线性代数：第5章 相似矩阵

1、第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。定义1：设为阶方阵，如果存在数和维非0列向量，满足：。则称是方阵的特征值（也称为特征根），是方阵的属于特征值的特征向量。例如矩阵，取，则有 ，所以1，0是的特征值，是分别属于特征值1和0的特征向量。（1）式又可以写成 。即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有。（3）称为方阵的特征方程，求解方程（3）即得矩阵的特征值。称为方阵的特征多项式。 对求出的特征值，代入方程组（2）求解即得属于的特征向量。例1：已知方阵满足 ，证明：的特征值

2、只能为1或。证明：设是的任一特征值，则有非零向量，使得 。两边左乘以，有。又 ，所以 。由于，从而 ，即 。例2：求矩阵的特征值与特征向量。解：因 。所以矩阵的特征值 或 。当时， 。故属于的特征向量为。当 时，。故属于的特征向量为 。§2 相似矩阵定义2：若阶方阵和，存在一个可逆矩阵，使得 。则称矩阵与相似，记为 。对于相似矩阵，有下列性质：1） 任一方阵，它与自身相似；2） 若与相似，则与相似；3） 若与相似，与相似，则与相似；4） 与相似，则 。证明：只证4），因与相似，存在可逆矩阵，使得 。从而 。如果方阵相似与对角形矩阵，则称可以对角化。并非每个方阵均可以对角化，例如矩阵，

3、对任何2阶可逆矩阵，均不能为对角形矩阵。下面给出一般方阵相似对角形的条件。若相似对角形，则有可逆矩阵，使得。记 ，由（4）式可得即 。从而 。由定义知为的特征值，由可逆知为非零向量，且线性无关。所以它是属于的特征向量。以上过程可逆，故存在下面定理。定理1：阶方阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。定理2：方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设是分别属于不同特征值的特征向量，当时，命题成立。设当时命题成立，则当时，设有 （5）式乘以，有再对（5）式两边左乘以，有（6）（7）得。由

4、归纳假设，线性无关。从而 。由于，所以 ，代入（5）式，得 。即 线性无关，故命题成立。从而定理得证。推论1：阶方阵有个不同的特征值，则一定可以对角化。实际计算中，先求出阶方阵的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于，则可以对角化，若向量个数小于，则不能对角化。例3：判别下列矩阵是否可以对角化1） ； 2） 。解：1）。特征值为 ，（二重根）。当 时， ，。当时，所以相似于对角形。取 ，则有 。（2） ，特征值为 （三重根）。 当时，。故不能对角化。例4：已知 是矩阵的一个特征

5、向量。1） 求和对应的特征值。2） 问能否相似对角形。解：1）因是的属于特征值的特征向量，则有。从而 解得 。2）因 ， ，所以特征值（三重根）。又基础解系中仅含一个线性无关的向量，故不能对角化。§3 向量的内积本节讨论的维向量，其分量均在实数范围内。本节的主要结果是把几何空间，中的度量性质推广到维向量空间上。一、 内积定义的子空间中，设有向量 ，。 称 （取列向量时为）为向量与的内积，记为 。定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间。易知，这里的内积是几何空间，中向量数量积的一个推广，容易验证欧氏空间中的向量内积有如下性质：1）；2） （）；3）；4），等号当且仅当时成

6、立。定理3：欧式空间中的任意维向量，有（柯西（Cauchy，法，17891857）不等式）。证明：取，由性质4），则有。i)若，不等式显然成立。ii)若，（5）式化简为。左边是一个关于的实二次多项式，它非负的充分必要条件是：，即 。从而定理得证。 对于欧氏空间把（6）式具体写出来，其结果是历史上一个著名的不等式：。定义3：设，称为向量的长度（也称为向量的模或模长）。当时， 称为单位向量。当时，为单位向量，称之为非零向量的单位化。由不等式（6）可得：。定义4： 定义（）， 称为向量与的夹角。当时，称与正交。特殊地，0向量与任何向量正交。二、 标准正交基欧式空间中一组不含零向量且两两正交的向量组称

7、为正交组。易得：性质1：正交向量组一定线性无关。证明：设是正交组。设有，两边与作内积，从而 。因 ，所以。即线性无关。定义5：如果中的一个正交组构成的一个基，则称该基为正交基，正交基中每个向量如果均为单位向量，则称该基为单位正交基或标准正交基。例如中，是标准正交基。在欧式空间中用标准正交基来讨论问题比较方便，下面给出欧式空间中标准正交基的一种构造方法。定理4：欧式空间一定存在正交基。证明：设是的一个基。记，取，则与等价。若要求，则有 ，从而 。此时 为的一个基。类似地，取，若要求，则有，从而 （）。此时 为的一个基。按此方法递推做下去，设已作出正交组与等价，令，若要求（）。则有 ，从而。如此进

8、行下去可构造出的一个正交基，再将每个单位化即得的一个标准正交基。定理中构造正交基的方法称为施密特正交化。例5：求齐次线性方程组的基础解系，并求解空间的一个标准正交基。解：方程组的一个基础解系为：，即为解向量空间的一个基。记 ，则 为解空间的一个正交基。单位化得 ，则为解空间的标准正交基。三、 正交矩阵阶实方阵，如果满足，称为正交矩阵。例如单位矩阵和均为正交矩阵。正交矩阵有下列性质：1） 正交矩阵可逆，逆矩阵仍是正交矩阵，且；2） 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；3） 正交矩阵的转置仍是正交矩阵，且有；4） 设是正交矩阵，则为正交矩阵。以上性质直接验证即可。定理5：正交矩阵的行（列）向量组构成的一个

9、标准正交基。反之亦真，即：的任一标准正交基按行（列）的形式可构成正交矩阵。证明：由正交矩阵的定义及标准正交基的定义可直接验证。读者自己练习。§4 实对称矩阵的对角化上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵 实对称矩阵。记表示向量中每个分量取其共轭复数所构成的向量，为矩阵中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵，容易验证 。性质2：实对称矩阵的特征值为实数。证明：因是实对称矩阵，所以。设是的特征值，则有向量，使得 ，从而。考虑 ，一方面 ；另一方面， 。所以 。又 ，从而 。 即 为实数。性质3：设，是实对称矩阵的两个不同特征值，是分别属于，的特征向量，则与正交。证

10、明：由假设 ，（），考虑 ；又 。从而 。即 与正交。定理6：任一实对称矩阵一定存在正交矩阵，使得 。这里是的特征值。证明：时，命题成立。设时命题成立。即对阶实对称矩阵有正交矩阵，使得。下面证明在时命题也成立。由性质1，实对称矩阵一定存在实的特征值，取是属于的单位特征向量，将扩充成的标准正交基 ，记 ，则 ，从而。由对称，可得对称。从而 ，仍为阶对称矩阵。由归纳假设存在正交矩阵，使得 。令，则 正交，且 。实际计算中，对每个不同的特征值，求出它们线性无关的特征向量，再进行施密特正交化得到正交向量组。合并这些单位化了的正交向量组可构成的标准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为，则有。

11、例6：设 ，求一正交矩阵，使得 为对角形。解：，特征值为 ，（二重根）当时，。单位化得 ；当时， ，。它为正交向量组，单位化得，。取，则正交，且有。例7：已知三阶实对称矩阵有两特征值，（二重根），属于的特征向量为，求。解：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，设属于的特征向量为，则正交，即。该齐次线性方程组对应的基础解系为：，。取 ，则 。 。习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 1）；2）；3）；4）。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。2. 已知方阵满足，求的所有可能的特征值。3. 设是的特征值，证明： 1）是的特征值，（为正整数）是的特征值； 2）设是多项式，则是的特征值；

12、3）如果可逆，则是的特征值。4. 设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。5. 如果方阵可逆，证明矩阵和相似。6. 设与相似，与相似。证明与相似。7. 计算，其中。8. 求，的值，使得矩阵与相似，其中，。9. 证明： 1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 1） ，2） 。11. 设为正交矩阵，证明：1）与为正交矩阵；2）为正交矩阵。12. 在中，求一单位向量与向量正交。13. 求正交矩阵，使得为对角形：1） ； 2）。14. 设3阶方阵的特征值为1，2，3；对应的特征向量为，。求矩阵。15. 设3阶实对称矩阵的特征值为6和3（二重根）。属于