《概率论与数理统计》习题及答案第八章

1、精品文档概率论与数理统计习题及答案第八章1.设Xi,X2,|,Xn是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为的指数分布，Ho :未知，给定o o和显著性水平 (o 2检验统计量及否定域.1)，试求假设Ho :选统计量no Xii 1onXXi,122 _(2n),对于给定的显著性水平,2 ，,查分布表求出临界值2(2n),可见Ho :122|(2n)2 ,所以(，122(2n)22 _ 、(2n),从而P12(2n)o的否定域为P2(2n)2.某种零件的尺寸方差为(2n).1.21 ,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56,29.66,31.64,3o.oo,21.87,3103。

2、设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.5。毫米(。.。5).解问题是在2已知的条件下检验假设Ho:32.5oHo的否定域为|u|u/2其中X32.5o:-29.4632.5o八八一u.n2.456.771.1Uo.o251.96,因|u|6.771.96,所以否定H0,即不能认为平均尺寸是32.5毫米。3 .设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为1oo,今抽了一个容量为26的样本，计算平均值158o,问在显著性水平o.o5下，能否认为这批产品的指标的期望值不低于16oo。解问题是在2已知的条件下检验假设Ho:1600Ho的否定域为uu/2,其中uX1600.261580

3、16005.11.02.100100U0.051.64.因为u1.021.64U0.05,所以接受H。，即可以认为这批产品的指标的期望值不低于1600.4 .一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，问这批元件是否合格？(0.05)2解设元件寿命为X,则XN(,100),问题是检验假设H。：1000.H。的否定域为uu0.05,其中X10009501000LCLu.2552.5100u0.051.64因为u2.51.64u0.05所以否定H0,即元件不合格.5 .某批矿砂的5个样品中馍含

4、量经测定为X(%)：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的馍含量为3.25(0.01)?2解问题是在2未知的条件下检验假设H。：3.25H0的否定域为|t|t/2(4)c215_2cX3.252,S(Xi5X)0.00017,S0.0134i1t0.0054.6041,X3.25.3.2523.25,t52.240.345S0.013因为|t|0.3454.6041t0.005(4)所以接受H0,即可以认为这批矿砂的馍含量为3.25.6.糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包

5、重量(单位：公斤)如下：99.3, 98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5问该日打包机工作是否正常(0.05;已知包重服从正态分布)？o19解X99.98,S2-(XiX)2)1.47,S1.21,8i1问题是检验假设H。：100H。的否定域为|t|t乂8).其中,X100-99.98100t一；930.05S1.21t0.025(8)2.306因为|t|0.052.306t0.025(8)所以接受H。，即该日打包机工作正常.7.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含

6、量(单位：毫克)如下22, 21,20,23,21,19,15,13,16,23, 17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(0.025)解设X为维生素C的含量，则XN(,2),X20,S2419.625,S20.485,n17.问题是检验假设H。：21.(1)Ho:21.(2)选择多计量t并计算其值：,X21-2021tn170.20S20.485(3)对于给定的0.025查t分布表求出临界值t(n)to.025(16)2.2.(4)因为to.025(16)2.200.20t。所以接受Ho,即认为维生素含量合格.8.某种合

7、金弦的抗拉强度XN(,2),由过去的经验知10560(公斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(0.05)2解X10631.4,S6558.89,S80.99,n10.问题是检验假设H。：10560(1)H。：10560.(2)选统”量并计算其值.X10560.10631.410560t:n.10S80.992.772(3)对于0.05,查t分布表，得临界值t(9)t0.05(9)1.833.(4)因t0

8、.05(9)1.8332.772t,故否定H。即认为抗拉强度提高了。9.从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S0.025,问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.0004有无显著差别？(0.05,椭圆度服从正态分布)。一_22解S0.025,S20.00065,n15,问题是检验假设H。：20.0004(1)H。：220.0004.2(2)选统计量2并计算其值2(n 1)S22014 0.000650.000422.752.(3)对于给定的0.05,查2分布表得临界值2/2(14)2.025(14)26.119,12/2(14)0.975(14)5.629.222(4)因为0.9755.6

9、2922.75。磔26.119所以接受H。，即总体方差与规定的20.0004无显著差异。10.从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80?(0.05,熔化时间服从正态分布).2_,2解X62.4,S121.82,n10,问题是检验假设H。：80.22(1)H。：80°；2(2)选统计量2并计算其值9 121.828013.705_2(n1)S202(3)对于给定的0.05,查分布表得临界值22(n1)0,05(9)16.919.22(4)因13.70516.9190.05,

10、故接受H。，即可以认为方差不大于80。11.对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下第一种138,127,134,125;第二种134,137,135,140,130,134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(0.05)2解设第一、二种织品的强度分别为X和Y,则XN(1,),2YN(2,)2X131,S36.667,n14Y135,S；35.2,n26问题是检验假设H0:12(1) H0:12(2)选统计量T并计算其值.TXYnn213113546(n11)S21)5221n2336.667535.2,46:n1n22:4621.295(3)对于给定的0

11、.05,查t分布表得临界值t/2(n1n22)t0.025(8)2.3069.(4)因为|t|1.2952.3069tog©),所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。12.在20块条件相同的土地上,同时试种新旧两个品种的作物各十块土地,其产量(公斤)分别为旧品种78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;新品种79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（0.01）2.解设X为新品种产量，

12、Y为旧品种产量；XN（1,）,2、.YN（2,）,问题是检验假设H0:12X79.43,S22.2246,n110Y76.23,Sf3.3245,n210选统方t量T并计算其值：TXY011（4n22），（小1）62（021虑n1n279.4376.231800-142956（2.22463.3245）9；20对给定白00.01,查t分布表得临界值t（18）t0.01（18）2.5524.因为T4.29562.5524t0.01（18）故接受H0,即新品种高于旧品种13.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得一2一2S10.345,S20.357，假定零件长度服从正态分布，问

13、可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？（0.05）,一2一一一一解S10.345,n16,S；0.357,n29问题是检验假设H。：选统方t量F并计算其值0.9664FS20.345S20.357对给定白0.05查F分布表得临界值F/2(5,8)F0.025(5,8)4.65,L、1"F0.975(5,8)0.1479.6.76因F0.975(5,8)0.14790.9664F4.65F0.025(5,8)故接受H。，即无显著差异.13.甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm）为甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,2

14、0.0,19.0,19.9;乙：19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？(0.05,产品直径服从正态分布。)22.解设甲加工的直径为X,乙为Y.X-N(1,1),YN(2,2).2X19.925,S20.2164,n18问题是检验假设S20.3967,n27H022选统at量F并计算其值§0.2164F-0.5455.S20.3967对于给定的0.05,查F分布表得临界值F/2(7,6)F0.025(7,6)5.70,1%.975(7,6)0.19535.12因F0.975(7,6)0.19530.5455FF0.

15、025(7,6)5.70,故接受H。,即精度无显著差异.14.一颗骰子掷了120次，得下列结果：点数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（0.05）解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1,2,3,4,5,6。问题是检验假设I 1,2,|,6.这里 k 6, Pi0 6, n 120,2 (ni 20)2964.8 20201H。：RP（XI）,6npi020,Ai故2 k（小叩0161 1npi01,22_222查分布表，得临界值（k1）0.05（5）11.071因为4.81.0710.05故接受Ho,即骰子匀称。15.从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（

16、单位：mm）为15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？（0.05）解数据中最小的为14.2,最大者为15.9,设a14.05,b16.15,欲把16.1514.05a,b分成七个（相等的）区间，则区间

17、长度（组距）为0.3得7分点y14.35,y14.65,y14.95,y15.25,y15.55,y15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：ix1yni114.353214.3514.655314.6514.9510414.9515.2516515.2515.558615.5515.856715.852设钢珠的直径为X,其分布函数为F（x）,我们的问题是检验假设:H0:F（x）（x一）.其中，2未知.在H。成立之下， 和2的极大似然估计为X 15.1 ,X)2 0.1849,0.43.2 1n一(Xini1在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分

18、成5组，分点为ti14.65,t214.95,t315.25,t415.55.14.6515.1p1F(t1)()1(1.04)0.14920.4314.9515.1P2F(t2)F(t1)(二一)0.14920.431(0.35)0.14920.2140.36320.2736P3F(t3)F(t2)(合鲁)0.43(0.35)0.36321555151P4F(t4)F(t3)(-5)0.43(1.04)0.63680.21815.5515.1P51F(t4)1(;-一)0.14520.43统计量(ninPi)22 _2(2)iniPinPininPi(ninPi)2(ninPi)2/nPi1

19、80.14927.460.540.29160.039092100.214010.7-0.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218010.9298.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997i1nPi的值计算如下表:即21.24997,对于0.05查2分布表得临界值2(2)黑5.991.22因1.249975.9910.05(2),故接受H。，即认为钢珠直径服从正态分布N(15.1,0.1849).16.设A(L，b,i1,2,3,A(-,2),假设随机变量X在(

20、0,2)222上是均匀分布的，今又X进彳T100次独立观察，发现其值落入Ai(i1,2,3,4)的频数分别为30,20,36,14,问均匀分布的假设，在显著性水平为0.05下是否可信。解检验假设：Ho：X-U0,2检验计算表如下：iniPinPininPi/2(nnp)nPi1301425512201425513361425114.844141425-114.841001100011.68统计量2(n一咀)11.68,22(41)iinpi2对于0.05,查得0.05(3)7.815因为211.687.8152.05(3)所以不接受H。，即不能相信XU0,2.习题九1.一批由同样原料织成的布，

21、用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表缩水】率布样节AA2A3A4A514.36.16.59.39.527.87.38.38.78.833.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响（0.01）解m5,n1n2n3n4n54,n20,查附表5得%.0i(m1,nm)%0i(4,15)4.89.序号AAAA4A5mi1P12(147.9)22014.36.16.59.39.51093.7227.87.38.38.78.8Q1149.2533.24.28.67.211.446.54.18

22、.210.17.8R1170.92niX八ijj121.821.731.635.337.5147.9SeRQ2ni21.67X.jj1475.24470.89998.561246.091406.254597.03SAQP21nXijnij1131.82112.24252.34316.03358.491149.2555.53niw2SRPXijj1131.82112.24252.34316.03358.491170.9277.2方差分析表方差来源平方和自由度均方F值工艺误差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总和77.2019因为9.60954.89,所以工艺对缩水

23、率有显著影响.2.灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果(单位：小时)，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？(0.01)试验万寿命A1A2A3A116001850146015102161016401550152031650164016001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8_一_一1820_一解m4,ni7,叫5,%8,56,n26,查附表5得Fo.oi(m1,nm)Fo.oi(3,22)4.82为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再

24、除以10得下表寿命序号AA2A3A44i11025T4-9214-563540748102§51015406126872014822niXj1Xj565829T91242niXijj1ij3136336484136121ni一j1Xjnij1448672.8105.12560.1671286.092nX2八ijj17349829572642937-1“、2”一P(124)2591.385,Q1286.092,R293726C11SeRQ1650.908,SeSe16.509100C-f一八c1c-SAQP694.707,SASA6.947100方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配

25、料误差6.94716.5093222.3130.7273.18总和23.45625因为F3.184.82F0.01(3,22),故不显著3.在单因素试验方差分析模型式(9.2)中，i是未知参数(i1,2,|,m),的点估计和区间估计.解因为XiN(i,2),所以i的点估计为？Xi,i1,2,|,m.22由定理9.1知Se/(nm),再由定理6.1知Xi与s2Xi 与 s2,S2j”,Sm 独1 ni-2,(XjXi)相互独立，又由Xj独立，知ni1j1m_从而Se(ni1)S2与Xi独立，又i1(Xii卜n!LN(0,1)由t分布的定义知(Xii)ni、t(nm)/Se其中SeSe/(nm)对

26、于给定的，查t分布表求出临界值t/2(nm),使在上式括号内将i暴露出来得i在置信度1下的置信区间Xit/2（nm）,Xit/2（nm）I:nini4.在单因素试验方差分析模型式（9.2）中， 2是未知参数，试证一J是2的无偏估计，且 n m2的1 下的置信区间为SeSe2,2./2（nm）i/2（nm）222一证：因为Se/（nm）,所以E（Se/）nm,即ESe（nm）2于是ESe故一二是2的无偏估计；nm22因为Se/（nm）222所以对于给定的，查分布表求出临界值/2（nm）和i/2（nm）使得P（i2/2（nm）S22/2（nm）1式中将2暴露出来得P故2的置信度为1a22/2（n

27、m）下的置信区间为Se12 /2（n m）证毕SeSe,2/2（nm）1/2（nm）5.验证式(9.24)的解a, b能使Q(a,b)(xi 1a bxi )2达到最小值.证：a, b是函数 Q(a,b)(yii 1a bxi )2的驻点.而QQ nA < 2n, B 2Xi , C2aa b i i2Qb2n2Xi2i 1nAC B2 4 n Xi2Xi由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故0,而 A 0, C 0所以(a, a, b能使Q(a,b)达到最小值是Q(a,b)的极小点,6 .利用定理9.2证明，在假设 Ho :b0成立的条件下，统计量b -t SLxx-t(n 2)并

28、利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(0.01)证：因为 b N(b,)所以 bbTLx N (0, 1) Lxx'一b 在Ho :b 0成立的条件下 一jLxxN(0, 1)(n 2)S2222(n 2)由t分布的定义知证毕今利用t统计量检验归方程的显著性.,b27.156c-CtLxx-6.0566.133Sxx118.734对于给定的0.01查t分布表得临界值t0.01(10)2,7638.因为t6.1332.738to,o1(10),所以回归方程显著.7 .利用定理9.2证明回3系数b的置信区间为t t /2(n 2), ,'Lxx5 t /2(n 2)Lxx并

29、利用这个公式求9.2中例1的回归系数b的置信区间(置信度为0.95).解由定理9.2知bbt三。Lxxt(n2)对于给定的，查t分布表求出临界值t/2(n2),使P t/2)-S- Lxxt /2(n 2)1在上式的大括号内，将 b暴露出来得Pb t/2(n 2) S_ b ,'Lxxt/2(n 2)故b的置信度为1下的置信区间为1 t/2(n 2) S ,.Lxxt t /2(n 2)-= , Lxx证毕27.156n12,S10.897,Lxx6.056to.o25(10)2.228.所以b的置信度为0.95下的置信区间为(17.291,37.021)8 .在钢线碳含量x(%)对于

30、电阻y(20C时，微欧)效应的研究中，得到以下的数据x0.010.300.400.550.700.800.95y1518192122.623.826设对于给定的x,y为正态变量，且方差与x无关.9 1)求线性回归方程yabx;(2)检验回归方程的显著性；(3)求b的置信区间(置信度为0.95);(4)求y在x0.50处的置彳言度为0.95的预测区间.解我们用下表进行计算序号xy2x2yxy10.10150.012251.520.30180.093245.430.40190.163617.640.55210.302544111.5550.7022.60.49510.7615.8260.8023.

31、80.64566.4419.0470.95260.902567624.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.770.543,720.77Lxx27x 2.595 2.064 0.531,Lyy2-7y 3104.23019.75 84.45,LxyX yi 7xy85.6178.947 6.663,Lxy 12.55, Lxxbx 13.95,所以回归方程为13.95 12.55x.其中 UjLxy,Q Lyy U, Q查F分布表求出临界值F0.01(1,5)Q.n 216.62因为 F 503.61 16.62%.01(1,5),我们用方差分析表来检验回归方程

32、的显著性方差分析表方差来源平方和自由度均方F值回归U83.621U83.62U503.61Q乘U余Q0.8315Q0.166总和Lyy84.456所以回归方程高度显著此处(3)由第7题知，b的置信度为11t/2(n2).Sxx,12.55,n7,下的置信区间为，St/2(n2).Lxx20.05,t0.025(5)2.5706,S(LyyLxy)/(n2)0.166.所以b的置信度为0.95下的置信区间为(11.112,13.987)(4)n7,X0.53,Lxx0.531,s0.407,t。.2.5706,x00.50.(Xo)t/2(n1)Sj11(x0,JnLxx1(0.50.543)2

33、2.57060.407.11.1270.531y013.9512.550.520.225故y在x0.50处的置信度为0.95的置信区间为(y0(0.5),y0(0.5)(19.105,21.345)9.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，对不同的温度t：C测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量Y的观测值如下：ti0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1从理论知Y与t满足线性回归模型式(9.20)(1)求Y的回归方程；(2)检验回归方程的显著性(0.01);(3)求Y在t25c时的预测区间(置信度为0.95).解计算表如下序

34、号tiyiti22yitiyi1066.704448.8902471.0165041.0028431076.31005821.6976341580.62256496.36120952185.74417344.491799.762992.98418630.412694.173699.912969980.013596.4851113.6260112904.965793.6968125.1462415560.018506.8234811.81014476317.8224646.6F26,y90.29Lttti29产1014460844060,i19Ltytiyi9fy24646.621106.835

35、39.8,i19Lyyyi29y276317.8273224.363093.461 1bLty0.87187,aybt67.5313,LttS2(LyybLty)/71.0307,S1.0152(1) Yt的回归方程为y67.53130.87187t;(2)方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值回归3086.2513086.253086.25剩余7.2171.031.03总和3093.468=2996.36查F分布表求出临界值Fo.oi(1,7)12.25因F2996.3612.25F.。7),故方程高度显著(3) 1067.53130.871872589.3281(25) t/2(n2)S小-(t0t)nLtt2.36461.01521.052.53Y在t25c时的置信度为0.95下的预测区间为(y°(25),y°(25)(86.79,91.85).10 .某种合金的抗拉强度Y与钢中含碳量x满足线性回归模型式(9.20)今实测了92组数据(Xi,yi)(i1,2,|,92)并算得X0.1255,y45.798