《概率论与数理统计》复习

1、概率论与数理统计复习资料、填空题（15分）题型一：概率分布的考察【相关公式】（P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（E）方差（D）(01)分布0p1PXkpk(1p)1k,k0,1pp(1p)二项分布n10p1pxknpk(1p)nk,kk0,1,nnpnp(1p)负二项分布r10p1k1rkrPXk】pr(1p)krr1kr,r1,rpr(1p)2p几何分布0p1k1PXk(1p)pk1,2,1p1p2p超几何分布N,M,a(MN)(nN)MNMknkPXknkk为整数,max0,nNMknMNminn,MnMMNn1NNN1泊松分布0kePXkk!k0,1,2,均匀分布ab1人r,a

2、xbbaf(x)I0,其他ab2(ba)212【相关例题】1、设xNu(a,b),E(X)2,D(Z)；,则求a,b的值。解：X1 >,U(a,b),E(X) 2,D(X)-,根据性质: 3a b2解得：2(b a)2, 121,b 3.13,a2、已知N”n,p),E(X)0.5, D(X) 0.45，则求 n, p 的值。解：由题意得:解得：pnp 0.5,np(10.1.p) 0.45题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】（P163）2为已知，由枢轴量X得到的一个置信水平为1-的置信区间:/；nX、,nz/2【相关例题】1、（样本容量已知）已知总体X N（置信区间为：,0

3、.81),Xi,X2,X25为样本，且X 5,则 的置信度0.99勺18 / 15解：代入公式得:X、,nZ/20.95 Z z0.02555 0.18 1.964.6472,5.35282、（样本容量未知）已知XNn（,1）,X1,X2,X3,Xn为样本容量，若关于的置信度0.95勺置信区间10.88,18.92,求样本容量.解：由题意知：样本长度为7.84,则有:X'.nz万X,nZ2代入数据，得：Jn2n7.844.-=z3.92n2题型三：方差的性质【相关公式】(P103)1 D(C)0,C为常数。2 D(CX)C2D(X),D(XC)D(X),C为常数。3X,Y相互独立，D(

4、XY)D(X)D(Y)【相关例题】1、已知Xi,X2两变量，且XiNu(2,4),X21n(0,9),Xi,X2相互独立，求D(X12X2).解：；XiU(2,4),X2，(0,9)2,D(X12X2)D(X1)4D(X2)(；)49361题型四：t分布、2分布的定义【相关公式】(P140、P138)1设XN(0,1),Y12(n),且X,Y相互独立，则称随机变量t士Y/n服从自由度为n的t分布，记为ttn.2设X1,X2,X3,，Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量2222X1X2Xn服从自由度为n的2分布，记为2N2n.【相关例题】1、若X 忡，1)，丫 N 2(4)X，且X,Y相

5、互独立,“Y/n答:焉Nt302、若变量 X1,X2,X3,X30服从N0,1，则Xi2”?i12 -(30).30答：i1题型五：互不相容问题【相关公式】(P4)若AB，则称事件A与事件B是互不相容的。【相关例题】1、若P(A)0.6,A,B互不相容，求P(AB).解：；AB互不相容ABP(AB)P(A(SB)P(AAB)P(A)0.6二、选择题(15分)题型一：方差的性质【相关公式】(见上，略)【相关例题】(见上，略)题型二：考察统计量定义(不能含有未知量)题型三：考察概率密度函数的性质(见下，略)题型四：和、乘、除以及条件概率密度(见下，略)题型五：对区间彳t计的理解(P161)题型六：

6、正态分布和的分布【相关公式】(P105)【相关例题】若XN(0,2),YN(3,9)，则XY?答：N(03,29)N(3,11).题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2x,0x1设Xf(x)4:0,其他已知PXaPXa,则求a。解：由题意，得：1PXaPXa1PXa2即有：a2xdxx2|0-02又"a0、2a2三、解答题(70分)题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】?全概率公式：设实验E的样本空间为S,A为E的事件，B,B2,为S的划分，且P(Bi)>0,则有：PA=PA|B1P(B1)PA|B2PB2?PA|BnP(Bn)其中有：P(B|A)P(A

7、B)oP(A)特别地：当n=2时，有：P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)PB.?贝叶斯公式：设实验E的样本空间为SoA为E的事件,B1,B2,，及为S的一个划分，且PA0,PBi0(i1,2,n),则有：P(Bi|A)特别地： 当n=2时,P(B|A)P(BiA)P(A|Bi)P(Bi)P(A)；iP(A|B)P(Bi)有：P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)【相关例题】1、P19例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05

8、设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：(1)在仓库中随机取一只元件，求它的次品率;(2)在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。(见下)解：1设八二取到一只次品，B=在i厂取到产品(i1,2,3).且81、B2、B犯S的一个划分。则由全概率公式有：P(A)P(A|Bi)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)0.020.150.010.800.030.050.0125(2)由贝叶斯公式有:P(BJA)P(B2|A)咽I A)P(A|4)P(BJP(A)P(A|B2)P(B2)P(A)P(A|

9、&)P(民)P(A)0.02 0.150.0125。01 0.800.0125。03 0.050.01250.240.640.12答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币两面均有国徽)，在袋中任意取一枚,将他掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解：设A=所抛掷的硬币是正品,B=抛掷r次都得到国徽,本题即求PA|B，得:mn11 m2rmn1 m nCr一一一一2 mnmnPA=m-n,P(A)m,P(B|A)f，p(B|A)1.即有：P A|BP(AB)P(B|A)P(A)P(B)P(B|A)P(A)P(B|A)P(

10、A)3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(这一事件记为A1)，损坏10%(这一事件记为A2),损坏90%(这一事件记为A3),且知P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件，发现这三件都是好的(这一事件记为B),试求P(AIB),P(A2|B),P(A3|B)(这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。(见下)解：由题意可知：P(B|A)0.983,P(B|A)0.93,P(B|A3)0.13P(A)0.8,P(A2)0.15,P(A3)0.05P(B)P(B|A)P(A)P(B

11、|A2)P(A2)P(B|A)P(A3)0.9830.80.930.150.130.050.983 0.80.86240.87310.8624p(A|B)P(B|A)P(A)P(B)P(A2|B)0.1268P(A3|B)0.00014、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出其他字母的概率者B是(1-a)/2.今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA。问输入AAAA的概率是多少？(设信道传输各字母的工作是相互独立的。)解：设A=输入为AAAA,B=输入为

12、BBBB,C=输入为CCCC,D=输出为ABCA,依题意求PA|D.P(D)P(D|A)P(A)P(D|B)P(B)P(D|C)P(C)(1)2Pil)3p2P3P(A|D)P(AD)P(D)P(D|A)P(A)PD2/12(丁)Pi212()Pi2(13)p2213()p3Pi,1、，1、Pi(-2-)P2(-2-)P3P11-、Pi-(1Pi)2Pi(3a1)Pi1题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公X2一式：f(x)dx1,且对于任意实数，有：Px1Xx2F(x2)F(K)2f(x

13、)dx。Xi【相关例题】(1)设随机变量X的分布函数为:0,x1Fx(X)=11nx,1xe11,xe求P(X2)、P(0X3)、P(2X5)求概率密度fx（x）.（见下）解：(1)P(X2)P(0 X 3)5 P(2 X-)2二 Fx(X) dxP(X 2) In 2Fx(3) Fx(0)Fxg)1Fx (2)fx(x)I0,其他Af(x)X）,是确定常数A。解：由相关性质得:A1+x2dx1arctan x01解得：A(arctanx01A设随机变量X具有概率密度x八-,0x6f(x)='2x,32、0,其他4,求X的分布函数。2,012F(x)360 x2-,3 x2x2x一,3

14、 x 44解:00,x<0xx八dx,006(x)2x ）其中:【相关公式】-1(1)公式f(x)-=e,2,为常数，则称刈艮从参数为,的正态分布。N(0,1).（3）相关概率运算公式:PXxPXJ(J;PXi乂2PxJ 1)1);(x)该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X,求:N (110,122),在(x).【相关例题】1、（P5827）某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从(1)PX105,P100X120;（2）确定最小的X,使PXx 0.05解：t I(aXPX N(110,122)、 X 110105巴P100X 120 P100105 11012110 X

15、 11012PXx 1 PX x 1 P12X 110125.(m二1120 11012x 11012 (0.42)(x即有:x 110,(二)。.95 二(1.65)0.6628 0.3372;10()2 12110、)0.05 120.5934x1101.65x129.812xmin129.82、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数10.05,0.06的正态分布，规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。（见下）解：设A一螺栓合格,本题求PA.P(A)P9.93 10.05006X 10.050.0610.17 10.05006P( 2X 10.050.062

16、) 2 (2) 1 0.9544P(A)1P(A)10.95440.0456题型三：二维随机变量的题型【相关公式】1、二维随机变量的求法:+f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy12、联合概率密度求法3、随机变量的函数分布:f(x,y)fX(x)fy(y)ZXY:fxfyfX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dxZXY:fXY(z)工fX(x)fY(-)dxxxY.Z:fY(z)XX【注意点】讨论x,yxfX(x)fY(xz)dx取值范围。2,2 y 4【相关例题】1、（P843）设随机变量（X,Y）的概率密度为：kk（6xy）,0xf（x,y）«10,其他确定常数k.

17、求PX<1,Y<3.求PX<1.5.求PXY4.（见下）解:2 k(6 x0y)dx dy6xxy |2 dy41022y dy 1解得:k= 18,一一一12由题息即求：-8y dxdy（3）由题意即求：181.5y dx dy2732由题意即求（如图）：1y dxdy2、（ P86 18）设X和Y是两个相互独立的随机变量, Y的概率密度为：在区间（0,1）上服从均匀分布,fY(y)1求X和Y的联合概率密度.2 求 PX Y.12Cr-e 2,y 010,其他解：由题意的：X的概率密度如下:1,0<x<110,其他£12f(x,y) e ,0 2f(x

18、, y) 0,其他(2)由题意，即求：1,yy2dydx1 3 e 2d2dx_ye 2|x dx3、(P8725)设随机变量X,Y相互独立,且具有相同的分布，它们的概率密度均为x,X1f(x)4<0,其他求Z=X+Y的概率密度。解：fxY(x,y)0fx(x)fY(zx)dx0e1xexz1dxz2 ,zz 1fZ(z) <、0,z 02z2zedxe(z2).(x2)14、(P8726)设随机变量X,Y相互独立，它们的概率密度为ex,x0f(x)0,其他求Z=Y/X的概率密度。解：由题意知：X0,Z0.当x0时，f(Z)f(Y)xfX(x)fY(zx)dxxfX(x)fY(zx

19、)dxX00(z 1)xxe dx0xzxxzxxeedxxeedx00当x0日t,f(Z)0.综上所述，Z的概率密度为：L(lnL(n Inl(令;l(0,即有:1xn2、 ( P1748设 X1,X2,X3,?是来自概率密度为:题型四：最大似然估计的求解【相关公式】(1)当只有一个变量的时候，有：-d-L()0或;dlnL()0;dd2当未知变量有i的时候i2,有:LlnL0(i1,2,3,k)【相关例题】1、设概率密度为：x_(e,0x1f(x)«10,其他求的最大似然估计解:nexp,1-x,0x1f(x；)$:0,其他的总体的样本，。未知，求。的最大似然估计。解:nn1nL()xxi1i1nl()lnL()nln1Inxi1nlnl()lnxii1令lnl()=0,得:n=nInxii1题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】1、正态