《概率论与数理统计》学习笔记

1、概率论与数理统计（10）第3章多维随机变量在实际问题中常需要同时考虑两个或两个以上的随机变量。例如，为研究某一地区学龄前儿童的身体发育情况，对该地区的儿童进行抽查，对每个儿童都能观察他的身高、体重等身体指标。又如，当一个确定的正弦信号经过信道随机干扰后，输出信号的振幅、相位和角频率都是随机变量。3.1 二维随机变量及其分布一、联合分布函数定义3.1.1设随机试验E的样本空间为小对下每一个样本点3£有日个实数与之对应，则称它们构成的有序组.兀）称为维随机变量，或称”维随机向量.前述儿童身体健康抽样试验中.样本空间为o=该地区的全体儿童，记儿童们的身高为"和体重为步，则（H,W

2、）构成定义在C上的二维随机变量.由于二维随机变量与门维随机变量没有本质的区别，为讨检简单和便丁一理解起见，下而着重讨论二维随机变量.二维随机变量（K/）中的£7是定义在同一样本空间笈上的随机变量，将它们的分布函数分别记为=P（¥与工1,F<y）=产Yy）.定义3.1.2设（AVF）是：维随机变量是任意实数对.记称二无函数=PXxtYy）（3,1,1）为（.¥，）的联合分布函数:1与的分布函数RJ）和八（?）分别称为（工卜）关丁KF的边缘分布函数.PXx=PXx,Y<+x,ywy)=PX<+oc,ywy),可得联合分布函数与边缘分布函数之间的关系如

3、卜:Fv（X）=limF（y）=litnF（y）.（3.1.2）jj+Xy-*+X若将二维随机变量（X,Y）看成平面上随机点的坐标，则联合分布函数内.”）就是随机点（x,y）落在以（工,广）为顶点，位于该点左下部阴影部分内的概率，如图3J所示.图3. 1分布函数FC”）的几何意义由图3.2不难看出，随机点（X,y）落入矩形I）=（.E,y）：X.xx19y力内的概率为P（v,X0冕2»）1丫=/'（与，先）一/'（"2,）1）一卜工曲»）2）+（Xj,%）.（3.1.3）一维联合分布函数具有以下性质：F（1）F（4,y）分别对%,y单调下降，即有当

4、X）町时，尸（町,y）w/（42,y）对一切y£R成立;当以六时，（算,力）0（%,打）对一切宾仁R成立.（2）对每一个变量r（、,）是右连续的，即有limf（x,y）=".”,y）,对一切ywR成立；limF（x,y）=F（工,%）,对一切工£R成立.（3） /，'（A：,y）是非负有界函数:0W/（X,y）l,llljri有limFCxy）=0,limF（x9y）=0,lim/，（,1）=I.x*-Xy-Xx-»X）,-x（4）对于任意实数X|5，有F（x2y2）一/（2，%）一F（町，2）+F（X，%）0.容易证明以上性质.需指出，若二元函

5、数/，（.、：,）满足上述叫条性质，则一定F存在二维随机变量（x,y）以人工,）为联合分布函数.例3.1.1二元函数F( Xi y );¥ +, + j < 0.具有性质（1）、（2）、（3）,但有1H）-/'XH-1）-K-1,1J斗内-H-l）=l-l-l+0=-h即不满足分布函数的性质（4）,故Zx,y）不是联合分布函数.例3.1.2二维随机变量）的联合分布函数为I-2-T-2-1+2-Jr-Q0,yN0；10，其他，求边缘分布函数3(工)和乙()，以及概率/U<,Yw2,3<¥宅5.解八(#)=lirnm1丫)=J2'一工，lo,H

6、<0.I”)J-2-户0:户1L3J=Imi八J=L+*0,<0.P0<XW2,3<W5)=K2t5)-F(2,3)-M1f5)+Z,3)=(I-2-2-25+27)-(1-2-2-2-3+2-5)-(I-2'1-25+2-6)n维随机变量（&，后，,兀）的联合分布函数定义为仪马*q*X.,）=PX.这11,AW，工位.4.IjrlrIIjNN式中修，工“，阳,是T1个任意实数.由（尤）的联合分布函数,可确定其中任意占个（1wAwQ分量的联合分布函数，称为左维边缘分布函数，例如（X,）=/（X.7V/：A+0C，r/小芯十H）,F%（»,二/（

7、修.招+X，.T/；E+Iu11p-iijI"是（凡,莅，,冗）分别关于£,（4,%）的边缘分布函数.H维联合分布函数有类似了二维联合分布函数的性质.联合分布律定义3.13二维随机变量（K二所有可能取值为有限对或可列无穷对:（町,咒），司=1,2,、记*JJP（A=x-+=y-=ptJ»（/1y=1r2"）（3.1-5）满足以卜条件：£ £心=1，J = I ;=(I)£注0,(itj=1.2,则称（筋y）为二维离散型随机变量.称等式（3.5）为（x,y）的联合分布律.关于（X,Y）的联合分布律，有如下性质:性质3.1.I随

8、机变量（,*）的联合分布函数为收,2=XX心（3.L6）性质3.1.2随机变量X与F的分布律为Ptt=Xj=/t=£1j=I.2,）（3.1.7）j=iP（>=）;）（£=12上C3.I.X）3二i旺证pa=工）=/（tv=x.nu（y=5）i=1=p（u£v.c¥=）j=i=X二=X/%.>=j=i同理Py=EPi-.i.三I人们习惯用表3.1的形式给出二维岗散型随机变吊的联合分布律.表3.1.1FiVSY；嵬x2MiPiiPi/冉i也MiVn.Pa死.Pi-Pi*piP-i外工由表3.1.1可见，将表格中的各行的元素相加，置于最后一列，构

9、成随机变量X的分布律；将表格中各列的元素相加，排在最下一行，构成了随机变量Y勺分布律，通常称为X口Y的边缘分布律*例3.1.3（有放回摸球试验）袋子中装有2只白色球和3只黑色球，现从中有放回地摸球，每次摸一个，用X表示第一次摸出的白球数，用Y表示第二次摸出白白球个数，表3.1.2给出了（X,Y）的联合分布律以及关于X、Y的边缘分布律。衣3.L2有放回摸球01033324-3555551177一二15555532P755例3.1.4（无放回摸球试验）将上例中的试验改为无放回摸球,则（X,Y）的联合分布律，关于X、Y的边缘分布律由表3.1.3给出表3,L3无放回摸球X01化.Q3232545435

10、12321«*54547T3_2_TT根据式（3.1.7）和式（3.1.8），由（X,Y）的联合分布律可以完全确定X、Y的边缘分布律。例3.1.3和例3.1.4中X、Y的边缘分布律都相同，但两个例子却有完全不同的联合分布律。应认识到：二维随机变量的分布不仅与两个分量有关，还与各分量间的联系有关.例3.1.5（二维两点分布）设随机变量（X,Y）的联合分布律如表3.1.4所示，其中0<p<1,称（X,Y）服从二维两点分布，写出（X,Y）的联合分布律.F(.tjy)=P=0；?(afy)=7JAVe,)Wj=Pw=I-p：F(xjv)=尸XW入，W)=/f=I-ptA-(x.v

11、)=PAW1,Wj)=Pm+Jh=I;(M)图3.3综合得(见图工3)r()T工<0或<0：/'"(X,1)=JI-pt()A<I或0Wj<I"WarI，IWi,I忘k三、联合概率密度定义3.1.4二维随机变吊x*,y）的联合分布函数为网上”），如果存在函数Jlx.y）法0.使得对于任意实数C#,y）有(3.1.9)则称（）是连续型的二维随机变量.函数八nr）称为CLD的联合概率密度.类似于一维的情形,联合概率辎度.*,）具有以下性质工（）yuv）o处处成立：凡是满足性质（1）和（2）的二元函数八x,y）必为某个二维随机变量的联合概率密度.（

12、3）若CUR,则有(3. L 10)P（¥）£6）=，支，）,）tIsG（4）随机变量X。的概率密度分别为fl. x, y )( y， x & R(3. 1. I 1 )(3.L12)则称/；（工），（y）为（x,丫）关于x,y的边缘概率密度.因为A(x)=F(x.77F；£+x)/v(x)=Fv(x)=J/Ix»同理可证得公式（3.L12）.oc/(u9v)dvdu例3.1.6已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为小：，）=Ke-0,x>0,y>0；J其他.试求：（1）常数K；(2)(3)(4)边缘概率密度/V（Q；概率”YWX

13、;联合分布函数内4,y）和边缘分布函数色合）.(1)1JI工,y)(kdy=人（1山x|xl4,?故K=2.-+x /1x,y)dy = J Joe"'e 'dy, x > 0；0,x £ 0.2-0,x>0：rO.(3)令(；=(%,“) W.T 8 -+ X=h L(4) /=/( ii9 V)dudv0,(2""'ddu, x > (),y > 0;PyX=P(X,y)eG=p(x,y)(lA(lyG2e-(2lf>)(Lv(ly=LJ其他.八I-r-2¥)(I#>0,y>

14、0i0,其他rl-e-2*(工)=litnh'(XtV)=*J-"(.x>0；其他.可验证有r式G=A（x）.例3L7二维随机变量1.%F）的联合概率密度是+1W%<+x»-x；2xyhIo,其他.求关厂F的边缘概率密度/（Q，并检验所得£（，）是否为概率密度.(hs0W，<112.v/二dxtI与F<+8；2.r-vI。,y<0.1亍，t)y<I；10,v<0.对所有值（见图3.4）,均有J；（y）>0成立，而RA(y)d,v=n图3.4Ocly+-X小'+0乙2y四、二维均匀分布（几何概率）设Gu

15、r、其面积记为s（c）,若二维随机变量（x,y）的联合概率密度为I_S3'0,则称（X,y）在G上服从均匀分布.设是C的子域（uc）,则有p (x,y)w = 1 >df71(3.m3)S(C)3(C)力。的面积此公式表明，若二维随机变量（x,y）在c上服从均匀分布,它落在c的任意域中的概率仅与该r域的面枳有关，面与其位置无关，从血（X,“落在c的等面积子域上的概率保持不变，这正是均匀分布的“均匀”含义.若随机变量X在（”,）上服从均匀分布,对任意（C,/）U（,），有(3. 1. 14)根据式（3.1.13）、（3.1.14）以及类似公式，人们借助于几何度量（长度、面积、体枳等

16、）来计算概率,将这种概率称为几何概率.例3.1.8在时间间隔0,T内的任意时刻，两个不相干的信号都等可能地进入信号接收机,如果当这两个信号进入接收机的时间间隔不大于"则会产生干扰试求信号接收机受到干扰的概率.解以x和y分别表示两个信号进入接收机的时刻，山题设条件知（X,Y）在矩形区域G=（"，尸）：0W70WyW7上服从均匀分布.信号接收机受到干扰的充分必要条件是（x,y）落入I）=（.*,1）：lx-yW/内，根据几何概率公式（3.1.13），如图3.5所示，所求概率为的面积-（71-/）23fV不=（一力例3.1.9在区间-1,2上随机选取两点，其坐标分别记为X和匕求两

17、坐标之和大于1而两坐标之积小于1的概率.解显然二维随机变量（X,y）在矩形（如图3.6）G=（x,y）-10.T02,-1上服从均匀分布，所求概率为/）的Hn枳6的面积S3)=3,；+2f-2J故S10)2?"S(G)-91/<lx="1-+2ln2.x2In26y2飞-1°y”其中D的面枳是Ot77图3.5五、止态分布:维随机变量。r丫）的联合概率密度为/、f心一内尸?/产、叫八i_na卒27TfT,tr2vI-p1_U-pHal工ER*J£R式中Mi,如，er,f£T2rp均为常数,且%>0ttr2>Of-维正态分布.记为（F）;Y（出,吊；出,（rp）.例3.1.10设（X,F）-A（。，1:0,1./即（£11rli爪-y）-_rx）J（【J'42宣/1-p2（1-p）求MF的边缘概率密度%（工）和6。“解炉t工）=卬（苒,）dyJ-茹f+x11-,TXLr,12*2tta/1-p21-）I图3.6(r)2n+2r"We!J(3,1.15)1<p<k