第2章X射线衍射方向

1、1第一篇 材料X射线衍射分析第一章 X射线物理学基础第二章 X射线衍射方向第三章 X射线衍射强度第四章 多晶体分析方法第五章 物相分析及点阵参数精确测定第六章 宏观残余应力的测定及其他应用2第二章 X射线衍射方向本章主要内容本章主要内容第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介第二节第二节 布拉格方程布拉格方程第三节第三节 X射线衍射法射线衍射法第一节 晶体几何学简介一、一、14 种布喇菲点阵种布喇菲点阵 (1) 晶体与非晶体晶体与非晶体 晶体晶体(crystal)：由原子在三维空间中规则排列而成。：由原子在三维空间中规则排列而成。非晶体：原子（离子或原子团）非周期性排列。非晶体：原子（离子或

2、原子团）非周期性排列。晶体：有整齐规则的几何外形；固定晶体：有整齐规则的几何外形；固定熔点；各向异性；熔点；各向异性；非晶体：无固定熔点；各向同性。非晶体：无固定熔点；各向同性。 将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点(阵点)，即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列空间点阵，简称点阵特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境 作为基本单元的原子或原子团叫结构基元，简称基元。 为反映晶体中原子排列的周期性，以一个点代表一个基元，这个点就叫阵点 具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。 空间点阵中的阵点不限于原子。

3、空间点阵中的阵点不限于原子。不要混淆阵点和原子 阵点是在空间中无穷小的点。 原子是实在物体。 阵点不必处于原子中心。 晶体结构晶体结构=结构基元点阵结构基元点阵晶体结构是在每晶体结构是在每个阵点上安放一个个阵点上安放一个结构基元。结构基元。晶体结构与空间点阵的区别： 晶体结构：晶体中原子或分子的排列情况。晶体结构：晶体中原子或分子的排列情况。由空间点阵结构基元而构成由空间点阵结构基元而构成晶体结构的形式是无限多的晶体结构的形式是无限多的 空间点阵：把晶体结构中原子或分子等结构空间点阵：把晶体结构中原子或分子等结构基元抽象为周围环境相同的阵点之后，描述基元抽象为周围环境相同的阵点之后，描述晶体结

4、构的周期性和对称性的图像。晶体结构的周期性和对称性的图像。空间点阵只有空间点阵只有1414种种相关概念分析 空间点阵 晶体结构 人为的 客观的 无限的 有限的 阵点 结构基元 阵胞 晶胞 9第一节 晶体几何学简介(3) 晶胞晶胞 l 在三个方向上的重复周期矢量在三个方向上的重复周期矢量a、b、c称为基本矢量。称为基本矢量。由基本由基本矢量矢量a、b、c 构成的平行六面体称为单位晶胞构成的平行六面体称为单位晶胞（Unit Cell）。其在三其在三个方向上重复即可建立整个空间点阵。个方向上重复即可建立整个空间点阵。l 布喇菲晶胞的选择原则：布喇菲晶胞的选择原则： 最能反映点阵对称性最能反映点阵对称

5、性； a、b、c 相等数目最多相等数目最多； 、 、 尽可能是直角；尽可能是直角； 单胞体积最小。单胞体积最小。布喇菲晶胞的特点是几何布喇菲晶胞的特点是几何关系和计算公式最简单。关系和计算公式最简单。图图2-1 单位晶胞单位晶胞10（4）晶系）晶系自然界的晶体可划分为自然界的晶体可划分为 7个晶系，每个晶系中最多有个晶系，每个晶系中最多有 4种点种点阵，在阵，在 7 大晶系中只有大晶系中只有 14 种布喇菲点阵种布喇菲点阵1. 立方晶系立方晶系 a = b = c， = = = 90 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵aaaaaa简单立方简单立方体心立方体心立方aaa面心立方面心立方第一节 晶体

6、几何学简介112. 正方晶系正方晶系 a = b c， = = = 90 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵简单正方简单正方体心正方体心正方acaaca第一节 晶体几何学简介123. 正交晶系正交晶系 a b c， = = = 90 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵abcabcabcabc简单正交简单正交底心正交底心正交体心正交体心正交面心正交面心正交第一节 晶体几何学简介134. 菱方晶系菱方晶系 5. 六方晶系六方晶系 a=b=c， = = 90 a=bc， = =90 ， =120 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵120 aac简单六方简单六方简单菱方简单菱方 aaa 第一节 晶体几何学简

7、介14 6. 单斜晶系单斜晶系 a b c， = = 90 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 abc简单单斜简单单斜底心单斜底心单斜 abc第一节 晶体几何学简介157. 三斜晶系三斜晶系 a b c， 90 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵abc 简单三斜简单三斜第一节 晶体几何学简介简单晶胞、复杂晶胞 简单晶胞（初级晶胞）：只在平行六面体每个顶角上有一阵点 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点阵点的坐标表示阵点的坐标表示以任意顶点为以任意顶点为坐标原点坐标原点，以与原点相交的三个棱边，以与原点相交的三个棱边为为坐标轴坐标轴，分别用点阵周期（，分别用点阵周期（a、b、c）为）为

8、度量单位度量单位u四种点阵类型四种点阵类型简单简单(P:primitive)底心底心(C:side-centred)体心体心(I:body-centred)面心面心(F:face-centred)简单点阵的阵点坐标为简单点阵的阵点坐标为000底心点阵底心点阵C每个阵胞占有两个阵点。每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为阵点坐标为000，1/2 1/2 0体心点阵体心点阵I每个阵胞含有两个阵每个阵胞含有两个阵点点000，1/2 1/2 面心点阵面心点阵F每个阵胞上有每个阵胞上有4个阵点个阵点坐标分别为坐标分别为000，1/2 1/2 0，1/2 0 ， 0 1/2 1/2 （二 ） The 14 po

9、ssible BRAVAIS LATTICES note that spheres in this picture represent lattice points, not atoms!（一）基本概念（一）基本概念二、晶体学指数晶列：在布喇菲格子中，所有格点可以分列在一晶列：在布喇菲格子中，所有格点可以分列在一 系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。晶向：同一个格子可以形成方向不同的晶列，每晶向：同一个格子可以形成方向不同的晶列，每 一个晶列定义了一个方向，称为晶向。一个晶列定义了一个方向，称为晶向。晶面晶面：布喇菲格子的格点还可以看成分列在

10、平行：布喇菲格子的格点还可以看成分列在平行 等距的平面系上，这样的平面称为晶面。等距的平面系上，这样的平面称为晶面。晶向指数和晶面指数：为了表示晶向和晶面的空间位置，晶向指数和晶面指数：为了表示晶向和晶面的空间位置，采用的统一标示。采用的统一标示。晶面指数不仅仅代表一晶面指数不仅仅代表一个面，而是个面，而是代表着一组代表着一组相互平行的晶面。相互平行的晶面。这两个面晶面指数相同吗？这两个面晶面指数相同吗？l晶晶面族：面族：晶体内凡晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以晶面

11、族，以hkl表示表示它代表它代表由对称性相联系由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。的若干组等效晶面的总和。对称性越高，所包括的晶面数越多！对称性越高，所包括的晶面数越多！密勒密勒(Miller)指数指数:国际通用标示方法。国际通用标示方法。 晶向晶向uvw, 晶向族晶向族； 晶面晶面(hkl), 晶面族晶面族hkl。29二、晶体学指数二、晶体学指数1. 晶向指数晶向指数 在晶向中阵点等距分布在直线上。用晶向指数在晶向中阵点等距分布在直线上。用晶向指数 uvw 表示一簇直线。表示一簇直线。若已知直线上任意两点坐若已知直线上任意两点坐标分别为标分别为 (X1Y1Z1)和和(X2Y2Z2)则有则有

12、图图2-2 晶向指数的确定晶向指数的确定212121():():(): :XXY YZZuw第一节 晶体几何学简介二、晶体学指数（二）（二）. 晶向指数的确定晶向指数的确定 通过坐标原点引一直线，使其平行于所求的晶向；通过坐标原点引一直线，使其平行于所求的晶向； 求出该直线上任意一点的求出该直线上任意一点的三个坐标值三个坐标值； 将三个坐标值按比例化为将三个坐标值按比例化为最小整数最小整数，加，加一方括号一方括号，即为所，即为所求的晶向指数，其一般形式求的晶向指数，其一般形式uvw。 晶向指数具有如下规律： 晶向指数表示着所有晶向指数表示着所有相互平行、方向一致相互平行、方向一致的晶向。的晶向

13、。 若晶体中两晶向若晶体中两晶向相互平行但方向相反相互平行但方向相反，则晶向指数中，则晶向指数中的的数字相同，符号相反数字相同，符号相反，例如，例如111与与TTT。 由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同，由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同，因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组晶向因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组晶向称为称为晶向族晶向族（family of lattice directions），用），用表表示。示。 例如立方晶系中例如立方晶系中111，T11，1T1，11T，TT1，1TT，T1T，TTT八个晶向是立方体中四个体对角线的方向，它们的八个晶

14、向是立方体中四个体对角线的方向，它们的原子排列完全相同，属于同一晶向族，用原子排列完全相同，属于同一晶向族，用表示。表示。32二、晶体学指数二、晶体学指数2. 晶面指数晶面指数 可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇，可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇，不同取向的平面簇具有不同特不同取向的平面簇具有不同特征。征。 用晶面指数用晶面指数(hkl)表示一表示一簇平面，簇平面， h k l为其在为其在 3个坐标个坐标轴上截距倒数比，即轴上截距倒数比，即图图2-3 晶面指数的确定晶面指数的确定2221111 1 11 1 1: :h k lm n pm n p第一节 晶体几何学简介

15、（三）（三） 晶面指数的确定晶面指数的确定 建立建立OX、OY、OZ三坐标轴；三坐标轴； 求出所需确定的晶面在求出所需确定的晶面在三坐标轴上的截距三坐标轴上的截距； 将所得三截距之值变为将所得三截距之值变为倒数，倒数，再将这三个倒数按比例化为再将这三个倒数按比例化为最小整数最小整数（4）加上一）加上一圆括号圆括号，即为晶面指数，即为晶面指数（hkl) 。 二、晶体学指数 （1）AGE面：面： 截距截距1，1，1； 倒数倒数1，1，1 ， 晶面指数（晶面指数（111） （2）PBEQ面：面： 截距是截距是1/2，1，； 截距倒数是截距倒数是2，1，0； 化为最小整数后的晶化为最小整数后的晶面指数

16、（面指数（210） （3）DBEG面：面： 截距截距1，1，； 倒数倒数 1，1，0， 晶面指数（晶面指数（110） （4）DCFG面：面： 截距截距1，； 倒数倒数1，0，0； 晶面指数（晶面指数（100） 注意事项：注意事项： 当晶面交于晶轴的当晶面交于晶轴的负端负端时，对应的指数就是时，对应的指数就是负的负的，并将并将负号标在数字的上面负号标在数字的上面。 晶面指数中第一、二、三位分别代表与晶面指数中第一、二、三位分别代表与a、b、c轴轴的关系，它们之间的关系，它们之间不能随意变换不能随意变换。 一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组晶一组晶面面，而

17、不是一个面。，而不是一个面。 当晶面指数中某个位置上的指数为当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶时，表示该晶面与对应的晶轴面与对应的晶轴平行平行。如（。如（100）（）（ ）（）（001）。）。二、晶体学指数课堂练习(312)(243) 规律规律 在一种晶格中，如果某些晶面，虽然在一种晶格中，如果某些晶面，虽然 它们的位向不它们的位向不同，但原子排列相同同，但原子排列相同。如（。如（100）、（）、（010）及）及 （001）等，这时若不必要予以区别时，可把这些）等，这时若不必要予以区别时，可把这些晶面统用晶面统用100表示。表示。 例例1：写出立方晶系的：写出立方晶系的 100的等同

18、晶面。的等同晶面。 100=（100）+（010）+（001）+（T00）+（0T0）+（00T） 例例2：写出立方晶系的：写出立方晶系的 111的等同晶面。的等同晶面。 111=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(TT1)+(1TT)+(T1 T)+(TTT)41二、晶体学指数二、晶体学指数3. 六方晶系指数（自学）六方晶系指数（自学） 用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能直观地显示等同晶面和等同晶向关系。如直观地显示等同晶面和等同晶向关系。如(1 0 0)、 (0 1 0)和和( 1 0) 是等同三个柱面，是等同三个

19、柱面，1 0 0、0 1 0、 1 1 0实际上是等实际上是等同晶向同晶向. 上述晶面和晶向若用四指数可分别表示为，上述晶面和晶向若用四指数可分别表示为，(1 0 0)、 (0 1 0)、 ( 1 0 0)，和，和2 0、 2 0、1 1 0，它们则具，它们则具有明显的等同性，可分别归属为有明显的等同性，可分别归属为1 0 0晶面族和晶面族和 1 1 0 晶晶向族向族第一节 晶体几何学简介1111111121242二、晶体学指数二、晶体学指数3.六方晶系指数（自学）六方晶系指数（自学） 若晶面用三指数表示时为若晶面用三指数表示时为 ( hkl )， 则相应的四数指则相应的四数指 为为( hki

20、l )， 四指数中前三四指数中前三 个指数只有两个是独立的，个指数只有两个是独立的， 它们之间的关系为它们之间的关系为 i = - ( h + k ) 有时将有时将i 略去，表示为略去，表示为 ( hk l )图图2-4 六方晶系的晶体学指数六方晶系的晶体学指数 2 0 1111 0 2第一节 晶体几何学简介43二、晶体学指数二、晶体学指数3.六方晶系指数（自学）六方晶系指数（自学） 三指数三指数 UVW 和四指和四指 数数 uvtw 之间的按以下关之间的按以下关 系互换系互换 U = u t, V = v t, W = w u = ( 2U V )/3 v = ( 2V U )/3 t =

21、- ( u + v ) w = W图图2-5 六方晶系的晶向指数六方晶系的晶向指数 第一节 晶体几何学简介1、晶带、晶带在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个称为一个晶带晶带。或者说交线相互平行的一组晶面的组合。或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个晶带。称为一个晶带。这一直线就称为这一直线就称为晶带轴晶带轴，它用晶向指数来表示。，它用晶向指数来表示。 uvw44三、晶带定理1、晶带、晶带已知一个晶面已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带轴指数和它所属的晶带轴指数uvw，则由，则由晶带轴晶带轴uvw与该晶带的任一晶面与该晶

22、带的任一晶面(hkl)之间均具有下列之间均具有下列关系：关系： hu+kv+lw=0，通常把这个关系式称为，通常把这个关系式称为晶带定律晶带定律。45三、晶带定理( (1) 已知某晶带中任意两个晶面已知某晶带中任意两个晶面(h1k1l1)和和(h2k2l2)，则可通过下式求出该晶带的晶带轴方向则可通过下式求出该晶带的晶带轴方向uvw：u=k1l2k2l1 v= l1h2l2h1w=h1k2h2k1晶带定律：晶带定律：hu+kv+lw=0三、晶带定律h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0h=v1w2v2w1k=w1u2w2u1l =u1v2u2v1 (2) 已知某晶面同属于两个晶带

23、已知某晶面同属于两个晶带u1v1w1和和u2v2w2，则可通过下式求出该晶面的晶面指数则可通过下式求出该晶面的晶面指数(hkl)： 晶带定律：晶带定律：hu+kv+lw=0三、晶带定律hu1+kv1+lw1=0hu2+kv2+lw2=02、晶面间距的计算晶面间距晶面间距：指相邻：指相邻两个平行晶面两个平行晶面之间的距离之间的距离22222/ )(341clakhkhdhkl2、晶面间距的计算3、晶面夹角的计算立方晶系的晶面夹角的计算公式：第二节第二节 布拉格方程布拉格方程X射线照射晶体，射线照射晶体， 电子电子产生产生相干散射相干散射， 形成形成电子散射波；电子散射波； 同一原子同一原子内电子

24、相互干涉内电子相互干涉 形成形成原子散射波原子散射波; 晶体晶体内原子周期排列内原子周期排列 各各原子散射波原子散射波产生产生干涉干涉作用，作用， 在某些在某些方向方向(角度角度)上发生上发生相长相长干涉干涉。 即形成了即形成了衍射衍射波。波。衍射的本质：衍射的本质： 晶体中各晶体中各原子相干散射波原子相干散射波叠加叠加( (合成合成) )的结果。的结果。52小问题 X射线的产生机理射线的产生机理 连续连续X射线的产生机理射线的产生机理 特征特征X射线的产生机理及命名射线的产生机理及命名53晶体对晶体对X射线衍射射线衍射 晶体可能产生衍射的方向晶体可能产生衍射的方向决定于：决定于： 晶胞类型晶

25、胞类型 晶体构形的几何性质晶体构形的几何性质 晶面间距晶面间距 晶胞参数，等晶胞参数，等 衍射的强度衍射的强度决定于：决定于： 原子种类原子种类 晶体的实质内容晶体的实质内容 数量数量 具体分布排列具体分布排列1、劳埃（、劳埃（1912年）年） X射线照射射线照射五水硫酸铜五水硫酸铜(单晶单晶) 第一张第一张X射线衍射照片射线衍射照片 劳埃方程。劳埃方程。第二节 布拉格方程前提条件 晶体为由许多相互晶体为由许多相互平行平行且晶面间距且晶面间距(d)相相等的等的原子面原子面组成；组成； X射线可照射到晶射线可照射到晶体的各个体的各个原子面原子面上；上； 入射线与反射线入射线与反射线可视为可视为平

26、行光平行光； 布拉格布拉格选择反射选择反射实验解释。实验解释。5758一、布拉格方程的导出一、布拉格方程的导出 光程差：光程差： = PM2+QM2 = 2dsin 若若X射线波长为射线波长为 ，则相互加强的条件为，则相互加强的条件为 2dsin = n (2-7) 此式即为此式即为著名的布拉格方程著名的布拉格方程第二节 布拉格方程59二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论l 布拉格方程布拉格方程 2dsin =n 中中，入射线，入射线(或反射线或反射线)与晶面间的与晶面间的夹角夹角 称为掠射角或布拉格角称为掠射角或布拉格角；入射线和衍射线之间的夹；入射线和衍射线之间的夹角角2 称为衍射角称

27、为衍射角；n 为整数，为整数，称为反射级数称为反射级数l 将衍射看成反射是布拉格方程的基础将衍射看成反射是布拉格方程的基础。X射线的晶面衍射射线的晶面衍射和光的镜面反射有所不同，和光的镜面反射有所不同，X射线只有在满足布拉格方程射线只有在满足布拉格方程的的 方向才能反射，因此称选择反射方向才能反射，因此称选择反射l 布拉格方程布拉格方程简单明确地指出获得简单明确地指出获得X衍射的必要条件和衍射衍射的必要条件和衍射方向，方向，给出了给出了d、 、n和和 之间的关系之间的关系第二节 布拉格方程二 布拉格方程的讨论 X-ray在晶面在晶面“反射反射”与可见光镜面反射比较：与可见光镜面反射比较： 相同

28、点：相同点： 两角相等两角相等 三线共面三线共面 不同点：不同点： 可见光反射仅限于物可见光反射仅限于物体表面；体表面； X-ray不仅在表面而且不仅在表面而且能进入晶体内部。能进入晶体内部。可见光是反射的结果，可见光是反射的结果，强度与入射波相当；强度与入射波相当；X-ray：散射波干涉，强：散射波干涉，强度很弱度很弱可见光以任意角度入射都可进行可见光以任意角度入射都可进行反射；反射； X-ray只有特殊角度才能进行反只有特殊角度才能进行反射，称为射，称为X-ray的的“选择反射选择反射”。可见光：入射角可见光：入射角入射线与法线；入射线与法线；X-ray：入射线与晶面：入射线与晶面61二、

29、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论1. 反射级数反射级数 若若X射线照射到晶体的射线照射到晶体的(100)时，恰好能发生时，恰好能发生2级反射，则级反射，则 有有2d100sin = 2 ；设想在；设想在(100)面中间均插入与其面中间均插入与其 完全相同的完全相同的(200)面，可以把面，可以把(100)的的 2级反射看作是级反射看作是(200)的的1级反射，则级反射，则 布拉格方程为布拉格方程为2d200sin = ；又可写；又可写 成，成，2(d100/2)sin = ，即，即 或或 (2-10)图图2-8 2级反射示意图级反射示意图 第二节 布拉格方程2s i n2s i ndnd2

30、sin2sindnd 把晶面间距为把晶面间距为 的的（hkl）晶面的晶面的n级级反反射看成是与射看成是与(hkl)晶面平行，晶面间距为晶面平行，晶面间距为 的的（HKL）晶面的晶面的1级级反射。反射。sin2sin)(2HKLhkldndhkldnddhklHKL二二 布拉格方程的讨论布拉格方程的讨论63二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论2.干涉面指数干涉面指数l 把晶面把晶面(hkl)的的n级反射面级反射面n(hkl)用符号用符号(HKL)表示，称为表示，称为反反射面或干涉面射面或干涉面l (hkl)是晶体中实际存在的晶面，是晶体中实际存在的晶面， (HKL)只是为了简化问题只是为了简

31、化问题而引入的虚拟晶面而引入的虚拟晶面l 干涉面指数称为干涉指数，干涉面指数称为干涉指数，H=nh，K=nk，L=nl，当，当n =1时，干涉面指数即为晶面指数时，干涉面指数即为晶面指数l 在在X射线结构分析射线结构分析中，中，一般使用干涉面一般使用干涉面的面间距的面间距第二节 布拉格方程64二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论3. 掠射角掠射角l 掠射角掠射角 是入射线是入射线(或反射线或反射线)与晶面间夹角，一般与晶面间夹角，一般用于表征用于表征衍射方向衍射方向l 当当 一定时，一定时，d 相同的晶面必然在相同的晶面必然在 相同的方向才能获得反相同的方向才能获得反射。用单色射。用单色X

32、射线照射多晶体时，各晶粒射线照射多晶体时，各晶粒d 相同的晶面，其相同的晶面，其反射方向反射方向( )相同相同l 当当 一定时，一定时， 随随d 值减小而增大，说明间距较小的晶面对值减小而增大，说明间距较小的晶面对应于较大的掠射角，否则其反射线就无法加强应于较大的掠射角，否则其反射线就无法加强第二节 布拉格方程65二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论4. 衍射极限条件衍射极限条件l 掠射角掠射角 极限范围是极限范围是090 ，但过大和过小均会造成衍射观，但过大和过小均会造成衍射观测的困难。由于测的困难。由于 sin 1，使得反射级数，使得反射级数n或干涉面间距或干涉面间距d 受到限制受到限

33、制l 当当d 一定时，一定时，n 随随 减小而增大，减小而增大，采用短波长采用短波长X射线照射，射线照射，可获得较高级数的反射可获得较高级数的反射l 因因dsin = / 2，故，故 d /2，说明，说明只有间距大于或等于只有间距大于或等于X射线射线半波长的干涉面才能参与反射半波长的干涉面才能参与反射，采用，采用短波长的短波长的X射线照射射线照射时，参与反射的干涉面将会增多时，参与反射的干涉面将会增多第二节 布拉格方程 例：例：一组晶面间距从大到小的顺序：一组晶面间距从大到小的顺序：2.02，1.43，1.17，1.01 ，0.90 ，0.83， 0.76 可能产生衍射的晶面组数？可能产生衍射

34、的晶面组数？ 用波长为用波长为k=1.94的铁靶照射时，因的铁靶照射时，因/2=0.97，产生衍射的晶面组有产生衍射的晶面组有4个。个。 用铜靶进行照射，因用铜靶进行照射，因/2=0.77，6个晶面组能产个晶面组能产生衍射。生衍射。二 布拉格方程的讨论67二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论5. 应用应用l 用已知波长用已知波长 的的X射线照射晶体，通过衍射角射线照射晶体，通过衍射角2 的测量计算的测量计算晶体中各晶面的面间距晶体中各晶面的面间距d，这就是，这就是 X 射线结构分析射线结构分析l 用已知面间距用已知面间距d的晶体反射样品激发的的晶体反射样品激发的X射线，通过衍射角射线，通过

35、衍射角2 的测量计算的测量计算X射线的波长射线的波长 ，这就是，这就是X射线光谱分析射线光谱分析第二节 布拉格方程Bragg 方程：方程： 2d sin = n 将晶面间距将晶面间距d和晶胞参数和晶胞参数a的关系带入：的关系带入：222222sinlkha 由测定试样晶体的衍射线出现情况，可确定晶体结构类型；由测定试样晶体的衍射线出现情况，可确定晶体结构类型； 例：求例：求Al的晶胞参数，用的晶胞参数，用Cu(K 1) 射线（射线（ =1.5405埃埃 ）照射）照射样品，选取样品，选取 = 81.17 的衍射线的衍射线(3 3 3)o222222A0490. 43337181sin25405.

36、 1sin2lkha衍射花样和晶体结构的关系衍射花样和晶体结构的关系 由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的种类大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的种类和位置。和位置。222222(4SinHKLa）2222222(4HKLSinac）22222222(4HKLSinabc）立方晶系立方晶系正方晶系正方晶系斜方晶系斜方晶系70第二节 布拉格方程三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍射

37、面，且其绝对值为：射面，且其绝对值为： ，代入布拉格方程得，代入布拉格方程得 (2-11) 矢量空间矢量空间 倒易空间倒易空间sin2kk图图2-9 入射矢量入射矢量k与衍与衍射矢量射矢量k 的关系的关系 hkldk kk k71三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质l 通常把晶体点阵（正点阵）所占据的空间称为正空间。通常把晶体点阵（正点阵）所占据的空间称为正空间。l 所谓倒易点阵，是指在倒空间所谓倒易点阵，是指在倒空间(量纲为量纲为L-1)内与某一正点阵内与某一正点阵相对应的另一个点阵相对应的另一个点阵l 正

38、点阵和倒易点阵是在正、倒两个空间内相互对应的统一正点阵和倒易点阵是在正、倒两个空间内相互对应的统一体，它们互为倒易而共存体，它们互为倒易而共存 第二节 布拉格方程72第二节 布拉格方程三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质1. 倒易点阵的定义倒易点阵的定义 设正点阵的基本矢量为设正点阵的基本矢量为a、b、c，定义相应的倒易点阵基，定义相应的倒易点阵基本矢量为本矢量为a*、b*、c*，则有，则有 (2-12)式中，式中，V是正点阵单胞的体积，是正点阵单胞的体积， VVVb ba ac ca ac cb bc cb

39、 ba a,73第二节 布拉格方程三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质2.倒易点阵的性质倒易点阵的性质倒易点阵基本矢量倒易点阵基本矢量 0b bc ca ac cc cb ba ab bc ca ab ba a),cos(1,),cos(1,),cos(1ccccbbbbaaaa1c cc cb bb ba aa a74第二节 布拉格方程三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质2.倒易点阵的性质倒易点阵的性质2) 倒易点阵矢量倒

40、易点阵矢量在倒易空间内，由倒易原点在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为指向坐标为hkl的阵点矢量称的阵点矢量称倒易矢量，记为倒易矢量，记为ghkl (2-16)倒易矢量倒易矢量ghkl与正点阵中的与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为晶面之间的几何关系为 (2-17)倒易矢量倒易矢量ghkl可用以表征正点阵中的可用以表征正点阵中的(hkl)晶面的特性晶面的特性(方位和方位和晶面间距晶面间距)c cb ba ag glkhhklhklhklhkldghkl1),(g g75三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和

41、性质2.倒易点阵的性质倒易点阵的性质3) 倒易球倒易球(多晶体倒易点阵多晶体倒易点阵)l 单晶体的倒易点阵是由三维空间规则排列的阵点所构成，单晶体的倒易点阵是由三维空间规则排列的阵点所构成，它与相应正点阵属于相同晶系它与相应正点阵属于相同晶系l 多晶体由无数取向不同的晶粒组成，其倒易点阵是由一系多晶体由无数取向不同的晶粒组成，其倒易点阵是由一系列不同半径的同心球面而构成列不同半径的同心球面而构成l 多晶体同族多晶体同族hkl晶面的倒易矢量在三维空间任意分布，其晶面的倒易矢量在三维空间任意分布，其端点的倒易阵点将落在以端点的倒易阵点将落在以O*为球心、以为球心、以 1/d hkl (ghkl)为

42、半径为半径的球面上的球面上第二节 布拉格方程76三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(二二) 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 (2-18)此式即为此式即为倒易空间的衍射方程倒易空间的衍射方程l 与布拉格方程是等效的与布拉格方程是等效的l 当当(hkl)面发生衍射时，其倒易矢量面发生衍射时，其倒易矢量ghkl的的 倍等于入射线与倍等于入射线与衍射线的单位矢量之差衍射线的单位矢量之差 k k l 矢量式矢量式(2-18)的几何图形表达形式，即为爱瓦尔德图解的几何图形表达形式，即为爱瓦尔德图解 第二节 布拉格方程hklg gk kk k77三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔

43、德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(二二) 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 如图如图2-10，入射矢量的端点指向倒易原点，入射矢量的端点指向倒易原点O*，以入射方，以入射方向上的向上的C点作为球心，半径为点作为球心，半径为1/ 作球，球面过作球，球面过O*，此即为，此即为爱爱 瓦尔德瓦尔德(或反射球或反射球) 若某倒易点若某倒易点hkl落在反射球面上，落在反射球面上， 该晶面将发生衍射，该晶面将发生衍射，衍射线的方衍射线的方 向由反射球心指向该倒易点向由反射球心指向该倒易点 图图2-10 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 第二节 布拉格方程78三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解(三三) 晶体衍射花样的特点晶体衍射花样的特点1) 单晶体衍射花样单晶体衍射花样 用垂直于入射线放置的感光底片记录，用垂直于入射线放置的感光底片记录， 单晶体衍射花样由规则排列的衍射斑点单晶体衍射花样由规则排列的衍射斑点 组成组成 第二节 布拉格方程79三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、