双因素试验的方差分析

1、双因素试验的方差分析 在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的问题，用正交试验法比较方便。第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析无交互作用的双因素试验的方差分析 数学模型 假

2、设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，.Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析双因素无重复（无交互作用）试验资料表因素因素 A12.bBBB1112112.baaabXXXXXX.1ajijiTX.1.2.bTTT.jjXTa.1biijjTX1XTab.1.2.bXXX因素因素 B1.aAA.iiXT b1.aTT1.aXX11abijij

3、TX第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析 无交互作用的双因素试验的方差分析ijijijX线性统计模型 基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。ijX2,ijijXN 其中 111abijijab所有期望值的总平均 11biijijb11ajijjiaijijijX水平Ai对试验结果的效应 水平Bj对试验结果的效应 试验误差 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析特性： 2110; 0; 0,abijijijN11biijijb11ajijjiaijijijX水平Ai对试验结果的效应 水平Bj对试验结果的效应 试验误差 要分析因素A，B的差异对试验结果是否有

4、显著影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和211abTijijSSXX可分解为：TABESSSSSSSS2.1aiAiSSbXX称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验指标的影响。2.1bjBjSSaXX称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析2.11abijEijijSSXXXX称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。总离差平方和的分解定理第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的

5、方差分析2,ijXN 可推得：221TSSab2222,TABESSSSSSSS将 的自由度分别记作,TABEdfdfdfdf，则2211ESSab若假设 成立，则：0102,HH221ASSa221BSSb 1 ,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS 1 ,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析对给定的检验水平 ，F 右侧检验 1 ,11AFFaab时，当 1 ,11BFFbab时，当拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析

6、双因素（无交互作用）试验的方差分析表方差来源因素A总和平方和ASSBSSTSS自由度AdfEdfTdf均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF 值AAEMSFMSF 值临介值(1 ,11 )Faab因素B误差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1 ,11 )Fbab,ETABETABdfdfdffSSSSSSSS注意 各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析,AABBSSDp SSDp简便计算式：其中：2.1,aAiiDTb,EABTSSRDDp SSRp2.1,bBjjDTa2,pTab211a

7、bijijRX第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器、各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？工人 A506352475442475741535848.1ajijiTX.jjXTa.1biijjTX51X 49.3 58.045.8机器 B.iiXT b612T 甲 乙 丙 丁 197232 18316514314515955.047.748.353.0第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析解 基本计算如原表 21131678abijijRX2.1123495aAiiDTa2.1142040.67bBjj

8、DTb231212Tpab466TSSRp114.67AASSDp318.5BBSSDp32.83ETABSSSSSSSS111Tdfn 13Adfa 12Bdfb 6EAbdfdfdf第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析38.223AAAMSSSdf159.25BBBMSSSdf5.47EEEMSSSdf6.98AAEFMSMS29.10BBEFMSMS0.013,69.78F0.012,6BFF0.053,64.76F0.050.013,63,6AFFF0.012,610.92F 结论：工人对产品的产量有显著影响，机器对产品的产量有极显著影响。第九章 方差分析与回归分析2 双

9、因素试验的方差分析ijkijijkijX线性统计模型 基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。ijX2,ijijXN 有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水平的搭配必须作重复试验。 处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。观测值总平均 因素A的效应 因素B的效应 交互作用的效应 试验误差 有交互作用的双因素试验的方差分析 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析线性统计模型 其中 111abijijab所有期望值的总平均 11biijijb11ajijjiaijkijkijX水平Ai对试验结果的效应 水平Bj对试验结果的效应

10、 试验误差 ijkijijkijXijijij交互效应 有交互作用的双因素试验的方差分析 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析特性： 110; 0; abijij 要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH2110; 0; 0,abijkijijijN03:0 1,2, ;1,2,ijHia jb第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和2111abnTijkijkSSXX可分解为：TABA BESSSSSSSSSS SSA称为因素A的离差

11、平方和，反映因素 A 对试验指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和，反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析2,ijkXN 若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设 成立，则 则1,1AAAAEEESSdfMSFF aab nSSdfMS可推得：2222221 ,1 ,1ABTSSSSSSababn222211 ,1A BESSSSabab n1,1BBBBEEESSdfMSFF bab nSSdfMS第九章 方差分

12、析与回归分析2 双因素试验的方差分析11 ,1A BA BA BA BEEESSdfMSFFabab nSSdfMS 由 作右侧假设检验来考察各因素及因素间的交互作用对试验指标的影响力.,ABA BFFF第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析双因素有重复（有交互作用）试验资料表因素因素 A12.bBBB1111211 111121.bnnbnXXXXXX.因素因素 B1AaA1121112.aaaba na nabnXXXXXX第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析双因素（有重复）试验方差分析表方差来源因素A总和平方和ASSBSSTSS自由度AdfEdfTdf均方和AA

13、ASSM SdfEEESSM SdfF 值AAEM SFM SF 值临介值(1 ,1 )Faab n因素B误差ESSBdfBBBSSM SdfBBEM SFM S(1 ,1 )Fbab nABABSSABdfABABABMSSSdfA BA BEMSFMS(11 ,1 )Fabab n各离差平方和的计算公式参看出P180_181A BABdfdfdf这里第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析例题 考虑上例中小麦种子类型和化肥类型对小麦产量的影响， 借助于 SPSS 软件的方差分析过程，输入例 2 中的产量数据，计算得方差分析表如下； 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 P 值

14、因素 A(小麦品种) 因素 B(化肥品种) 交互作用 AB 误差e 7088.333 174.083 2955.917 115.000 3 2 6 12 2362.778 87.042 492.653 9.583 246.551 9.083 51.407 9231E-11 0.00396 5974E-8 总和 10333.333 23 若给定显著性水平0.05，小麦品种和化肥的主效应是显著的，而且小麦品种与化肥之间也存在显著的交互作用，这说明小麦产量不仅与小麦品种，化肥类型有关，而且与它们之间的不同搭配有关 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析 例题 在某化工生产中为了提高收率，

15、需要考虑浓度、温度两种因素的影响，为此选了 3 种不同浓度、4 种不同温度进行试验已知温度与浓度的组合下交互作用的影响甚微，在同一浓度与温度的组合下各做了一次试验，其收率数据如下表所示，试在0.05显著性水平下检验不同浓度、不同温度对收率有无显著影响 温度 B 浓度 A 1B 2B 3B 4B 1A 2A 3A 99 84 80 86 85 88 88 82 87 85 81 89 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析解 考虑无交互作用的方差分析模型，将数据输入，用 SPSS 软件计算得方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 P 值 浓度（因素 A） 温度（因素

16、 B） 误差（e） 84.667 11.667 173.333 2 3 6 42.333 3.889 28.889 1.465 0.135 0.303 0.936 总和 269.667 11 由上表可知，浓度和温度对收率的影响差异均未达到显著的程度。 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析例题 在某橡胶配方中，考虑了 3 种不同的促进剂和 4 种不同的氧化锌，每种配方下做两次试验，测得的 300定强值如下表所示，试分析氧化锌、促进剂以及它们的交互作用对定强有无显著的影响 氧化锌 A 促进剂 B 1B 2B 3B 4B 1A 2A 3A 33,33 34,33 35,37 36,34

17、 36,37 38,37 36,35 39,37 39,40 38,39 38,41 44,42 第九章 方差分析与回归分析2 双因素试验的方差分析解 这是一个双因素等重复试验首先考虑有交互效应的双因累方差分析模型，计算可得如下方差分析表： 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 P 值 因素 A 因素 B 交互效应 AB 误差 e 56.583 132.125 4.75 17.500 2 3 6 12 28.292 44.042 0.792 1.458 19.400 30.200 0.543 0.00017 849E-6 0.767 总和 210.958 23 此可认为没有交互作用，从而考虑没有交互作用的方差分析模型经计算可得方差分析表