频特性是一条斜线，斜率为：斜率为： 20dB/dec 对数相频特性是一条水平直线：对数相频特性是一条水平直线： 3. 惯性环节惯性环节惯性环节的对数幅频和相频特性惯性环节的对数幅频和相频特性 2( )20lg()1LT ( )arctanT 对数幅频特性渐近线：对数幅频特性渐近线：低频渐近线，低频渐近线， 1 T( )20lg010LdB 高频渐近线，高频渐近线， 1 T2( )

18、20lg0()20lgLTTdB 1 T在在转折频率转折频率 处有最大误差处有最大误差(1)20lg 1 120lg13LTdB 是一条斜率为是一条斜率为20dB/dec20dB/dec的直线的直线 可采用逐点计算描点或模板的方法绘制对数相频特性。可采用逐点计算描点或模板的方法绘制对数相频特性。 010102020( )/dBL1T0.1T10 T渐近线渐近线渐近线渐近线精确曲线精确曲线04590( )0.1T1T10 T转折频率转折频率- 20dB/dec4. 一阶微分环节一阶微分环节 一阶微分环节的对数幅频和相频特性一阶微分环节的对数幅频和相频特性 2( )20lg()1LT( )arct

19、an T 一阶微分环节和惯性一阶微分环节和惯性环节的频率特性互为到数环节的频率特性互为到数，它们的对数幅频特性和，它们的对数幅频特性和对数相频特性都相差一个对数相频特性都相差一个符号，所以符号，所以一阶微分环节一阶微分环节的伯德图和惯性环节的伯的伯德图和惯性环节的伯德图对称于横坐标德图对称于横坐标。 10 T0.1 T1 T渐近线渐近线010102020( )/dBL渐近线渐近线精确曲线精确曲线0459010 T1 T0.1 T转折频率转折频率20dB/dec5振荡环节振荡环节 振荡环节的对数幅频和相频特性振荡环节的对数幅频和相频特性 2222( )20lg12LTT 222( )arctan

20、1TT 对数幅频特性渐近线：对数幅频特性渐近线：低频渐近线，低频渐近线， 1 T高频渐近线，高频渐近线， 1 T( )20lg10dBL 22( )20lg40lgLTT 1 T在在转折频率转折频率 处有最大误差处有最大误差(1)20lg2LT 与阻尼比有关与阻尼比有关 6. 二阶微分环节二阶微分环节 二阶微分环节的对数幅频和相频特性二阶微分环节的对数幅频和相频特性 2222( )20lg12LTT222( )arctan1TT 二阶微分环节和振荡环二阶微分环节和振荡环节的频率特性互为到数，它节的频率特性互为到数，它们的对数幅频特性和对数相们的对数幅频特性和对数相频特性都相差一个符号，所频特性

21、都相差一个符号，所以以二阶微分环节的伯德图和二阶微分环节的伯德图和振荡环节的伯德图对称于横振荡环节的伯德图对称于横坐标坐标。 7延时环节延时环节对数幅频特性和相频特性分别为对数幅频特性和相频特性分别为dBL01lg20)()57.3( ) 0()dBL057.31() 5.3.2 控制系统开环伯德图控制系统开环伯德图 作系统开环伯德图的步骤为：作系统开环伯德图的步骤为： （1 1）转折频率标注。将传递函数进行典型环节分解，将各典型环节）转折频率标注。将传递函数进行典型环节分解，将各典型环节的转折频率由小到大依次标注在频率轴上。的转折频率由小到大依次标注在频率轴上。（2 2）绘制低频段渐近线。）

22、绘制低频段渐近线。 ( )20lg20lg20lg0KLK1,( )20lgLK斜率斜率 20 dB/dec绘制方法：确定绘制方法：确定 之点，之点，过该点画斜率为过该点画斜率为 的直线。的直线。1, ( )20lgLK20 dB/dec（3 3）绘制中、高频段渐近线。）绘制中、高频段渐近线。 将低频段直线沿着频率增大的方向延伸，每遇到一个将低频段直线沿着频率增大的方向延伸，每遇到一个转折频率转折频率，根据，根据该环节的对数频率特性该环节的对数频率特性改变一次直线的斜率改变一次直线的斜率，直至最后一个转折频率。，直至最后一个转折频率。 （4)4)误差修正，需要时按照各典型环节的误差曲线进行修正

23、。误差修正，需要时按照各典型环节的误差曲线进行修正。 （5 5）绘制系统开环对数相频特性曲线）绘制系统开环对数相频特性曲线. .选择若干个频率计算对应的选择若干个频率计算对应的相位，取点连成曲线。相位，取点连成曲线。 例例5-25-2 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为)11 . 001. 0)(12()15 . 0(4)()(2ssssssHsG试绘制系统开环对数频率特性曲线。试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解解 （1 1）系统有放大、积分、振荡、惯性、一阶微分）系统有放大、积分、振荡、惯性、一阶微分5 5个基本环节个基本环节转折频率转折频率 10, 25 . 0321确定点：确

24、定点： 1, ( )20lg412dBL斜率：斜率：-20dB/dec （1 1型系统）型系统） （3 3）绘制中、高频段渐近线。）绘制中、高频段渐近线。 斜率转折：斜率转折：-20dB/dec -40dB/dec -20dB/dec -60dB/dec（4 4）绘制系统开环对数相频特性曲线）绘制系统开环对数相频特性曲线. .系统开环相频特性为系统开环相频特性为20.1( )90arctan2arctan0.5arctan1 0.01 （2 2）低频段直线。）低频段直线。01220.511 02040( )/dBL18090270( ) 00.12020dB dec20dB dec40dB d

25、ec60dB dec5.3.3 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数 1. 最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统最小相位系统传递函数的极点和零点的实部均传递函数的极点和零点的实部均小于或等于零的系统，称为最小相位系统小于或等于零的系统，称为最小相位系统 非最小相位系统非最小相位系统传递函数的极点和零点的实部传递函数的极点和零点的实部有大于零的系统，称为非最小相位系统有大于零的系统，称为非最小相位系统 幅频特性相同的最小相位系统的相位变化量总小于幅频特性相同的最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量，非最小相位系统的相位变化量， 最小相位系统

26、的传递函数、幅频特性和相频特性最小相位系统的传递函数、幅频特性和相频特性之间存在着唯一确定的关系之间存在着唯一确定的关系 2. 最小相位系统的传递函数最小相位系统的传递函数 最小相位系统，其传递函数由单一的最小相位系统，其传递函数由单一的幅值幅值曲线曲线唯一确定。唯一确定。 例例 5-45-4 最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，试确定系统的传递函数。所示，试确定系统的传递函数。由对数幅频渐近特性求传递函数是伯德图曲线绘制的逆问题。由对数幅频渐近特性求传递函数是伯德图曲线绘制的逆问题。 0( )/dBL0.240dB/dec20dB/dec1240

27、dB/dec解解 由图可确定系统的传递函数形式为由图可确定系统的传递函数形式为 221(1)(51)0.2( )1(0.51)(1)2KsKsG sssss( )01L再由再由2222(5)15()11(0.5)1ccccccKKA解得解得 0.2K 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 5.4.1 幅角定理幅角定理 设设F F(s)(s)为为一一单值复变函数。在单值复变函数。在s s平面上任平面上任取一条不通过取一条不通过F F(s)(s)的任一零点和极点的封闭的任一零点和极点的封闭路径路径，当，当s s从封闭路径从封闭路径上任一点起顺时针上任一点起顺时针沿沿运动一周回到该点时，

28、则对应运动一周回到该点时，则对应F F(s)(s)平面平面上的映射上的映射F F亦会是一条封闭路径。如图所示。亦会是一条封闭路径。如图所示。 0( )F sImF1( )F sRe2( )F s3( )F s)b)a0 sj1s2s3s幅角定理幅角定理 设设s s平面封闭路径平面封闭路径包围了包围了F F(s)(s)的的 Z 个零点、个零点、 P 个极点，则当个极点，则当s s沿沿按顺时按顺时针方向运行一周时，平面上的映射针方向运行一周时，平面上的映射F F逆时针逆时针包围原点的圈数为包围原点的圈数为: : R P Z 当当R0 0时，表示时，表示F F顺时针包围顺时针包围F F(s)(s)平

29、面平面的原点，的原点，R 0 0表示不包围表示不包围F F(s)(s)平面的原点。平面的原点。 5.4.2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据设如图所示系统的开环传递函数为设如图所示系统的开环传递函数为)()()()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG其特征方程为其特征方程为: : 0)()(1)(sHsGsF)()()()()()()(212121nmnpspspszszszsKpspspssF11212()()()()()()nnK ssssssspspsp其中，其中， 12,mz zz为系统的开环零点；为系统的开环零点； 12,ns ss为为F(s)F(s)的零点，也是

30、特征方程的根；（的零点，也是特征方程的根；（判稳欲知判稳欲知） 12,np ppF(s)F(s)为的极点，也是开环传递函数的极点为的极点，也是开环传递函数的极点。（已知）。（已知） 1. 奈氏路径奈氏路径 如果取一个包围整个右半如果取一个包围整个右半s s平面的封闭路径平面的封闭路径，就可，就可以通过其在以通过其在F F(s)(s)平面的映射平面的映射F F了解了解F F(s)(s)的零点，即特征的零点，即特征根位于右半根位于右半s s平面的数目平面的数目Z Z。 )a)b图图5-23 5-23 奈氏路径奈氏路径 a a）虚轴上无极点时）虚轴上无极点时 b) b) 虚轴上有极点虚轴上有极点0j

31、j jR0jj j0r 0j0j 若若以包围了以包围了F F(s)(s)的的Z个零点和个零点和P个极点。由应用幅角个极点。由应用幅角原理可知，当原理可知，当s s 按顺按顺时针方向沿时针方向沿运动一运动一周时，其在周时，其在F F(s)(s)平面平面上的映射曲线上的映射曲线F F将将逆时针围绕着坐标原逆时针围绕着坐标原点旋转点旋转R周，且周，且R = P-Z。2. 奈氏判据奈氏判据 如前述：当如前述：当s s 按顺时针方向沿按顺时针方向沿运动一周时，其在运动一周时，其在F F(s)(s)平面上的映射平面上的映射F F将逆时针围绕着坐标原点旋转将逆时针围绕着坐标原点旋转R=P-Z周。周。 若若R

32、P，则则Z=0，F F(s)(s)没有的零点，即闭环极点在右半没有的零点，即闭环极点在右半s s平面，闭环系统是稳定的。平面，闭环系统是稳定的。 ()1()()F jG jH j 因为因为()()() 1G jH jF j0Re1, 0j()F j1()()G jH j0ImReIm所以所以s s 按顺时针方向沿奈氏路径按顺时针方向沿奈氏路径运行一周运行一周, , 由由 ，00jjjj 其在其在F F(s)(s)平面上的映射即为平面上的映射即为( )():00F sF jsj 由F F平面平面的原点即的原点即GHGH平面的（平面的（-1-1，j0)j0)点点奈奎斯特稳定判据：奈奎斯特稳定判据：

33、 反馈控制系统稳定的充分必要条件是，系统开环频率特性曲反馈控制系统稳定的充分必要条件是，系统开环频率特性曲线线 逆时针包围临界点逆时针包围临界点( (1,j0)1,j0)点的圈数点的圈数R等于开环传等于开环传递函数的正实部极点数递函数的正实部极点数P (Z=0)。)()(jHjG 对于最小相位系统，对于最小相位系统，P = 0, ,系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不包围包围( (1,j0)1,j0)点。奈氏曲线不包围点。奈氏曲线不包围( (1,j0)1,j0)点，则系统稳定；反之，点，则系统稳定；反之，奈氏曲线包围奈氏曲线包围( (1,j0)1,j0)点，系统

34、不稳定点，系统不稳定(s右平面特征根数右平面特征根数Z=P-R) ；若；若奈氏曲线穿越奈氏曲线穿越( (1,j0)1,j0)点，系统临界稳定。点，系统临界稳定。 稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统临界稳定系统临界稳定系统ImRe010p ImRe010p ImRe010p 例例5-55-5 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 ， 12( )( )(1)(1)KG s H sTsT s试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性. .解解 系统开环传递函数在系统开环传递函数在s s右半平面上没有极点，即右半平面上没有极点，即P P0 0。 12()()(1)(1)KG

35、 jH jjTjT系统开环频率特性系统开环频率特性开环奈氏图：起点开环奈氏图：起点( 0)( 0)0G jH jKlim()()0180G jH j 终点终点与负实轴无交点，再根据对称性作图与负实轴无交点，再根据对称性作图 。 由图可知，奈氏曲线不包围（由图可知，奈氏曲线不包围（-1-1，j0j0）点，即）点，即R0，所以，所以ZPR0。这表示对于任意正值这表示对于任意正值K、T1和和T2，该闭，该闭环系统是稳定的。环系统是稳定的。例例 5-6 已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数( ),(0,0)1KG sKtTs试用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的试用奈氏判据确定使该

36、闭环系统稳定的 K 值范围。值范围。解解 开环系统频率特性为开环系统频率特性为22()11KKjKTG jjTT开环奈氏图：起点开环奈氏图：起点终点终点22( )1KAT, ( )180arctanT ( 0)( 0)180G jH jKlim()()090G jH j 与负实轴相交于点（与负实轴相交于点（-K, j0 )，根据，根据对称性作出奈氏曲线如图。对称性作出奈氏曲线如图。 当当K1，R1 = P ，闭环系统稳定。闭环系统稳定。 则则 Z PR 03含有积分环节系统的奈氏判据含有积分环节系统的奈氏判据 含有积分环节系统，应用奈奎斯特稳定判据时必须选择如图所含有积分环节系统，应用奈奎斯特

37、稳定判据时必须选择如图所示的奈氏路径示的奈氏路径，这时的奈氏曲线还应加上小半圆弧的映射。这时的奈氏曲线还应加上小半圆弧的映射。 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为11(1)( )( ),(1)miinllKsG s H snmsTs1001(1)( )( )limlim(1)mjijinjjjllKeKG s H seseeT e 则则s s沿小半圆弧绕行时，沿小半圆弧绕行时， jes 0（其中（其中 ） 可见，当可见，当s s从从 沿无限小半圆弧到沿无限小半圆弧到 时，时， 由由 逆时逆时针转过针转过 时，其在时，其在GH GH 平面上的映射就是一个顺时针转过平面上的映射就是一个顺

38、时针转过 的半径的半径为无穷大的圆弧。为无穷大的圆弧。 0j0j900901801800jj j0r 0j0j例例 5-7 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 10( )( ),(0.21)(0.051)G s H ssss 解解 1 1型系统，奈氏路径应是图型系统，奈氏路径应是图5-23b5-23b所示的闭合曲线所示的闭合曲线。系统。系统的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性2210( )(0.2 )1(0.05 )1A( )90arctan0.2arctan0.05 开环奈氏图：起点开环奈氏图：起点终点终点( 0

39、 )( 0 )90G jH j lim()()0270G jH j 与负实轴有交点与负实轴有交点, , 令令 ，解得与负实解得与负实轴的交点频率轴的交点频率 ，交点（交点（-0.4,j0 )-0.4,j0 )。 ( )180 10ImRe100.40 增补奈氏路径小半圆的映射：从的映射点增补奈氏路径小半圆的映射：从的映射点 开开始顺时针转过始顺时针转过 到映射点到映射点 的无穷大圆弧。的无穷大圆弧。 01800可见，奈氏曲线对可见，奈氏曲线对(-1,j0)(-1,j0)点的包围圈数点的包围圈数R R0 0，P=0P=0，系统是稳定的，系统是稳定的。 5.4.3 伯德图上的奈奎斯特稳定判据伯德图

40、上的奈奎斯特稳定判据 1. 正、负穿越的奈氏判据正、负穿越的奈氏判据奈氏曲线对奈氏曲线对 (-1,j0) (-1,j0) 点的包围可以用正、负穿越的概念来表示：点的包围可以用正、负穿越的概念来表示：1N0ImRe10.5N1N正穿越正穿越从上向下穿过从上向下穿过 (-1,j0) (-1,j0) 点左侧负实轴点左侧负实轴, ,用用N+表示；表示；负穿越负穿越从下向上穿过从下向上穿过 (-1,j0) (-1,j0) 点左侧负实轴点左侧负实轴, ,用用N-表示；表示；起始于负实轴或终止于负实轴时，穿越次数定义为起始于负实轴或终止于负实轴时，穿越次数定义为0.50.5次。次。 设设N为为 时开环奈氏曲

41、线包围（时开环奈氏曲线包围（-1-1，j0j0）点的圈数，则有：点的圈数，则有：022ZPRNNNNPZ2正、负穿越概念的奈奎斯特正、负穿越概念的奈奎斯特稳定判据稳定判据： 闭环系统稳定的充要条件是闭环系统稳定的充要条件是，当，当 时，开环奈氏曲线在时，开环奈氏曲线在点点（1，j0）左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为P/2。 02. 伯德图的奈氏判据伯德图的奈氏判据 开环奈氏曲线与伯德图之间的对应关系：开环奈氏曲线与伯德图之间的对应关系： 1 1）极坐标图上单位圆与伯德图上的）极坐标图上单位圆与伯德图上的0dB线相对应，单位线相对应，单位圆的外部对应于圆的外部

42、对应于 dBdB，单位圆的内部对应于，单位圆的内部对应于 dBdB。 2 2）极坐标图上负实轴与伯德图上的）极坐标图上负实轴与伯德图上的 线相对应。线相对应。( )0L0)(L180)b0( )/dBL0( ) 180( )0L)a0ImRe1, 0 j0GH伯德图上的正、负穿越伯德图上的正、负穿越 180负穿越负穿越相频特性曲线从上而下对相频特性曲线从上而下对 的穿越。的穿越。 180正穿越正穿越相频特性曲线从下而上对相频特性曲线从下而上对 的穿越；的穿越； 伯德图上的奈奎斯特伯德图上的奈奎斯特稳定判据稳定判据： 设设P为开环传递函数正实部极点个数，闭环系统稳定的充为开环传递函数正实部极点个

43、数，闭环系统稳定的充要条件是，当要条件是，当 时，在开环对数幅频特性上时，在开环对数幅频特性上 dBdB的频段内，对数相频特性的频段内，对数相频特性 穿越穿越 线的次数线的次数 为为P P/2/2。 0 0)(L)(180)(NNNN 开环奈氏曲线对开环奈氏曲线对(-1,j0)(-1,j0)点左侧负实轴的正、负穿越，点左侧负实轴的正、负穿越，对应于伯德图上，在对应于伯德图上，在 dBdB的频段内相频特性曲线的频段内相频特性曲线 对对 线的穿越：线的穿越：0)(L)(180例例5-95-9 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 ) 12 . 0)(1()(sssKsG试用伯德

44、图分别确定试用伯德图分别确定K=2和和K=10时闭环系统的稳定性。时闭环系统的稳定性。 解解 系统转折频率为系统转折频率为 。绘制。绘制 K=2和和K=10时的伯德时的伯德图如图。图如图。121,5 系统开环稳定，系统开环稳定，P=0。 由图可见，由图可见，K=2时时, , ,在在 的频段内无穿越，的频段内无穿越，N=0, ,闭环系统稳定。闭环系统稳定。1.4c0)(L K=10时时, , ,在在 的频段内有一次负穿越，的频段内有一次负穿越，N-=1,N= N+-N-= -1 闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。3.2c0)(L5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5.5.1 相位裕量

45、相位裕量 幅值穿越频率幅值穿越频率 系统开环幅频特性为系统开环幅频特性为1 1时的角频率，也称时的角频率，也称为截止频率或剪切频率。即为截止频率或剪切频率。即 c()1,cA()0cL 相位裕量相位裕量在系统的幅在系统的幅值穿越频率处，使闭环系统达值穿越频率处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相到临界稳定状态所需附加的相位（超前或滞后相位）量位（超前或滞后相位）量, ,称称为为相位裕量相位裕量，用，用 表示。有表示。有)(180cIm()c 0)(jGc单位圆单位圆1Rec01800( )LdB( ) 相位裕量越大，系统的相对稳定性越好，一个相位裕量越大，系统的相对稳定性越好，一个良好的控

46、制系统，一般要求良好的控制系统，一般要求 。 40605.5.2 幅值裕量幅值裕量 相位穿越频率相位穿越频率 系统开环相频特性等于系统开环相频特性等于180180时所对应时所对应的角频率，称为相位穿越频率。即的角频率，称为相位穿越频率。即 g180)(g 幅值裕量幅值裕量在系统的相在系统的相位穿越频率处开环幅频特性的位穿越频率处开环幅频特性的倒数，称为幅值裕量，用倒数，称为幅值裕量，用 表表示。有示。有 h)(1gAh20lg()()gghAL 在伯德图中，幅值裕量在伯德图中，幅值裕量以分贝表示：以分贝表示： g1800( )LdB( ) 0h Im1h)(jGg1Re1h 幅值裕量表示幅值裕

47、量表示：对于闭环稳定的系：对于闭环稳定的系统，系统开环幅频特性增大统，系统开环幅频特性增大 倍倍后系统达到临界稳定状态。后系统达到临界稳定状态。 h一个良好的控制系统，一般要求一个良好的控制系统，一般要求h h6 610dB10dB。 例例5-105-10 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 10(0.51)( )(1)(0.11)(0.051)sG ss sss试求系统的相位裕量和幅值裕量。试求系统的相位裕量和幅值裕量。 解解 由开环伯德图计算裕量。由开环伯德图计算裕量。 转折频率为转折频率为 ，且，且 dBdB，低频段斜率，低频段斜率为为 ，绘制伯德图如图所示。，绘制

48、伯德图如图所示。12341,2,10,2020lg20K 20dB/dec0.1602040021102040( )/dBL18090270( ) 020100202040cghc在转折频率在转折频率22，1010之间，由之间，由 10 0.5()11 1ccccA 解得解得 5,c()141 ,c 39令令 ()180g 或由试探法求得或由试探法求得 13.1g所以所以 10 0.5()20lg10.7dB0.1ggggghL 5.6 系统频率特性与时域性能的关系系统频率特性与时域性能的关系5.6.1 开环频率特性与时域性能的关系开环频率特性与时域性能的关系1. 二阶系统开环频域指标与时域指

49、标的关系二阶系统开环频域指标与时域指标的关系开环频率特性为开环频率特性为2()(2)nnG jjj222( ),4nnA ( )90arctan2n 典型二阶系统的系统的开环传递函数典型二阶系统的系统的开环传递函数2( )(1)(2)nnKG ss Tss s（2 2） 和和 的关系的关系stc3(0.05)snt 由由2236412tansct 可见，可见， 反映了系统的快速反映了系统的快速性。在阻尼比相同，即相位裕性。在阻尼比相同，即相位裕量相同时，量相同时， 越大，越大， 越小，越小，系统响应速度越快。系统响应速度越快。stcc()1cA令，可得可得22214nc（1 1） 和和 的关系

50、的关系p222142arctan)(180c可见可见 只与只与 有关，并可用以下方程近似表示有关，并可用以下方程近似表示 100阻尼比阻尼比 越大，相越大，相位裕量位裕量 越大，超调越大，超调量量 越小，系统的越小，系统的相对稳定性越好。相对稳定性越好。p2. 开环频率特性的三频段和时域性能的关系开环频率特性的三频段和时域性能的关系（1 1） 低频段低频段 低频段特性由积分环节和开环低频段特性由积分环节和开环增益决定。低频段斜率越负，位置增益决定。低频段斜率越负，位置越高，对应的积分环节数目越多，越高，对应的积分环节数目越多，开环增益越大，则闭环系统在稳定开环增益越大，则闭环系统在稳定的条件下

51、，稳态误差越小，稳态精的条件下，稳态误差越小，稳态精度越高。度越高。 因此低频段表征了闭环系统的因此低频段表征了闭环系统的稳态性能。稳态性能。0( )/dBL60404020c低频段低频段中频段中频段高频段高频段20（2 2） 中频段中频段 经验表明：经验表明：为了使闭环系统稳定并具有足够的相位裕度，开环为了使闭环系统稳定并具有足够的相位裕度，开环对数幅频特性最好对数幅频特性最好以以-20dB/dec-20dB/dec的斜率通过的斜率通过0dB0dB线线；如果以；如果以-40dB/dec-40dB/dec的斜率通过的斜率通过0dB0dB线，则闭环系统可能不稳定，即使稳定，相位裕度往线，则闭环系

52、统可能不稳定，即使稳定，相位裕度往往也比较小；如果以往也比较小；如果以-60dB/dec-60dB/dec或更负的斜率通过或更负的斜率通过0dB0dB线，则闭环系线，则闭环系统肯定不稳定。统肯定不稳定。 指指 附近的区段附近的区段 c 中频段中频段 的大小决定系统响应速度的大小，的大小决定系统响应速度的大小， 越大，系统快越大，系统快速性越好；相位裕量速性越好；相位裕量 影响系统的相对稳定性，影响系统的相对稳定性， 越大，系统的相越大，系统的相对稳定性越好。对稳定性越好。 cc 当当 以以-20dB/dec-20dB/dec的斜率穿越的斜率穿越0dB0dB线时，线时，-20dB/dec-20d

53、B/dec斜率段的斜率段的宽度越大宽度越大， 越大，系统平稳性越好。越大，系统平稳性越好。 ( )L3高频段高频段高频段主要反映控制系统的抗扰性能。高频段主要反映控制系统的抗扰性能。 由于一般系统高频开环幅频值小，即由于一般系统高频开环幅频值小，即 )()(1)()(jGjGjGj 因此开环幅频特性在高频段的幅值直接反映了系统对输入端高频因此开环幅频特性在高频段的幅值直接反映了系统对输入端高频干扰信号的抑制能力。高频段特性分贝值越低，系统对高频干扰信号干扰信号的抑制能力。高频段特性分贝值越低，系统对高频干扰信号的抑制能力就越强。的抑制能力就越强。 ()1G j5.6.2 闭环频率特性与时域性能

54、的关系闭环频率特性与时域性能的关系 1. 闭环频率特性及其性能指标闭环频率特性及其性能指标 在工程实践中也常用闭环频率特性来分析和设计系统。在工程实践中也常用闭环频率特性来分析和设计系统。 0( )M3dBb(0)MmMr()()()( )()jC jjMeR j （2 2） 谐振峰值谐振峰值 （3 3） 谐振频率谐振频率 （4 4） 带宽频率带宽频率 rM(0)rmMMMrb 闭环幅频特性闭环幅频特性 的典型形状如图，的典型形状如图，可定义如下可定义如下闭环频域指标闭环频域指标。 ( )M（1 1） 零幅幅值零幅幅值 (0)M反映了系统的稳态精度反映了系统的稳态精度 表征了系统的相对稳定性表

55、征了系统的相对稳定性 反映了系统暂态响应的速度（快速性）反映了系统暂态响应的速度（快速性） 2二阶系统闭环频域指标和时域指标的关系二阶系统闭环频域指标和时域指标的关系对于二阶系统，其时域指标与闭环频域指标之间也有确定的关系。对于二阶系统，其时域指标与闭环频域指标之间也有确定的关系。 2222)()(nnnsssRsC闭环传递函数为闭环传递函数为 其闭环频率特性为其闭环频率特性为)(22)(211)()(jnneMjjRjC2222211)(nnM（1 1） 和和 的关系的关系 rMp221nr( )0dMdt令，可得：2121rmMM1(0)2可见可见 只与只与 有关，与有关，与 通通过阻尼比有唯一确定的关系，过阻尼比有唯一确定的关系， 越大