线性代数：行列式(4)

1、 一般说来一般说来, , 低阶行列式的计算比高阶行低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便列式的计算要简便, , 于是于是, , 我们自然地考虑我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题把高阶行列式表示成低阶行列式的问题. . 下下面介绍行列式的另一重要性质面介绍行列式的另一重要性质, , 即行列式按即行列式按行行( (列列) )展开的法则就解决了这一问题展开的法则就解决了这一问题. . 为此为此, , 先引入余子式和代数余子式的概念先引入余子式和代数余子式的概念. .1.5 行列式按某行行列式按某行( (列列) )展开定展开定理理333231232221131211aaaaaaaaa例

2、如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa记：记：2223113233aaMaa2123123133aaMaa2123133132aaMaa称为元素称为元素a11的的余子式余子式，为三阶行列式，为三阶行列式划去划去第一行第一列元素第一行第

3、一列元素后剩下的二阶行列式。后剩下的二阶行列式。称为元素的称为元素的a13的的余子式余子式，为三阶行列式，为三阶行列式划划去第一行第三列元素去第一行第三列元素后剩下的二阶行列式。后剩下的二阶行列式。称为元素称为元素a12的的余子式余子式，为三阶行列式，为三阶行列式划去划去第一行第二列元素第一行第二列元素后剩下的二阶行列式。后剩下的二阶行列式。因此因此222321232123111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Ma Ma M333231232221131211aaaaaaaaa记：记：因此，因此，111112121313a Ma Ma M

4、111112121313a Aa Aa A3111jjja A从上式可以看出，从上式可以看出，三阶行列式三阶行列式等于等于第一行的第一行的所有所有元素元素分别乘上分别乘上它们它们相应的代数余子式相应的代数余子式的的和和。称为元素称为元素a11的代数余子式。的代数余子式。( 1)AMM 1 1111111( 1)AMM 1 2121212称为元素称为元素a12的代数余子式。的代数余子式。( 1)AMM 1 3131313称为元素称为元素a13的代数余子式。的代数余子式。问题：三阶行列式中除了第一行元素外，其它行问题：三阶行列式中除了第一行元素外，其它行的元素有无余子式的和代数余子式呢？而且对于的

5、元素有无余子式的和代数余子式呢？而且对于其他行（列）是否有同样的结果呢？其他行（列）是否有同样的结果呢？ 三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数余子式。三阶行列式中余子式。三阶行列式中去掉第去掉第 i 行第行第 j 列列剩下元剩下元素按素按原来次序原来次序组成的组成的2阶行列式记为阶行列式记为 Mij 称为称为 元元素素aij的的余子式余子式. .而而 Aij =( 1)i+j Mij 称为称为aij的的代数余子式代数余子式。例例 计算三阶行列式计算三阶行列式542303241D解解：03=145)4(523324203123624.72D11111212

6、1313a Aa Aa A还可看出还可看出232322222121AaAaAa3542405221)3(4241+ 0= 84 12 =72 =D,333332323131AaAaAa230244332150341+36= 24+60=72 =D,313121211111AaAaAa154303542423024+84= 12 24=72 =D .以及以及 三阶行列式不仅各元素均存在余子式和代数三阶行列式不仅各元素均存在余子式和代数余子式，而且它均等于某行或某列的所有元素乘余子式，而且它均等于某行或某列的所有元素乘上其对应的代数余子式的和：上其对应的代数余子式的和：33323123222113

7、1211aaaaaaaaa31ijijja A31ijijia A按第按第i行展开行展开( (i=1,2,3) )按第按第j列展开列展开(j=1,2,3)例例 计算行列式计算行列式277010353 D解解: :2 1530 ( 1)72 .27 按第二行展开，得按第二行展开，得2 233( 1) ( 1)72 2 3350 ( 1)77 2 233( 1) ( 1)72 注：注：如果行列式某行或某列如果行列式某行或某列元素只有一个非元素只有一个非0 0，其余元素，其余元素均为均为0 0，则行列式等于该元素，则行列式等于该元素乘以相应的代数余子式。乘以相应的代数余子式。D 例如例如111213

8、14212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 记记 Aij =( 1)i+j Mij 称为称为aij的的代数余子式代数余子式。在在n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列划列划去后，留下来的去后，留下来的n -1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子余子式式，记作，记作Mij问题：对任意问题：对任意n阶行列式是否存在相应的概念呢？阶行列式是否存在相应的概念呢？,44434241343332312423222114131

9、211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA (1)(1)行列式的每个元素分别对应着一个余子式行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式和一个代数余子式. .(2)(2)行列式行列式D的元素的元素aij的余子式的余子式Mij或代数余或代数余子式子式Aij与与D的第的第i行元素和第行元素和第j列元素没有关系列元素没有关系, , 特别与元素特别与元素aij的大小和符号均无关的大小和符号均无关. .注意：注意：

10、定理定理( (展开定理展开定理) ) 行列式行列式D等于它的任意等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和式的乘积之和. . 可以根据行列式的特点，利用行列可以根据行列式的特点，利用行列式式性质性质5 5把把某行某行（列列）化成）化成只含一个非零元只含一个非零元素素，然后按该行（列）展开。处理的过程中，然后按该行（列）展开。处理的过程中尽量选取含尽量选取含0 0比较多的行比较多的行( (或列或列) )或比较好处或比较好处理的行理的行( (或列或列) ) 。展开一次，行列式降低一。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。阶

11、，对于阶数不高的数字行列式本法有效。( (降阶法降阶法) ) 性质性质5 5：把把行 列 式 的行 列 式 的某一列某一列（ 行 ） 的（ 行 ） 的各 元 素各 元 素 乘乘以 同 一 数以 同 一 数然 后 加 到然 后 加 到另一列另一列( (行行) )对 应 的 元对 应 的 元素 上 去 ，素 上 去 ，行 列 式 值行 列 式 值不变不变例例. . 计算计算. 3351110243152113D解法解法1 1：( (直接展开直接展开) )从第一行展开得从第一行展开得D 3351104315342111335142011535132011531 1( 1)1 2( 1)1 1 3(

12、1)( 1) 1 4( 1)2 3=3( 3 + 0 + 15 20 + 3 + 0) (15 24 3 + 4 15 + 18) (0+40 1 0+25+6) 2(0 30+1 0 25 6)= 15 +5 70+120=40.注：注： 化为三阶行列式之后，可以用化为三阶行列式之后，可以用对角线法对角线法则则，或运用行列式的性质，或运用行列式的性质化为三角行列式化为三角行列式，也可以再次运用展开式定理把三阶行列式也可以再次运用展开式定理把三阶行列式降降阶为二阶行列式阶为二阶行列式再计算。再计算。解法解法2 2： ( (先利用行列式的性质把某行或某列化为先利用行列式的性质把某行或某列化为只含

13、一个非只含一个非0 0元素后再用展开式定理元素后再用展开式定理) )处理第三行得处理第三行得511111131001055305111111550. 3351110243152113D13432cccc3 3( 1)1 该行为该行为零元素零元素最多的最多的行行5111111550 411121105011214)5(131120=40.12cc注：可以再次运用注：可以再次运用展开式以达到降阶展开式以达到降阶的目的。的目的。注：该列存在公因子注：该列存在公因子4 4，提取出来以达到简化计提取出来以达到简化计算的目的。算的目的。例例 计算计算n阶行列式阶行列式.000000000000000021

14、2, 11,32,321,2111nnnnnnnnaaaaaaaaaD 解解: : 将行列式按第一行展开，得将行列式按第一行展开，得0000000000)1(22, 11,32,321,21111nnnnnnaaaaaaaD 0000000000) 1(212 , 11, 32, 31, 211nnnnnnnnaaaaaaa 21,32)2)(1(2111)1(nnnnnaaaa 12,31,2)2)(1(2111)1()1(nnnnnnnaaaa 21,3211)2)(1(21)1(nnnnnaaaa 12,31,21)1(21)1(nnnnnnaaaa 例例 计算计算 阶范德蒙德阶范德蒙德

15、(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式)2( nn结果要牢记！结果要牢记！nijjinnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaV11111312112212322212212322211321).(11111推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证: :把行列式把行列式D= |

16、aij |按第按第j行展开，有行展开，有,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 把把ajk换成换成aik (k=1,n), ,可得可得行行第第 j行行第第 i当当ij时，时，).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高

17、阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具. . ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中二、小结二、小结 .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组回顾：引出回顾：引出C Cramerramer法则法则,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 若系数行列式若系数行列式, 0D则方程组解为：则方程组解为： 三元线性方程组三元线性方程组若

18、系数行列式若系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 三、三、CramerCramer法则法则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxa

19、bxaxaxa22112222212111212111)(设含有设含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组一般形式为个方程的线性方程组一般形式为: :其中其中 aij(i,j=1,2,n) 称为称为方程组的系数方程组的系数; ; bj(j=1,2,n)称为称为常数项常数项. .特别地，特别地， bj=0( j=1,2,n) 称为称为n元齐次线性方程元齐次线性方程组组 . .记作记作)(方程数等于方程数等于未知数个数未知数个数由系数由系数aij(i,j=1,2,n)构成的行列式构成的行列式: :Daaaaaaaaannnnnn212222111211nnnnnjjjnnjjjnjaaaaaab

20、bbaaaaaaD2111211211121112111叫做方程组的叫做方程组的系数行列式系数行列式 (j=1,2,n)第第j列列克莱姆（克莱姆（CramerCramer）法则）法则.,2211DDxDDxDDxnn定理定理 如果线性方程组如果线性方程组()式的系数行列式式的系数行列式D0, ,那那么它么它有唯一解有唯一解, ,其解为其解为: :推论推论 若若齐次齐次线性方程组线性方程组()的系数行列式的系数行列式D0 则它则它只有唯一零解只有唯一零解如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组()有非零解有非零解，则它的，则它的系数行系数行列式等于零列式等于零主要在于解主要在于解行列式行列式要先判断

21、系数行列式是否不为0!例例 求一个三次多项式求一个三次多项式 ，使得，使得 )(xf.10)3(, 8)1(,20)2(, 6)1( ffff解：解： 设三次多项式为设三次多项式为.)(012233axaxaxaxf 则有则有: :, 6)1(0123 aaaaf,20248)2(0123 aaaaf, 8)1(0123 aaaaf.103927)3(0123 aaaaf其中其中 看作未知量看作未知量. .0123,aaaa, 024013927111112481111 D,72013102711811220811612 D,2401391011181242011161 D,480110927

22、18111204816113 D,96010392781112024861114 D其系数行列式其系数行列式且有且有: :则则: :. 4, 2, 3, 140312213 DDaDDaDDaDDa例例 用克拉姆法则解方程组用克拉姆法则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 6701215060

23、9115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例 判定齐次线性方程组判定齐次线性方程组1234123412341234230230320230 xxxxxxxxxxxxxxxx是否仅有零解.解解: : 计算系数行列式计算系数行列式1123123131122311D21314132rrrrrr11230114047110157推论：推论： 若齐若齐次线性方程组次线性方程组()的系数行的系数行列式列式D0 ，则它只有唯

24、一则它只有唯一零解零解1530 所以方程组仅有零解所以方程组仅有零解. .11230114047110157D1144711157 21314rrrr1140327063327639 162例 如果齐次线性方程组有非零解, k应取何值?141241241234020(2)40230kxxxxxkxxxxxxkx解解: :013121214kk 00112012104213kDkk如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组()有非零解，则有非零解，则它的系数行列式等于零它的系数行列式等于零15(1)k 如果方程组有非零解如果方程组有非零解, , 则则D=0, , 即即k=1. .013121214kD

25、k 31rr013 121213k232rr013 505213k1355k 13 511k 定理定理( (拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理) ) 设设k是小于是小于n的正整数，的正整数，在在n阶行列式阶行列式D中取定中取定k行（或行（或k列）列）. .元素来自这元素来自这k行（行（k列）所有的列）所有的k阶子式和他们各自的代数余子阶子式和他们各自的代数余子式乘积之和等于行列式式乘积之和等于行列式D. .易知，元素来自取定的易知，元素来自取定的k行的行的k阶子式共有阶子式共有 个，把它们记做个，把它们记做Mi(i=1,2,t), ,并把并把Mi的代数余子的代数余子式用式用Ai来表示，则定理肯定

26、的是来表示，则定理肯定的是ttAMAMAMD2211knCt 例例 证明：证明：2n阶行列式阶行列式21nn2n1nnk2n1nn22221k22221n11211k11211kk2k1kk22221k11211DDcccbbbcccbbbcccbbb000aaa000aaa000aaaD kk2k1kk22221k112111aaaaaaaaaD nn2n1nn22221n112112aacccccccD 其中1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与