量子力学 第二章

1、第二章第二章 波函数波函数和和 Schrdinger 方程方程1 1波函数的统计解释波函数的统计解释2 2态叠加原理态叠加原理3 Schr3 Schrdingerdinger方程方程4 4 粒子流密度和粒子数守恒粒子流密度和粒子数守恒5 5 定态定态SchrSchrdinger dinger 方程方程6 6 一维无限深方阱一维无限深方阱7 7 一维谐振子一维谐振子 8 8 势垒贯穿势垒贯穿2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 )(expEtrpiA描写自由粒子描写自由粒子的平面波的平面波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他中运动

2、，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：一般记为：描写粒子状态描写粒子状态的波函数，它的波函数，它通常是一个复通常是一个复函数。函数。称为称为 deBroglie deBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。（一）波函数（一）波函数 )(expEtrpiA描写自由粒子描写自由粒子的平面波的平面波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他中运动，他的动量

3、和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：一般记为：描写粒子状态描写粒子状态的波函数，它的波函数，它通常是一个复通常是一个复函数。函数。称为称为 deBroglie deBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。（一）波函数（一）波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种

4、分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。子的波动性

5、的一面，具有片面性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。（二）波函数的解释（二）波函数的解释 2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包。电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的

6、运动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会

7、超过原子大小子内，其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒电子既不是粒子也不是波子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，们也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中粒子意味着粒子意味着经典概念中经典概念中波意味着波意味着1.

8、1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样衍射图样; ;电子源电子源感感光光屏屏Q QQ QO OP PP P我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属的属性性; ;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。和速度。1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ;2 2干涉、衍射现象，

9、即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。（2 2）Born Born 波函数的统计解释波函数的统计解释 几率波几率波l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，BornBorn 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。在电子衍射实验中，照相底片上在电子衍射实验中，照相底片

10、上 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。计结果。BornBorn首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间某点的强度波函数在空间某点的强度| (r)| (r)|2 2和在该点找到粒子的几率成正比。描写粒子的波是和在该点找到粒子的几率成正比。描写粒子的波是几率波。几率波。 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，衍射花描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用纹的

11、强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。 确切的说，确切的说， | (r)| (r)|2 2xyzxyz表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xx yzyz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，| (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小点附近几率的大小（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在t t时刻，时刻，r r点，点，d= dxdyd

12、zd= dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：P( r, t) = C| (r,t)|P( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度其中其中 p(r,t)=C | (r,t)|C | (r,t)|2 2 称为几率密度称为几率密度, ,是在是在t t时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率点，单位体积内找到粒子的几率P(t) = P(t) = V V

13、dW = dW = V V( r, t ) d( r, t ) d= C= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d为在体积为在体积V V内，内，t t时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： （2 2）归一化波函数）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），倍），则应的波动能量将为原来的则应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。动状态。经典波无归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r ,

14、 t ) 所描写状态的相对几率是相同所描写状态的相对几率是相同的。的。将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所由于粒子在空间总要出现（

15、不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1, d= 1,（3 3）平方可积平方可积 CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1, d= 1,这即是要求描写粒子这即是要求描写粒子量子状态的波函数量子状态的波函数必须是绝对值平方可必须是绝对值平方可积的函数。积的函数。若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , ,则则 C C 0 0, , 这是这是没有意义的。没有意义的。( , )exp()ir tAp rEt 注意：自由粒子波

16、函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。这是一种不满足这一要求。这是一种非束缚的游离状态非束缚的游离状态, ,粒子可以在粒子可以在无限远出现。无限远出现。从而得常数从而得常数 C C 为：为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d讨论12121(2)sin()|()1, 2, 3,20|sin()|()1, 2, 3,20|()()()2nAxaxaxnaxanAxaxaxnaxaIxxIIxn 已已 知知 下下 列列 两两 个个 波波 函函 数数 ：请请 问问 ： 、 波波 函函 数数和和是是 否否 等等 价价 ？、 对对取取两两 种种 情情

17、 况况 ， 得得 到到 的的 两两 个个波波 函函 数数 是是 否否 等等 价价 ？12/2/3/1232/(2)/2/456(1),3,(42 ).ixixixixixixeeeeei e 请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪些些与与描描写写同同一一状状态态？描写同一状态的波函数之比等于常数描写同一状态的波函数之比等于常数l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于在于波的叠加性波的叠加性。S S1 1S S2 2电子源电子源感感光光屏屏2 2P P1 1一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能两种可能的状态

18、，的状态， 是这是这两种状态的叠加。两种状态的叠加。考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理l量子力学中也存在波叠加原理量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的

19、几率密度相干项相干项 正是由于相干项的出现，正是由于相干项的出现，才产生了衍射条纹。才产生了衍射条纹。一般情况下，如果一般情况下，如果1和和2 是体系的可能状态，那末是体系的可能状态，那末它们的线性叠加它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一也是该体系的一个可能状态个可能状态.其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： | |2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C = (C1 1*

20、*1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+|C+|C2 22 2| |2 2+C+C1 1* *C C2 21 1* *2 2+C+C1 1C C2 2* *1 12 2* * 态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加能的状态，则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C+ .+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中

21、C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。处于处于态的体系，部分的态的体系，部分的处于处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.2.3 Schr2.3 Schrdinger dinger 方程方程19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后得到了提出了波动方程之后得到了圆满解决。圆满解决。 德布罗意波德布罗意波“物质波物质波”的假设认为，的假设认为，实物粒子和实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。如果用能量光子

22、一样，也具有波粒二象性。如果用能量 和动和动量量 p 来表征实物粒子的粒子性，则可用频率来表征实物粒子的粒子性，则可用频率 和波和波长长 来表示实物粒子的波动性。来表示实物粒子的波动性。具有波粒二象性的实物粒子遵循什么规律？具有波粒二象性的实物粒子遵循什么规律？0 0222222 tBBtEE 01 2222 tc 或或)(321zeyexe )()(2222222zyx 01 2222 tc )(trkiAe )(EtrpiAe E kp式式中中)(trkiAe )(EtrpiAe E kp式式中中 titi 得得：作作用用用用 E 称称为为能能量量算算符符记记 tiE ii得得：作作用用用

23、用 k p 称称为为动动量量算算符符记记 ip3. Schr3. Schrdinger dinger 方程方程),()(2),(22trrVmtrti ),(),(trHtrti 该方程称为该方程称为 Schr Schrdinger dinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHrVmH)(2 22 SchrSchrdinger dinger 方程的引入方程的引入 tiE 能能量量算算符符 ip动动量量算算符符)(22rVmpE ),()(2),(22trrVmtrti 22(1)2iVt

24、m 22(2)2iVtm (1)(2) 将将式式 得得 ：2222iittm 22itm （）取共轭取共轭2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 (r) (r)为描写粒子状态的波函数，为描写粒子状态的波函数，| (r)| (r)|2 2 描描是在是在t时刻时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率点，单位体积内找到粒子的几率。考虑考虑 Schrdinger Schrdinger 方程及方程及其共轭式：其共轭式： 令令为为粒粒子子的的概概率率密密度度 22itm 则则式式（） 2itm 可可写写为为（） 0jt 即即为为粒粒子子概概率率流流密密度度 *2 mij 2it

25、m （） 上上式式表表明明体体积积 内内概概率率的的增增加加等等于于概概率率流流的的流流入入 jt 等等式式两两边边对对体体积积 积积分分（d d ）d d讨论：讨论：（1 1） 几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。随着某种流来实现这种变化。 0jt sdj jt （d d ）d d 0t （d d ）总总概概率率守守恒恒sdj0sdj表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未

26、产生也未消灭。既未产生也未消灭。对于全部空间对于全部空间（2 2）量子力学的质量守恒定律）量子力学的质量守恒定律0mmjt 2|( , )|()2 mmmpmr ti mJmJ 质量密度即质量流密度以以m m乘连续性方程等号两边，得到：乘连续性方程等号两边，得到：()2 mi mJmJ1()2 ppv 0jt ip动动量量算算符符2 ijm（3 3）量子力学的电荷守恒定律）量子力学的电荷守恒定律0eeJt 以以e e乘连续性方程等号两边，得到：乘连续性方程等号两边，得到： 2|( , )|()2eeer teiJeJm 电电荷荷密密度度即即电电流流密密度度 = =()2eeeipJeJevmm

27、 ip动动量量算算符符2 ijm ( , )( )( )r trf t 令令具有确定能量值的状态称为的定态具有确定能量值的状态称为的定态, V(r), V(r)与与t t无关时，无关时，可以分离变量可以分离变量( , )( )iEtr tr e 定定 态态 的的 波波 函函 数数 一一 般般 形形 式式 为为代入代入SchrdingerSchrdinger 方程：方程：),()(2),(22trrVmtrti 2.52.5定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程)(2)()()(22rVtftfdtdr

28、i ErErVtEftfdtdi令令常常数数为为 )()(2)()(22 /)(iEtetf )(2)(1)()(122rVmrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除),()(2),(22trrVmtrti Etiertr )(),( 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称为也可称为定态波函数，或可看作是定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函数。的定态波函数。由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函就是体系处于波函数数(r,t)(r

29、,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时所描写的状态时的能量。也就是说，此时体体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。Etiertr )(),( )()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦称称量量，称称为为HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEf

30、tfdtdi HVti222 也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符是相当的。这两个算上的二算符是相当的。这两个算符都称为能量算符。符都称为能量算符。再由再由 Schrdinger Schrdinger 方程：方程：（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程 EH EV 22 将将改写成改写成 （2 2）量子力学中：常量）量子力学中：常量 E E 称为称为算符算符H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符H H的的本征函数本征函数。（1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以）一个算

31、符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数该函数本征值方程本征值方程讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t)( r, t) 和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下：)()(222rErV ,21nEEE本本征征值值：1| )(|2 drCnn（1 1）列出定态）列出定态 Schrdinger Schrdinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准条件）根据波函数三个标准条件求解能量求解能量 E E 的本征值问的本征值问题，得：题，得：（3 3）写出定态波函数即得到）写出定态波函数即得到对应第对

32、应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n,21n ，本本征征函函数数（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 0 0, ,| | | |( ( ) )| | | |x xa aU U x xx xa a -a 0 aV(x)IIIIIIEtiertr )(),( 定态波函数为定态波函数为2.62.6一维无限深方阱一维无限深方阱1.1.无限深平底势阱无限深平底势阱（1 1）列出各势域的）列出各势域的Schrdinger 方程方程0)()(2)()()()()(2222222 xExVm

33、xdxdxExxVxdxdm axaxEmxdxd 0)(2)(222 -a 0 aV(x)IIIIII0 )( ，所所以以因因为为阱阱外外 xV方程可简化为：方程可简化为：axakdxd 0222 Emk222 其其中中奇奇宇宇称称则则解解为为： sin kxA 偶偶宇宇称称或或： cos kxA 宇称：空间的反演宇称：空间的反演Emk222 其其中中偶偶宇宇称称研研究究 cos kxA 0cos)( kaAa -a 0 aV(x)IIIIII根据边界条件根据边界条件1.3.5n 2n 2n akka 或或1.3.5n 2(212 222 ）能能级级anmmkEn 1 cos 22* kxd

34、xAdx -a 0 aV(x)IIIIII根据归一化条件根据归一化条件1.3.5n 2cos1 axnan 本本征征波波函函数数能能级级 1 22cos12 aadxkxA 1 aA Emk222 其其中中奇奇宇宇称称研研究究 sin kxA 0sin)( kaAa -a 0 aV(x)IIIIII根据边界条件根据边界条件2.4.6n 2n n akka 或或2.4.6n 2(212 222 ）能能级级anmmkEn 2.4.6n 2sin1 axnan 本本征征波波函函数数能能级级 xanaxn sin1 波函数：波函数： axa 概率密度：概率密度： xanaxn 22sin1 211E2

35、E3E4Ea 0a222324) 1( 4222 nmanhnEn 取取n02nnnEE结论：结论：在在 n 很大时，能量趋于连很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图象。续，这就是经典物理的图象。 2(21 2）anmEn 能级：能级： Etieanatr a)(x2sin1),( 是两个相反方向传播的平面波叠加成的驻波是两个相反方向传播的平面波叠加成的驻波 2ieesin-ii 根根据据）EtxaniEtxanieCeCtr 2(22(1),( 2222121xmkxU 222212xmmpH 线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamilton量：量：弹性力弹性力F=-kx F=-

36、kx , ,弹性势能弹性势能2.62.6一维谐振子一维谐振子22222212xmdxdm 0)(21222222 xxmEdxdm 则则 Schrdinger Schrdinger 方程可写为方程可写为 ：22222212xmdxdmH 0)(21222222 xxmEmdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令：,2 Emx Schrdinger Schrdinger 方程写为方程写为 ：为简单计算，引入无量纲变量为简单计算，引入无量纲变量代替代替x x，0222 dd此式是一变系数此式是一变系数 二阶常微分方程二阶常微分方程0)(21222222 xxmEdxdm 0222

37、 dd0)(222 xdd 1. 1. 渐近解渐近解为求解方程，考虑其渐近解，即当为求解方程，考虑其渐近解，即当 时波函时波函数数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1所以：所以： = exp = exp2 2/2/2，其中其中 u() u() 必须满足波函数的单值、有限、连续的必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：标准条件。即： 当当有限时，有限时，u()u()有限；有限； 当当时，时，u()u()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。0)1(2 uuu 2/2)()( eu渐渐近近形形式式，令令：在在无无穷穷远远处处有有的的波波函函数数为为了了使使方方程程2/22

38、220)( exdd2. u()2. u()满足的方程满足的方程方方程程Hermite3.3.级数解级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkakkaukaukau 0)1(2)2)(1(2 kkkkkakakka kkkau 0我们以级数形式来求解。我们以级数形式来求解。 为此令：为此令：kkkkkaukk )2)(1(220则则：令令kkkkka )2)(1(20 用用 k k 代替代替 kk变变成成：则则方方程程 0)1(2 uuu 由上式可以看出：由上式可以看出： a a0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数为偶数的系数( (偶宇称偶宇称) )； a

39、 a1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数（奇宇称）。为奇数的系数（奇宇称）。kkakkka)2)(1(122 即：即： a ak+2k+2(k+2)(k+1)- a(k+2)(k+1)- ak k 2k + a 2k + ak k(-1) = 0(-1) = 00)1(2)2)(1(2 kkkkkakakka 该式对任意该式对任意都成立，故都成立，故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：nnannna)2)(1(122 或或记记为为 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 相相继继两两项项之之比

40、比2/2)()( eukkkau 0 式式中中22222)2)(1(12 kkkkaakkkkk 为此考察相邻两项之比：为此考察相邻两项之比：考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的展开式的收敛性的展开式的收敛性2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 具具有有相相同同的的敛敛散散性性和和因因此此2)( eu所以波函数有如下发散行为：所以波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 u()u() 必须从某一必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求项截断变成一个多项式。换言之，要求 u()u() 从某一项从某一项

41、（比如第（比如第 n n 项）起项）起 以后各项的系数均为零，即以后各项的系数均为零，即 a an n 0, a 0, an+2n+2 = 0. = 0. 0)2)(1(122 nnannna expexpexpexp)()(2212212221u具具有有相相同同的的敛敛散散性性和和因因此此2)( eu0)2)(1(122 nnannna 21 2 EE因因为为012 ,0 nan所所以以有有：因因为为,2,1 ,0 )(21 nnE 于于是是最最后后得得：12 n 结论结论 基于波函数在无穷远处的基于波函数在无穷远处的 有限性条件导致了能有限性条件导致了能量必须取量必须取 分立值。分立值。,

42、2,1 ,0)(21 nnE 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。基态能量能级是非简并的。基态能量 E E0 0=1/2=1/2 0 0，称为零点能。，称为零点能。能量为零的能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零点能是量子效应。厄密多项式厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 u()u()的的 一个多项式一个多项式)(exp221 nnnHN 0)1(2 uuu 方方程程Hermite 0式式中中kkkau nnannna)2)(1(122 该多项式称为厄密多

43、项式，记为该多项式称为厄密多项式，记为 H Hn n()()，于是总波，于是总波 函数为：函数为：总波函数为：总波函数为：)(exp221 nnnHN )(!21)( 2/02xHexnxnnn 归一化的波函数归一化的波函数根据递推公式根据递推公式得得nnannna)2)(1(122 2022/2100)()( xxexx 2022/02101)2()( xxexxxx 2022/2022102)12()2()( xxexxxx n = 0n = 1n = 2波函数波函数E0E1E2 -3 -2 -1 0 1 2 3)( n分析波函数可知量子力学的谐振子波函数分析波函数可知量子力学的谐振子波函

44、数n n有有 n n 个节点，在个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 -a, a -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。区间每一点上都能找到粒子，没有节点。-1 0 120()20()n=2n=1n=0-11 -22-44| 10|2 几率分布几率分布222)(22/xmEdxmmVEdxvdxTdt 经典概率经典概率总结一维谐振子的计算总结一维谐振子的计算1.“抓两头,带中间”抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为 (三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点)带中间:使函数在中间有与渐近行为相同的形式4.求出波函数=归

45、一化2.求级数解,找递推关系3.看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱及解 axVaxxxV0, 00)(0势势函函数数已知粒子以能量已知粒子以能量 E E 沿沿 x x正向入射。且正向入射。且E E V V0 00 aV(x) V0I II IIIE2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿Etiertr )(),( 定态波函数为定态波函数为波函数满足的波函数满足的SchrdingerSchrdinger 方程方程)()()(20222xExVxdxdm )(222xmk )2(22mkE 令令 axVEaxxmmE00 00202212122 上述两个区域的

46、上述两个区域的 Schrdinger Schrdinger 方程可写为：方程可写为：202)(22 EVmmEk 令令： (2) 00(1) 00 222121 axaxxk axVEaxxmmE00 00202212122 方程可改写为：方程可改写为：20)(20 VEmiEV 如如果果 (1) 00121axxk ax 0 x Re1xikxikxikDeAe 解解得得：项项为为透透射射波波项项为为反反射射波波，项项为为入入射射波波，DRA (2) 00222ax ax0 2 xxCeBe 解解得得：由由边边界界条条件件求求出出可可任任选选，系系数数DRCBA,项项所所以以只只有有来来的的

47、入入射射波波因因为为没没有有从从DRa,0 令令为为粒粒子子的的概概率率密密度度 2ijm 为为粒粒子子概概率率流流密密度度证明连续性方程时有：证明连续性方程时有：)Re(* mp xikDe 1 考考虑虑透透射射流流：mkDmpjD2*)Re( )p (xii )Re(* mpj mkAmpjA2*)Re( 入入射射流流： )p (xii mkRmpjR2*)Re( 反反射射流流：mkDmpjD2*)Re( 透透射射流流：ARjjAR 反反射射系系数数概概率率粒粒子子被被势势垒垒反反射射回回去去的的mkAmpjA2*)Re( 入入射射流流：mkRmpjR2*)Re( 反反射射流流：mkDmp

48、jD2*)Re( 透透射射流流：ADjjAD 透透射射系系数数概概率率粒粒子子从从势势垒垒透透射射回回去去的的连连续续处处在在)(),(0 xxx DR,求求系系数数 )()(CBRAikCBRA 得得 ax 0 x Re1xikxikxikDeAe 由由ax0 2 xxCeBe 和和连连续续处处在在)(),(xxax aaikaaaikaCeBeikDeCeBeDe 得得 ax 0 x Re1xikxikxikDeAe 由由ax0 2 xxCeBe 和和 aaikaaaikaCeBeikDeCeBeDe 和和)()(2*22222 aaaaeeeeAR反反射射概概率率 )()(CBRAikC

49、BRA 根根据据)()(2*2222*2 aaeeAD透透射射概概率率1 22 ARAD根根据据概概率率的的意意义义有有)()(2*2222*2 aaeeAD透透射射概概率率即使即使 E VE V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。隧道效应（隧道效应（tunnel effecttunnel effect） 粒子能够穿透比它动能更高的势粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象垒的现象. .它是粒子具有波动性的它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿

50、透的波动图象。出了势垒穿透的波动图象。0 aV(x)xV027021068.2)(2 EVma时时当当12 ae )(2202EVmaeAD 透透射射概概率率0101272702101068.2)(22 eeADEVma例例: 宏观与微观中的势垒穿透现象宏观与微观中的势垒穿透现象1 1 宏观情形宏观情形 m=1g, E=1eV, Vm=1g, E=1eV, V0 0=2eV, a=1cm=2eV, a=1cm2 2 微观情形微观情形 m=mm=me e=9.1=9.1 10-31g, E=1eV, V, E=1eV, V0 0=2eV, =2eV, a = = 1，026.1)(202 EVma36.0026.1)(2202 eeADEVma例例 场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）图图(a)(a)加外电场前金属中自加外电场前金属中自由电子所处的平均势场由电子所处的平均势场欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的量，这就是我们所熟知的热发射热发射和和光电效应光电效应。施加一个施加一个外电场外电场，金属中电子的所感受到的电势如图，金属中电子的所感受到的电势如图(b)(b)所示。所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通