线性代数：行列式(2)(3)

1、 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的. .它们都是代数式。它们都是代数式。对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa回顾11112112212212122aaa aa aaa(12)(21)11221221( 1)( 1)a aa a 1.31.3 n n 阶行列式的定阶行列式的定义义观察二阶行列

2、式和三阶行列式观察二阶行列式和三阶行列式: :2 二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和元素乘积的代数和. . 两个元素的乘积可以表示为两个元素的乘积可以表示为1212jja aj1j2为为2级排列级排列, , 当当j1j2取遍了取遍了2级排列级排列(12, 21)时时, , 即得到二阶行列式的所有项即得到二阶行列式的所有项( (不包含符号不包含符号), ), 共共为为2!=2项项. .3数数时时取取负负号号。为为偶偶数数时时取取正正号号，为为奇奇当当)(21jj 4,3122133321123223113221133123123322

3、11aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa说明说明（1 1）三阶行列式共有）三阶行列式共有6 6项，即项，即3!3!项项（2 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积乘积（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa3121 12, 322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为1321 01, 偶排列偶排列奇排列奇排列,负号负号 5(123)(231)(312)11223312233

4、1132132( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321)(132)(213)132231112332122133( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 1 2 3123()123( 1)j j jjjja aa6333231232221131211aaaaaaaaa每一项的符号是每一项的符号是, , 当这一项中元素的当这一项中元素的行标行标按按自然自然数顺序数顺序排列后排列后, , 如果如果对应的列标对应的列标构成的排列是构成的排列是偶偶排列排列则取则取正号正号, , 是是奇排列奇排列则取则取负号负号. . 如在上述二如在上述二阶行列式中阶行列式中, ,

5、 当当 为偶数时取正号为偶数时取正号, , 为奇数为奇数时取负号时取负号; ; 在上述三阶行列式中在上述三阶行列式中, , 当当 为偶数时取正号为偶数时取正号, , 为奇数时取负号为奇数时取负号. .根据这个规律根据这个规律, , 可给出可给出4 4阶行列式的定义：阶行列式的定义：(1)(1)四阶行列式共有四阶行列式共有2424项，即项，即4!4!项项 (2)(2)每项都是位于不同行不同列的四个元素的乘每项都是位于不同行不同列的四个元素的乘积积(3)(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的四每项的正负号都取决于位于不同行不同列的四个元素的下标排列个元素的下标排列( (见表见表) )7),(

6、21jj ),(321jjj 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa1 2 3 41234()1234( 1)j j j jjjjja aaa89(1324)(1342)1123324411233442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1234)(1243)1122334411223443( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1423)(1432)1124324311243342( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2134)(2143)1221334412213443( 1)( 1)NN

7、a a a aa a a a (2314)(2341)1223314412233441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2413)(2431)1224314312243341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3124)(3142)1321324413213442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3214)(3241)1322314413223441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3412)(3421)1324314213243241( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4123)(4132)14213243

8、14213342( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4213)(4231)1422314314223341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4312)(4321)1423314214233241( 1)( 1)NNa a a aa a a a 定义定义 用用n2个元素个元素aij(i,j=1,2,n)组成的记号组成的记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为称为n阶行列式阶行列式, , 其中其中横排横排称为称为行行, , 纵排纵排称为称为列列. . 它表示所有可能取自它表示所有可能取自不同的行不同的列不同的行不同的列的的n n个元素乘积的个

9、元素乘积的代数和代数和, , 各项符号是各项符号是: (: (接后接后) )10由此由此, , 可给出可给出n阶行列式的定义：阶行列式的定义： 当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, , 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, , 是是奇排列则取负号奇排列则取负号. . 因此因此, , n阶行列式所表示的代数阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为和中的一般项可以写为: :1 212()12( 1)nnj jjjjnja aa(1.3) 其中其中 j1j2jn 构成一个构成一个n级排列级排列, , 当取遍所有当

10、取遍所有n级排列时级排列时, , 则得到则得到n阶行列式表示的代数和中所有阶行列式表示的代数和中所有的项的项. .即：即：11 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1( 一阶行列式一阶行列式|a|就是就是a. .行列式有时简记为行列式有时简记为|aij|由定理可知由定理可知: : n阶行列式共有阶行列式共有n!项项, , 且冠以正号的项和冠以负号的项且冠以正号的项和冠以负号的项( (不不算元素本身所带的负号算元素本身所带的负号) )各占一半各占一半. .12说明说明1. 行列式是一种特定的算式，它是根据求行列式是一种特定的

11、算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，要注意它的组的需要而定义的，要注意它的行数行数等于等于列数列数; ;2. n阶行列式是阶行列式是n!项的项的代数和代数和; ;3. n阶行列式的每项都是位于不同行、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列不同列n个元素的乘积个元素的乘积; ;4. 一阶行列式一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆; ;13.)1( 5.)(212121nnjjjnjjjaaa 的符号为的符号为例如, 四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaa

12、aaDaaaaaaaa所表示的代数和中有4!=24项.例如, a11a22a33a44项取正号, a14a23a31a42项取负号, 而a11a24a33a44不是D的一项.14若若 j1 4 a1j1=0，所以所以 j1只能等于只能等于4, , 例例1 1计算行列式计算行列式0004003002001000分析分析解解: :展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 a1j1a2j2a3j3a4j4同理可得同理可得2343,2,1jjj150004003002001000432111 2 3 4 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2计算计

13、算 上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa0002221121116分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是1212.njjnja aa,njn11,njn3213,2,1,njnjj所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211(123)1122( 1).nnna aa 解解: :.2211nnaaa17例例3 3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 18同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000

14、.2211nnaaa 19n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明行列式行列式20n 2112112,111n nnnna aa .12121nnn 证明证明: : 第一式是显然的第一式是显然的, ,下面证第二式下面证第二式. .若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕21 上上( (下下) )三角形行列式及对角形行列式的值三角形行列式及对角形行列式的值, , 均等于主对角线上元素的乘积均等于主对角线上元素的乘积. .这一结论在以这一结论在以后行列式计算中可直接应用后行列式计算中可直接应用. .这些结论应该记住，记忆是

15、非常重要的。这些结论应该记住，记忆是非常重要的。 由行列式的定义不难得出由行列式的定义不难得出: : 一个一个行列式若有一行行列式若有一行( (或一列或一列) )中的元素皆中的元素皆为零为零, , 则此行列式必为零则此行列式必为零. .22例例5 5 用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式0101101001000011解解: : 第第3行只能取第行只能取第2列列, , 第第1行就只能取第行就只能取第4列列, , 第第4行只能取第行只能取第3列列, , 第第2行只能取第行只能取第1列，所以，列，所以，(4123)=3, , 因此行列式取值因此行列式取值-1. .23 1. 1. 一个排列

16、中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法小结24 nnnjjjnjjjjjjaaaD21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaaD21212121)()1( nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1( 已知已知 1211123111211xxxxxf 求求x3的系数的系数. .25思考题解答思考题解答解解: :含含x3的项有两项的项有两项, ,即即 1211123111211xxxxxf 对应于对应于1243112234431a a a a (1234)11223

17、3441a a a a26(1234)3112233441,a a a ax124331122344312a a a ax 故故x3的系数为的系数为-1. .27排列逆序逆序数奇偶性1 2 3无0偶排列1 3 2321奇排列2 1 3211奇排列2 3 121, 312偶排列3 1 231, 322偶排列3 2 121,31,323奇排列表1-1排列逆序逆序数奇偶性1 2无0偶排列2 1211奇排列返回28排列排列逆序逆序逆序数逆序数奇偶性奇偶性1 2 3 4无无0偶排列偶排列1 2 4 3431奇排列奇排列1 3 2 4321奇排列奇排列1 3 4 232,422偶排列偶排列1 4 2 3

18、42,432偶排列偶排列1 4 3 243,42,323奇排列奇排列2 1 3 4211奇排列奇排列2 1 4 321,432偶排列偶排列2 3 1 421,312偶排列偶排列2 3 4 121.31,413奇排列奇排列2 4 1 3 21,41,433奇排列奇排列2 4 3 121,43,41,314偶排列偶排列返回29排列排列逆序逆序逆序数逆序数奇偶性奇偶性3 1 2 431,322偶排列偶排列3 1 4 231,32,423奇排列奇排列3 2 1 432,31,213奇排列奇排列3 2 4 132,31,21,413偶排列偶排列3 4 1 231,32,41,424偶排列偶排列3 4 2

19、 1 32,31,42,41,215奇排列奇排列4 1 2 341,42,433奇排列奇排列4 1 3 241,43,42,324偶排列偶排列4 2 1 342,41,43,214偶排列偶排列4 2 3 1 42,43,41,21,315奇排列奇排列4 3 1 243,41,42,31,325奇排列奇排列4 3 2 143,42,41,32,31,216偶排列偶排列返回30当当n 4时时, , 用定义计算用定义计算n阶行列式将是十阶行列式将是十分复杂甚至是不可能的分复杂甚至是不可能的. . 下面将讨论行下面将讨论行列式的性质列式的性质, , 并用这些性质来简化行列并用这些性质来简化行列式的计算

20、式的计算. .( (证明不重要证明不重要, , 但必须记住以下所述的性质但必须记住以下所述的性质及其推论并用它们来计算行列式及其推论并用它们来计算行列式) ) 1.4 n 阶行列式的性质及计算31一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. .即把行列式即把行列式D中的中的行与列按原顺序互换行与列按原顺序互换( (第第1行换成行换成第第1列列, ,第第2行换成第行换成第2列列,，以此类推，直到最后，以此类推，直到最后一行）以后得到的行列式，称为一行）以后得到的行列式，称为D的转置行列式，的转置行列式，也可记为也可记为D . . 记记nnaaa

21、2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa221132 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .如如D 123456789则则D 123456789如如1112131411213141212223241222324231323334132333434142434414243444aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa33 TD证明：证明：的转置行列式的转置行列式记记 D=,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即按定义按定义 又因为行列式又因

22、为行列式D可表示为：可表示为：ija故故.TDD 证毕证毕34 njjjjjjnjjjjjjTnnnnaaabbbD21)(21)(21212121)1()1( njjjjjjnnaaaD21)(2121)1( 互换互换行列式的两行（列）行列式的两行（列）, ,行列式行列式变号变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行列式中行行与与列列具有具有同等的地位同等的地位, ,因此行列因此行列式的性质凡是对式的性质凡是对行行成立的对成立的对列列也同样成立也同样成立. .是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ,ijDaj

23、i,即当即当 时时, ,jik, ;kpkpab 当当 时时, ,jik, ,ipjpjpipabab 35于是于是1111ijnpipjpnpDbbbb其中不计符号，任取其中一项36,)1()(1njipppp)(1njipppp,11njinpjpippbbbb它是来自 的不同行不同列 个元素的乘积，因为 和 只是互换两行的元素，所以这一项也是 的一项，反之亦然.该项在 中的符号为 而在中的符号为,)1()(1nijpppp由定理可知这两个符号相反，由于该项选取的任意性可知：1Dn1DDD1DD.1DD证毕证毕,) 1(11njinpipjppaaaa又如又如,571-571266853.

24、825-825361567567361266853注：注：1.1.以后用记号以后用记号rirj表示第表示第i行和第行和第j行对换；行对换；而用记号而用记号cicj表示第表示第i列和第列和第j列对换。列对换。这里这里r是英文是英文row( (行）的第一个字母；行）的第一个字母；而而c是英文是英文column( (列）的第一个字母。列）的第一个字母。 2. 2.以后遇到以后遇到互换两行或两列互换两行或两列要记得要记得行列式变号行列式变号。23rr12cc例如例如34256 5623437说明：说明：某些教材中两行某些教材中两行( (或两列或两列) )互换用箭号表示，互换用箭号表示，如上例中如上例中

25、,571-571266853.825-82536156756736126685338例：求行列式例：求行列式1000002000000400030000005的值。的值。解：解：100000200000040003000000543rr-10000020000030000040000055!120 此为对角形行列式。此为对角形行列式。对角形行列式的值等对角形行列式的值等于主对角线上元素的于主对角线上元素的乘积乘积39推论推论 如果行列式有如果行列式有两行（列）两行（列）完全相同完全相同，则，则此行列式为此行列式为零零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 所谓所谓

26、两行两行( (或列或列) )相同相同指的是指的是两行两行( (或列或列) )元素对应都相等元素对应都相等如如11111314212123243131333441414344aaaaaaaaaaaaaaaa01111212131314141aaaaaaaa11121314212223242122232441424344aaaaaaaaaaaaaaaa21222324aaaa21222324aaaa040 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式. .nnnniniinaaakakakaaaa2121112

27、11注：以后用注：以后用kri表示表示k乘第乘第i行；行；而用而用kci表示表示k乘第乘第i列。列。111211212niiinnnnnaaaaaaaaakkkk41行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有元素的公（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面例如例如21 r1320111232 第第 i 行（或列）提出公因子行（或列）提出公因子 k ，记作，记作 rik(cik)。132011246 312321642 21 r1232 123213042推论推论2 2行列式中如果有行列式中如果有两行两行（列列）元素）元素成比例成比例，则此则此行列式为零行列式为

28、零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 43如如11111314212123243131333441414344akaaaakaaaakaaaakaaa01111212131314141akaakaakaaka11121314212223242122232441424344aaaalalalalaaaaaaaaa21222324lalalala21222324aaaa0又如又如12452335663736121549343535033145783131155847

29、53501412541683000040123010044问题：问题：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按子，那么按性质性质3 3推论推论1 1应如何应如何取？取？ 答案：答案：按顺序将公因子提出，如按顺序将公因子提出，如 1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdkabcdabcd行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外以提到行列式符号

30、的外面面45例 计算行列式2413635104D解解: : 因为第一列与第二列对应元素成比例因为第一列与第二列对应元素成比例, ,根据根据性质性质3 3的推论的推论2 224136305104D行列式中如果有行列式中如果有两行两行（列列）元素）元素成比例成比例，则此，则此行行列式为零列式为零得得46例 若四阶行列式 D4 = |aij|=m, ,则则D= |3aij|=?分析：分析：D4 = |aij|11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa111213142122232431323334414243443333333333333333a

31、aaaaaaaaaaaaaaaD= |3aij|解：解：根据根据性质性质3 3的推论的推论1 1从行从行( (或列或列) )看，每行看，每行( (或每列或每列) )都存在公因子都存在公因子3 3，因此可以分别提出来，共有，因此可以分别提出来，共有4 4个因子个因子3 3。D= |3aij|=34 |aij|=81m行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外以提到行列式符号的外面面得得47特别地，若 阶行列式48ijaD 则DkkaDnij1n性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.

32、 .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如49由行列式定义由行列式定义, , 性质性质4显然成立显然成立. . 此性此性质说明行列式中某一行质说明行列式中某一行( (列列) )的元素均是的元素均是两数之和时两数之和时, , 该行列式就可按此行该行列式就可按此行( (列列) )拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和. .例如例如axbycdadbcxdcyab

33、xycdcd50又如又如wdzcybxa .wzyxdzbxwcyadcba wdzybxwdcyba 51例例 如果三如果三阶行列式D3 = |aij|=m, ,求行列式求行列式D的值：的值：111112132121222331313233aaaaDaaaaaaaa解：解：D 111113111213212123212223313133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa性质性质4 40111213212223313233aaaaaaaaa第一行和第一行和第二行相第二行相同同, ,据性质据性质2推论，此推论，此行列式为行列式为0第二列存在公因第二列存在公因子子(-1), ,据性质

34、据性质3推论推论2，可以把，可以把(-1)提出来提出来m 注：注：此例说明了在计算行列式时，性质的运用不是孤立的。此例说明了在计算行列式时，性质的运用不是孤立的。52推论推论 如果将行列式某一行如果将行列式某一行( (列列) )的每个元的每个元素都写成素都写成m m个数个数( (m m为大于为大于2 2的整数的整数) )的和的和, , 则则此行列式可以写成此行列式可以写成m m个行列式的和个行列式的和. .例例axvbyucdadbcxdcyvdcuabxyvucdcdcd53性质性质5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一数同一数然后加到然后加到另一列另一列

35、( (行行) )对应的元素上去，对应的元素上去，行行列式值不变列式值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如54注：以后用注：以后用rj+kri表示用比例表示用比例k乘第乘第i行的各个元素行的各个元素并加到第并加到第j行的相应元素上行的相应元素上( (特别地，当特别地，当k=-1时表示时表示rj - ri ，而，而k=+1时表示时表示rj + ri ) )； 而用而用cj+kci比例比例k乘第乘第i列的各个元素并加到第列的各个元素

36、并加到第j列的相应元素上。列的相应元素上。 ( (特别地，当特别地，当k=-1时表示时表示cj - ci ，而而k=+1时表示时表示cj + ci ) )例如例如dbdcba 12rrdbca又如又如458892046889201910001921cc458892010000019100000458890100000从此例说明从此例说明运用行运用行列式的性质可以简列式的性质可以简化行列式的计算化行列式的计算55复习 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 互换互换行列式的两行（列）行列式的两行（列）, ,行列式行列式变号变号. .推论推论 如果行列式有如果行列式有两行（列）

37、两行（列）完全相同完全相同，则此，则此行列式为行列式为零零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式. . 行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有元素的公因（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面推论推论2 2 行列式中如果有行列式中如果有两行两行（列列）元素）元素成比例成比例，则此则此行列式为零行列式为零56复习性质性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和, ,则则D可以写成两个行列式之和可以写成两个行列式之和.

38、.性质性质5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一数同一数然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )对应的元素上去，对应的元素上去，行行列式值不变列式值不变推论推论 如果将行列式某一行如果将行列式某一行( (列列) )的每个元素都写的每个元素都写成成m个数个数( (m为大于为大于2的整数的整数) )的和的和, , 则此行列式可则此行列式可以写成以写成m个行列式的和个行列式的和. .57 我们知道我们知道三角形行列式的值就等于主对角三角形行列式的值就等于主对角线上的各元素乘积线上的各元素乘积。11121222000nnnnaaaaaa1122nna aa 因此

39、，计算一般的行列式时因此，计算一般的行列式时, , 常多次运用行常多次运用行列式的性质列式的性质, , 把它把它化为三角形行列式来计算化为三角形行列式来计算. .11212212300000nnnnnaaaaaaa 1122nna aa58(1)1233213rr12031 ( 3)3 (2)021312rr13021 22 具体如何操作呢？我们先来看几个二阶和三具体如何操作呢？我们先来看几个二阶和三阶行列式化为上三角行列式的例子。阶行列式化为上三角行列式的例子。第一列第一个元素为第一列第一个元素为0，可以运用，可以运用性质性质2进进行换行。行换行。互换互换行列式行列式的两（列）的两（列）,

40、,行列式行列式变号变号. .性质性质5 5：把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一数乘以同一数然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )对应的对应的元素上去，元素上去，行列式值不变行列式值不变59110011121D31rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 注意第一行第一列注意第一行第一列元素非元素非0 0，不用换行，不用换行(3)60011110121D注意第一行第一列元素为注意第一行第一列元素为0 0(4)由于第一列第一个元素为0，因此必须换行，可以与第二行换也可以与第三行换，得到的结果将是相同的.我们分别计算如下：61法

41、法1 112rr11001112131rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 011110121D62法法2 213rr21rr01210111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 011110121D121110011答案与法答案与法1 1同！同！63注：注： 1.由于r2与r3的第一个元素均为非0，因此不管r1与哪行换均是可以的；但是有时候要注意换上去的行的数字要尽量简单点，尽量换上含数字绝对值较小的但又没有出现分数的;2.换行时要变号.64 总结以上各例，我们得出一般行列式化总结以上各例，我们得出一般行列式化为为上三角形行列式上三角形行列

42、式的步骤是的步骤是: : 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行, , 使第一列除第一个元素外其余元素全为使第一列除第一个元素外其余元素全为0 如果第一列第一个元素为如果第一列第一个元素为0, , 先将第一行与其先将第一行与其它行交换它行交换, , 使第一列的第一个元素不为使第一列的第一个元素不为0（换行换行时，注意行列式外加一个负号时，注意行列式外加一个负号）; ;（性质性质2 2：rirj）（性质性质5 5: : rj+kri）互换互换行列式的两行列式的两（列）（列）, ,行列式行列式变号变号. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行

43、）的各元素乘以同一数乘以同一数然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )对对应的元素上去，应的元素上去，行列式值不变行列式值不变65再用同样的方法处理除去第一行和再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式第一列后余下的低一阶行列式; ; 依次作依次作下下去去, , 直至它成为上三角形行列式直至它成为上三角形行列式, , 这时这时主主对角线上的元素的乘积就是行列式的值对角线上的元素的乘积就是行列式的值. .注：注：如果第一列第一个元素不为如果第一列第一个元素不为0 0，就，就不用换行；在考查低一阶行列式的时候不用换行；在考查低一阶行列式的时候方法同上，也要对第一列第一个元素为方法

44、同上，也要对第一列第一个元素为0 0的行进行换行的行进行换行, ,方法与以上同。方法与以上同。66例例 计算行列式计算行列式0112110212102110D注意第一行第一列元素为067解解: :0112110212102110D12rr110201121210211031412rrrr110201120112031432423rrrr1102011200240022681102011200240022D 43rr1102011200240002469 注意：也可把行列式化为下三角行列式来计注意：也可把行列式化为下三角行列式来计算。算。步骤是步骤是： 然后把第一列分别乘以适当的数加到其它各列然

45、后把第一列分别乘以适当的数加到其它各列, , 使第一行除第一个元素外其余元素全为使第一行除第一个元素外其余元素全为0 ； 如果第一行第一个元素为如果第一行第一个元素为0, 0, 先将第一列与其先将第一列与其它列交换它列交换, , 使第一行的第一个元素不为使第一行的第一个元素不为0 0( (换列时，换列时，注意行列式外加一个负号注意行列式外加一个负号）; ;（性质性质2： cicj ）（性质性质5: cj+kci）互换互换行列式的两行列式的两（列）（列）, ,行列式行列式变号变号. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一数乘以同一数然后加到然后加到另一列另一列(

46、(行行) )对对应的元素上去，应的元素上去，行列式值不变行列式值不变70再用同样的方法处理除去第一行和第一再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式列后余下的低一阶行列式; ; 依次作下去依次作下去, , 直直至它成为下三角形行列式至它成为下三角形行列式, , 这时这时主对角线上主对角线上的元素的乘积就是行列式的值的元素的乘积就是行列式的值. .所有的行列式都可以化为上三角行列式所有的行列式都可以化为上三角行列式。因此，一般来说，大部分行列式的计算都先因此，一般来说，大部分行列式的计算都先化为上三角行列式。但是，有时候化为下三化为上三角行列式。但是，有时候化为下三角形行列式更为简

47、便。角形行列式更为简便。下面利用化为下三角形行列式的方法来下面利用化为下三角形行列式的方法来处理上面计算过的一道三阶行列式。处理上面计算过的一道三阶行列式。其他阶行列式类同。其他阶行列式类同。71011110121D13cc11001112121cc10101101332cc0021010132 答案与前同！答案与前同！72并不是化为上三角行列式只能用行并不是化为上三角行列式只能用行变换，也并不是化为下三角行列式只能变换，也并不是化为下三角行列式只能用列变换。其实，不管化为上三角行列用列变换。其实，不管化为上三角行列式或下三角行列式，式或下三角行列式，行变换和列变换都行变换和列变换都可以结合进

48、行可以结合进行。73例例 计算行列式：计算行列式： 2141312112325062分析：分析：虽然第一行第一列元素不为虽然第一行第一列元素不为0，但第一，但第一列元素的数值相对比较大，为了方便计列元素的数值相对比较大，为了方便计算我们可以进行换列算我们可以进行换列( (或行或行) )。分析各行和。分析各行和各列的特点，发现第二列的数值的绝对值各列的特点，发现第二列的数值的绝对值相对小。因此用第二列与第一列进行互换相对小。因此用第二列与第一列进行互换后再进行下一步计算。后再进行下一步计算。74解：解： 214131211232506212cc124113212132056221312rrrr1

49、241056203500562运用上面化为上运用上面化为上三角的方法来处三角的方法来处理低一阶行列式理低一阶行列式的时候出现了困的时候出现了困难难! ! 注意到第二行和第四行相同知注意到第二行和第四行相同知该行列式值为该行列式值为0=0说明：说明： 计算行列式的时候，不管用什么方法来求解都要计算行列式的时候，不管用什么方法来求解都要注意各种方法的灵活运用。注意各种方法的灵活运用。75 前面化为上三角行列式或下三前面化为上三角行列式或下三角行列式只用到了角行列式只用到了性质性质2和和性质性质5。事实上，对于比较复杂的行列式仅用这事实上，对于比较复杂的行列式仅用这两种方法是不够的，需要结合利用行列

50、两种方法是不够的，需要结合利用行列式的其他性质。有些行列式的计算还需式的其他性质。有些行列式的计算还需要结合利用一些技巧。下面，我们将简要结合利用一些技巧。下面，我们将简单地介绍这些技巧。单地介绍这些技巧。互换互换行列式的两（列）行列式的两（列）, ,行列式行列式变号变号. .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同乘以同一数一数然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )对应的元素上去，对应的元素上去，行列式值不变行列式值不变763222232222322223=D例例 计算计算9999232222322223D 11112322922322223法法1 1：分析：各列的元素之和为一定数。：分析：各列的元素之和为一定数