加锚体自然单元法分析

1、加锚体自然单元法分析加锚体自然单元法分析 余天堂HohaiHohai University University一、引引 言言 锚杆支护是适应现代支护理论的一种支护方式，它使围岩与支护结构共同工作，充分发挥围岩的自承能力。 在地下结构的有限元计算中，通常用一维轴力杆单元来模拟点锚式锚杆、预应力锚杆、砂浆锚杆及预应力锚杆。 在划分单元时，岩体与锚杆的连接点一般都布置在单元的结点处，也可以是任意位置，但对于分析大量加锚问题都不方便。 自然单元法(Natural Element Method-NEM)是基于给定结点的Voronoi图，以自然邻点插值作为近似的Galerkin方法。 自然单元法的前处理

2、只需要提供求解结构的离散点信息，至于离散点的Voronoi图或积分网格可以用目前比较成熟的Delaunay准则由计算机自动完成。 自然单元法的计算精度近似于四边形单元或六面体单元的有限元精度，但其前处理简单、边界条件施加方便、计算量远小于无单元法的，因此自然单元法是一种发展前景广阔的复杂结构分析的数值方法。 二、本文的内容建立了加锚岩体的一种自然单元法分析模型锚杆作为一维杆单元考虑锚杆的位置可以是任意的三、位移场的构造三、位移场的构造 在平面域上，记 个离散结点集合为 ，对应结点 的Voronoi 单胞(图1(a)可定义为 n12,.,nSXXXiX2,iijTXR d X Xd X Xij

3、(a) 结点 的Voronoi 单胞 A由集合 的所有Voronoi边组成的图形称为Voronoi图（图1(b)）。将具有公共边界的Voronoi单胞对应的结点连接所得到的三角形，称为Delaunay三角形（图1(c)）。S (b)7结点Voronoi图 (c) Delaunay三角化 对于某个结点而言，其自然邻点为与包含该结点的Voronoi 单胞相邻的Voronoi 单胞所包含的结点。图2中结点1的自然邻点为结点2，3，4，6，7。实际计算中，可以利用Delaunay三角化的空外接圆性质确定结点的自然邻点。 图2 7结点Voronoi图 确定了结点 的自然邻点后，则结点 的位移为xx ,

4、Tfu vNu1212( )0( )0( )00( )0( )0( )nnxxxNxxx 1122Tnnuuvuvuv其中， 为第 个自然邻点的结点位移分量； 为结点 的自然邻点数； 为第 个自然邻点的插值基函数（形函数）在点 处的值。 ,(1,2,., )iiu v ininx( )ixix一般用Sibson插值或Laplace插值来构造自然邻点形函数 ( )ixSibson插值形函数 类似地可以定义二阶Voronoi单胞（图3），其数学定义为2,ijijkTXR d X Xd X Xd X Xki j Sibson利用二阶Voronoi单胞引入自然邻点坐标的概念，令 为 的面积， 为 的面

5、积，定义如下的形函数( )iA xxiT1( )niiA xxT1( )( )( )iinjjA xxA x 为结点 的自然邻点数 nx 任意多边形面积的计算是计算sibson形函数的关键，目前一般采用Watson算法和Lassere算法计算sibson形函数，但Watson算法存在两个缺陷：1、不能计算Delaunay三角形边上点的形函数；2、无法推广到三维问题。Lassere算法可以有效地克服Watson算法的不足。 Laplace插值形函数 1( )( )( )( )( )( )jiijnjjjsxxxxh xx 是与结点 关联的Voronoi边的长度， 为插值点 到结点 关联的Voro

6、noi边的距离 ( )jsxj( )jh xxj四、锚杆单元杆端结点的位移函数四、锚杆单元杆端结点的位移函数 在锚杆支护结构与岩体共同作用的体系中，锚杆对结构的作用一般认为通过轴力劲度矩阵来体现。 cossin0000cossiniiijjjuuvuvuLcossin0000cossinL1121121212000000000000iiiniiiinijjjnjnjjjnjnuuvvuuvvTuLTu五、锚杆单元的单元劲度矩阵五、锚杆单元的单元劲度矩阵1111EAkl11()()()22TTTTTTVkRuLTk LT uuLTR()()eTkLTk LT()TRLTR这样，锚杆单元的单元劲度矩阵由局部坐标系下的 的矩阵变成了整体坐标系下 的矩阵，可以直接叠加到总体劲度矩阵中相应离散结点的自由度上进行计算。 2 222nn六、算六、算 例例 0.010.020.030.040.050.060.071.01.52.02.53.03.54.04.55.0径向距离径向位移FEM4NEM七、七、 结结 语语 建立了加锚体的自然单元法分析模型。 由于自然单