高考数学(理数)一轮复习检测卷：3.6《解三角形的综合应用》 (教师版)

1、限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()ABC D解析：选D.对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离2一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是

2、南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：选A.画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ABC40°65°105°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(

3、)A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，在RtBCD中，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 k

4、m解析：选A.在ACD中，由余弦定理得：cos D.在ABC中，由余弦定理得：cos B.因为BD180°，所以cos Bcos D0，即0，解得AC7.5如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A5()km B5()kmC10()km D10()km解析：选C.由题意知BAC60°30°30°，CBA30°45°75

5、76;，所以ACB180°30°75°75°，故ACAB，因为AB40×20，所以ACAB20.在ABC中，由余弦定理得，BC2AC2AB22AC·ABcosCAB4004002×20×20cos 30°400(2)，故BC10()6如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BD·AD·cosBDA，即142x21022·10x·cos

6、 60°，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BC·sin 30°8.答案：87如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.解析：在ABC中，BAC30°，CBA105°，ACB45°.又AB600 m，由正弦定理，得BC300 m.在RtBCD中，DBC30°，BC300 m，tanDBC，DC100

7、m.答案：1008沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60°，BCD135°，AB80 n mile，BC(4030)n mile，CD250 n mile，D位于A的北偏东75°方向现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西，则sin _解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，为正北方向，为正南方向，则AF50 n mile，连接AC，CF，过A作AEBC于E，则AE80sin 60°40(n mile)，BEAB

8、cos60°40(n mile)，CEBCBE30n mile，AC50n mile，cosACE，sin ACE，所以cos ACDcos(135°ACE)，所以CAD90°.又AF50 n mile，AC50 n mile，所以AFC60°，所以CFNAFNAFCMAFAFC15°，故sin .答案：9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sin Asin C)csin Cbsin(AC)(1)求角B；(2)若b6，sin C，求ABC的面积S.解：(1)因为ACB，所以由已知得a(sin Asin C)csin Cb

9、 sin(B)，即a(sin Asin C)csin CbsinB根据正弦定理可得a(ac)c2b2，即a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，因为0<B<，所以B.(2)因为B，所以C为锐角，故cos C，所以sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin Csin×cos ×××.由正弦定理，得a.所以ABC的面积Sabsin C××6×.10在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C处的救援船，救援

10、船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tan 的值解：(1)在题图中的ABC中，AB80，AC40，BAC120°，由余弦定理可知：BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°，即BC28024022·80·40·11 200，故BC40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为小时(2)在ABC中，由正弦定理可得sinACBsinBAC，显然ACB为锐角，故cosACB，tanACB，而ACB30°.故tan tan(ACB30

11、°).B级能力提升练11某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、，则此人将()A不能作出满足要求的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形解析：选D.设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得Sa×c×b×，a26S，c10S，b22S.由大角对大边得26S对应的角最大，cos A0.又A(0，)，A为钝角，故D正确12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积为c，则ab的最小值为()A. BC. D3解析：选B.由正弦定理及2ccos B2ab，得2sin C

12、cos B2sin Asin B因为ABC，所以sin Asin(BC)，则2sin C·cos B2sin(BC)sin B，即2sin B·cos Csin B0，又0B，所以sin B0，则cos C.因为0C，所以C，所以sin C，则ABC的面积为absin Cabc，即c3ab，结合c2a2b22ab·cos C，可得a2b2ab9a2b2.a2b22ab，当且仅当ab时取等号，2abab9a2b2，即ab，故ab的最小值是，故选B.13如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测

13、得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为_km/h.解析：在RtPAB中，APB60°，PA，所以AB3.在RtPAC中，APC30°，所以AC1.在ACB中， CAB20°40°60°，所以BC.则船的航行速度为÷6(km/h)答案：614已知函数f(x)m·n，其中向量m(sin xcos x，cos x)，n(cos xsin x，2sin x)，0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于

14、等于.(1)求的取值范围；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，当最大时，f(A)1，求ABC的面积的最大值解：(1)由题意知f(x)m·ncos2 xsin2 xsin 2xcos 2xsin 2x2sin.·，0，0.(2)由(1)知max，f(A)2sin1，即sin.又0A，A，A，得A.又由余弦定理得a23b2c22bc×3bc，即bc1.SABCbcsin A×1×.ABC的面积的最大值为.15某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，C

15、D，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值解：(1)如图，连接BD，在BCD中，BD2BC2CD22BC·CDcosBCD2×cos ，BD km.BCCD，CDBCBD，又CDE，BDE.在RtBDE中，BE(km)故道路BE的长度为 km.(2)设ABE，BAE，AEB.在ABE中，易得，ABsin，AEsin .SABEAB·AEsinsinsin (km2)0，2.当2，即时，SABE取得最大值，最大值为 km2，故生活区ABE面积的最大值为 km2.C级素养加强练16在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)看台，看台分别是以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC.(1)当时，求BC的长；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价解：(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC.在ABC中，SABCAB·AC·sin 400，所以AC2.由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC&