震动合成,波动

1、平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成 振动频谱振动频谱 ),cos(111tAx)cos(222tAx振动合成振动合成21xxx 在同一直线上同频率的两个简谐在同一直线上同频率的两个简谐振动分别为：振动分别为： 代数方法：代数方法：tAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211令：令：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA)cos()cos(2211tAtA代入上式：代入上式：合振幅合振幅)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(tAxtAtAsinsincoscos)cos(t

2、AtAAxcos)coscos(2211 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个简谐振动，且频率不变。一个简谐振动，且频率不变。tAAsin)sinsin(2211由由得：得：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAAxo2A A1A A12A A2A A)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg 利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置取质点振动的平衡位置O O为坐为坐标原点，振动方向沿标原点，振动方向沿O

3、XOX轴。轴。 从从O O点作两个长度分别为点作两个长度分别为A A1 1、A A2 2的矢量的矢量 ，它们在，它们在t=0t=0时时与与X X轴的夹角分别为轴的夹角分别为 1 1、 2 2。21, AA从图中三角形的边角关系，很容易得到：从图中三角形的边角关系，很容易得到：M 矢量矢量 的合矢量的合矢量 的端点在的端点在X X 轴上的投影轴上的投影MM的运动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。的运动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。21, AAA演示)cos(212212221AAAAA1. .当当k212时时, , ),2,1,0(k21AA,21AA 合振动振幅最大。合振动振幅

4、最大。若若12AA )cos(212212221AAAAA2. .当当）（1212k时时, , ),2,1,0(k|21AA 合振动振幅最小。合振动振幅最小。若若0A2AA1A2AA1A1A2AA|2121AAAAA3. .一般情况一般情况,21AA 例：例：两同方向、同频率谐振动两同方向、同频率谐振动,3cos41tx )3/3cos(22tx求：合成谐振动方程。求：合成谐振动方程。解：解：合成后合成后 不变，不变，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(24224227222112211coscossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20

5、sin42115333. 0合振动方程：合振动方程：)33.03cos(72tx垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动。同频率简谐振动。)cos(11tAx)cos(22tAy、式消、式消 t ，得质点在直角坐标系中的轨道方程：得质点在直角坐标系中的轨道方程：分振动分振动)(sin)cos(212221122221AAxyAyAx)(12 上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 )

6、范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。20合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 )(sin)cos(212221122221AAxyAyAx0221AyAxxAAy12为直线方程为直线方程1. .21同相位同相位02212221AAxyAyAxyx0yx12345678x12345678y12345678利用旋转矢量合成利用旋转矢量合成2. .|12反相位反

7、相位02212221AAxyAyAx0221AyAxxAAy12yx3. .2/1212221AyAx当当,21AA 222Ayx为圆方程为圆方程是在是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴轴半轴长为半轴长为 的椭圆方程，且的椭圆方程，且顺时针旋转。顺时针旋转。1A2A2/xy13482567x12345687y12345678所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。的椭圆方程，且逆时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(124. .5. .k212则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。321021212，kk综上所述：综上所述：两个频率相

8、同的互相垂直的简谐两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。4/yx13482567x12345687y123456781. . 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随 t 缓慢变化缓慢变化,合运动轨迹将合运动轨迹将按下图按下图依次缓慢变化。依次缓慢变化。)()(1212t04243452347 一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运一般是复

9、杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论：动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论： x y= 2 32. 两振动的频率成整数比两振动的频率成整数比 1 = 0 , 2 = / 4xyo1A2A 如果两个互相垂直的振动频率如果两个互相垂直的振动频率成整数比，成整数比，合成合成运动的轨道是封闭运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。轨迹的图形称为李萨如图形。 用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已波器

10、上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。机械波的产生及分类机械波的产生及分类 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，都如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射和衍射等现象。能产生反射、折射和衍射等现象。 下面以机械波为例介绍波的一些物理概念，讨下面以机械波为例介绍波的一些物理概念，讨论波动的现象和规律。论波动

11、的现象和规律。 振动的传播称为波动，简称波，它也是物质的一振动的传播称为波动，简称波，它也是物质的一种重要的运动形式。种重要的运动形式。波动一般可分为两大类：波动一般可分为两大类：机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械波。机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械波。变化的电磁场在空间的传播过程，称为电磁波。变化的电磁场在空间的传播过程，称为电磁波。近代物理发现，物质微粒也具有波动性，称为近代物理发现，物质微粒也具有波动性，称为物质波物质波。前前 言言机械波是机械振动在弹性介质中的传播。机械波是机械振动在弹性介质中的传播。1. .振源振源2. .弹性介质弹性介质弹性介质是指由弹性力组合的连续介

12、质。弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。振动传播开去，从而形成机械波。 波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。质点的传播。 根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，可以将机械波分为两类：系，可以将机械波分为两类：横波横波和和纵波纵波。1.1.横波横波 各质点振动方向与波各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。的传播方向垂直的波。传播方向传播方向如绳波、如绳波、电磁波电磁波为横波

13、。为横波。播放动画播放动画t = T/4 t = 3T/4 波形曲线波形曲线 = uTt = T t = T/2 t = 00481620 12 (1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒波的传播不是媒 质质元的传播，而是相位的传播质质元的传播，而是相位的传播(2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播 (4) (4) 同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振动状态相同结论：结论：（5）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期，）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期， 波向

14、前传播一个波形波向前传播一个波形(3) (3) 沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元的相位依次落后。各质元的相位依次落后。x 2 各质点振动方向与波的传播各质点振动方向与波的传播方向平行的波。方向平行的波。传播方向传播方向播放动画播放动画纵波是靠介质疏密部变化传播的。纵波是靠介质疏密部变化传播的。如声波，弹簧波为纵波。如声波，弹簧波为纵波。 任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。与纵波来进行研究。2.2.纵波纵波1. . 波的传播不是介质质元的传播。在波动过程中，波的传播不是介质质元的传播。在波动过程中，各质元本身并不迁移，各质元

15、本身并不迁移，只在各自的平衡位置附近振动。只在各自的平衡位置附近振动。传播出去的仅是质点的振动状态（亦称传播出去的仅是质点的振动状态（亦称相相位），而振位），而振动状态的传播表现为波形的向前推进。动状态的传播表现为波形的向前推进。2 . .“上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振动，某的质元振动，某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于时刻质元的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出某处出现。波动中各质元的振动是受迫振动，它们的振动频现。波动中各质元的振动是受迫振动，它们的振动频率与波源的振动频率相同，与介质无关。率与波源的振动频率相同，与介质无关。3. . 同相位点同相位点-

16、质元的振动状态相同。质元的振动状态相同。振动是描写一个质点振动。振动是描写一个质点振动。波动是描写一系列质点作振动。波动是描写一系列质点作振动。4. .振动与波动的区别振动与波动的区别横轴横轴x表示波的传播方向，表示波的传播方向，1.1.波形图波形图yoxu坐标坐标x表示质点的平衡位置，表示质点的平衡位置，纵轴纵轴y表示质点的振动方向，表示质点的振动方向，坐标坐标y表示质点偏离平衡位置的位移。表示质点偏离平衡位置的位移。表示某一选定时刻波中各质点位置的图。表示某一选定时刻波中各质点位置的图。x y平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。说明：说明：在横波中波

17、形图与实际的波形是相同的，但在在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况，纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况，而区别于质点的实际位置分布。而区别于质点的实际位置分布。传播方向传播方向波的传播方向称之为波的传播方向称之为波射线或波线波射线或波线。某时刻介质内振动相位相同的点组某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为成的面称为波面或同相面波面或同相面。某时刻处在最前面的波面称为某时刻处在最前面的波面称为波前波前。波线波面波面波线 球面波、平面波在各向同性均匀介球面波、平面波在各向同性均匀介质中，质中，波线与波阵面垂直波线与波阵面垂直. . 如

18、果波源是简谐振动，那么介质中各个如果波源是简谐振动，那么介质中各个质点也作简谐振动，其频率和波源相同，振质点也作简谐振动，其频率和波源相同，振幅也和波源有关。这种波称为简谐波。幅也和波源有关。这种波称为简谐波。 所有复杂的波都可以看成是由不同频所有复杂的波都可以看成是由不同频率的简谐波的合成。率的简谐波的合成。2.2.波线、波面、波前波线、波面、波前振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为行波行波。1.1.周期周期 T T：传播一个完整的波形所传播一个完整的波形所用的时间。用的时间。或一个完整的波通过波或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间线上某一点

19、所需要的时间（与质点（与质点振动周期相同）振动周期相同）2.2.频率频率 ：单位时间内传播完整波形的个数。（与单位时间内传播完整波形的个数。（与质点振动频率相同）质点振动频率相同）3.3.波长波长 ：两相邻两相邻波峰波峰或或波谷波谷或或相位相同点相位相同点间的距离。间的距离。或振动在一个周期中传播的距离，或振动在一个周期中传播的距离，yoxu4 4、波速、波速 u u 波在介质中的传播速度。波在介质中的传播速度。单位时间某种单位时间某种一定的振动状态一定的振动状态(或振动相位或振动相位)所传播的距离称为波所传播的距离称为波速速u ，也称之相速，也称之相速 。注意注意：周期、频率与介质无关，与波

20、源的相同。波周期、频率与介质无关，与波源的相同。波在不同介质中频率不变。在不同介质中频率不变。 机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。yoxu1 1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。、周期、频率与介质无关，与波源的相同。波长、波速与介质有关。波长、波速与介质有关。2 2、波在不同介质中频率不变。波在不同介质中频率不变。振动是表示一个质点的运动。振动是表示一个质点的运动。波动是表示一系列质点所作的运动。波动是表示一系列质点所作的运动。传播方向传播方向3. .振动与波动

21、的区别振动与波动的区别4. .判断质点振动方向判断质点振动方向ut,1TuTu表示波在空间的周期性表示波在空间的周期性表示波在时间上的周期性表示波在时间上的周期性u通过波速通过波速 联系起来联系起来注意注意: :在讨论弹性波的传播时，要假设介质是连续的在讨论弹性波的传播时，要假设介质是连续的。因为当波长远大于媒质分子间距离时，媒质中一个。因为当波长远大于媒质分子间距离时，媒质中一个波长的距离内有无数分子在陆续振动，宏观上看来媒波长的距离内有无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续的一样。质就象连续的一样。 高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就是

22、由于这原因。是由于这原因。 如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒质就再也不能传就不能认为媒质是连续的了，这时媒质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上限存在。播弹性波了。因此有一个频率上限存在。平面简谐波平面简谐波 振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为行波行波。 描述波线上每一质点在每一时刻的位移的函数描述波线上每一质点在每一时刻的位移的函数 称为波的波函数或波动方程。称为波的波

23、函数或波动方程。) , ( t xfy 简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。这简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振幅保持恒定，种波在无吸收的均匀介质中传播时振幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远近而改变。不随时间也不因距离波源的远近而改变。 下面我们从运动学的角度出发来得到等振幅平面下面我们从运动学的角度出发来得到等振幅平面简谐波的波动方程。简谐波的波动方程。 波动是集体表现，各质点在同一时刻的振动位波动是集体表现，各质点在同一时刻的振动位移是不同的，可以用一个质点的振动方程代替任意移是不同的，可以用一个质点的振动方程代替任意质点的振动方程。质点的振动方

24、程。1. .右行波的波动方程右行波的波动方程已知已知O点振动表达式：点振动表达式：)cos(0tAyXypuOx0y表示各质点在表示各质点在Y方向上的方向上的位移，位移，A是振幅，是振幅， 是角频是角频率或叫圆频率，率或叫圆频率， 为为O点在点在零时刻的相位。零时刻的相位。uxtP点的振动比振源落后一段时间点的振动比振源落后一段时间 t , ,相位落后相位落后 ，uxt 平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正向传播，波速为轴正向传播，波速为u。 P点处质点在时刻点处质点在时刻t的位移等于的位移等于O O点在点在 时时的位移。的位移。)(uxt P点的振动位移为：点的振动位移为：cos0uxtA)(co

25、s0uxtAy0cosuxtAyT/2Tu/,2)(cos),(0uxtAtxy因此下述几式等价：因此下述几式等价：2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0utxAtxy这就是这就是右行波右行波的波动方程的波动方程此时波动向此时波动向O点左右两边传播，则波动方程为：点左右两边传播，则波动方程为：)(cos),(0uxtAtxyXypuOx也即也即p点的相位超前于点的相位超前于O点相位：点相位：xux2 p点运动传到点运动传到 O 点需用时间：点需用时间： uxt 所以所以 p点的运动方程，也就是点的运动方程，也就是左行波左行波的波方程：的波方程：2.

26、 .左行波的波动方程左行波的波动方程3.O.O点为波源时的波动方程点为波源时的波动方程)|(cos),(0uxtAtxy)cos(0tAy已知已知O点振动表达式：点振动表达式：)cos(0tAy波源的振动方程为：波源的振动方程为：则波动方程为：则波动方程为：)(2cos00 xxtAy5. .若告知的是某平面简谐波在若告知的是某平面简谐波在t=tt=t0 0时刻的波形图，设时刻的波形图，设原点原点O O在该时刻的位相可由图求出为在该时刻的位相可由图求出为 0 0，设振动圆频，设振动圆频率为率为 ，振幅为，振幅为A A，则原点则原点O O的振动方程为：的振动方程为：),(0txfy oyxu)(

27、cos00ttAy波动方程为：波动方程为：2)(cos00 xttAy4. .若告知的是位于若告知的是位于X X0 0处的振动方程处的振动方程)cos(0tAy并且向右传播，并且向右传播，1. .振动方程与波函数的区别振动方程与波函数的区别波函数是波程波函数是波程 x 和时间和时间 t 的的函数，描写某一时刻任意位函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。置处质点振动位移。)(tfx),(txfy振动方程是时间振动方程是时间 t 的函数的函数oxtoyxuxtAycos)cos(tAx2. .当当dx（常数）时，（常数）时，)(tfy为距离原点为为距离原点为 d 处一点的振动方程。处一点的振动

28、方程。3. .当当ct（常数）时，（常数）时，)(xfy为某一时刻各质点的振动位移，波形的为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照拍照”4. .注意相速度（即波速）与质点振动速度的区别注意相速度（即波速）与质点振动速度的区别 机械波的相速度由介质本身的性质决定，与波的机械波的相速度由介质本身的性质决定，与波的频率、振幅无关；而质点振动速度和振动的频率、频率、振幅无关；而质点振动速度和振动的频率、振幅时间及所研究的质点的位置均有关。振幅时间及所研究的质点的位置均有关。5. .可以证明，波动方程的标准形式应为：可以证明，波动方程的标准形式应为：22222tuyxy1. .写出某个已知点的振动方程；

29、写出某个已知点的振动方程；2. .以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到波动方程。波动方程。 关于波动方程的题型主要有两种：（关于波动方程的题型主要有两种：（1 1）已知波函）已知波函数求各物理量；（数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。已知各物理量求波函数。 例例: 有一个沿有一个沿X轴正方向传播的平面波，波速轴正方向传播的平面波，波速u=1m/s，波长波长 =0.04m，振幅，振幅A=0.03m，频率。若以坐标原点，频率。若以坐标原点O处的质点处的质点恰

30、在平衡位置且向负方向运动为计时起点，试求：恰在平衡位置且向负方向运动为计时起点，试求： （1）此平面波的波动方程；）此平面波的波动方程；)m()cos(03. 0: ty设波源振动方程为设波源振动方程为解：解：Hz2504. 01 u频率频率由题由题 502 2 )m()250cos(03. 0: ty波源振动方程为波源振动方程为)m(2)1(50cos03. 0: xty波动方程为波动方程为（2）距原点）距原点x=0.05m处质点的振动方程和该点的初相位；处质点的振动方程和该点的初相位；)m(2)1(50cos03. 0: xty波动方程波动方程)m(2)05. 0(50cos03. 0:

31、ty振动方程振动方程)m(50cos03. 0)m()25 . 250cos(03. 0tt 0 （3）在）在 t =3s时，距原点时，距原点=0.045m处的质点的位移和速度。处的质点的位移和速度。)m(212. 02)045. 03(50cos03. 0: y振动位移振动位移2)045. 03(50sin03. 050)sindd xtAtxv（振动速度振动速度)m(2)1(50cos03. 0: xty波动方程波动方程m/s33. 3 例例1：已知波函数已知波函数 m )20400cos(1023xty求：求：A、u。 m 20400cos1023xty解：解：由由uxtAy2cos,4002Hz2001Ts2001200120 m/s20um1 .0uTm1023A解：解：原点原点波函数波函数uxtAycos例例2：原点原点O O 振动方程为振动方程为ty800sin1062波速波速方向向右，求：波函数；方向向右，求：波函数；波长、频率；波长、频率；m5x处质点振动与原点的相位差。处质点振动与原点的相位差。m/s200u)2/800cos(1062ty2/200800cos1062xty. .波长、频率波长、频率8002T8002s4001T/