微积分课件：2-5 极限存在准则与两个重要极限

1、夹逼准则和第一个重要极限夹逼准则和第一个重要极限小结小结 思考题思考题 作业作业2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续单调有界收敛准则和第二个单调有界收敛准则和第二个重要极限重要极限柯西收敛准则柯西收敛准则2夹逼准则夹逼准则 如果如果)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在, 且等于且等于A.),()1(0o xUx 当当),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x1. 夹逼准则夹逼准则一、一、夹逼准则和第一个重要极限夹逼准则和第一个重要极限2.5 极限存

2、在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限对数列以及其它极限过程也有类似的对数列以及其它极限过程也有类似的夹逼夹逼注注准则准则.3,)( x证证.0的情形证明的情形证明对对xx ),()(),()(xAxhxAxg 其中其中.)(),(0时的无穷小时的无穷小为为xxxx )()(AxfAxf ),(xA 则有则有,)( x, 0, 0 又又,),(0o时时当当 xUx ,)( x所以所以.)( x.)(0时的无穷小时的无穷小为为xxx 可知可知.)(lim0Axfxx 即即AxhAxgxxxx )(lim,)(lim)2(00夹夹逼逼准准则则条条件件无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关

3、系)()()(1)xhxfxg 夹逼准则条件夹逼准则条件的情形自已证明的情形自已证明对于对于 x2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限4例例).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111 nnnn2lim又又, 1 1lim2nnn, 1由由夹逼准则夹逼准则得得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn2因为因为2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限5 注注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简做适当的放大和缩小化简,找出有

4、共同极限值又容易求极限的函数找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x)和和h(x)即可即可.2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限6解解由于由于 以及以及,limaan 夹逼准则夹逼准则.limaxnn a13lim1 aann3 an 3lim ann法一法一法二法二.a.lim, 0nnnnnnnxcbaxcba 求求设设 nnxlimnx nnnacaba 1limn2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限71sinlim0 xxx,sinBDx 于是有于是有,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形作为作为夹逼准则夹逼准则的应用的应用推导推导的面积的

5、面积圆扇形圆扇形AOB.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的的面面积积AOC 的面积的面积AOBxOABDCxxxtan2121sin21 即即设单位圆设单位圆O,在在A处作单位圆的切线处作单位圆的切线,)20( xxAOB圆心角圆心角,BDOAB的高为的高为 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限2. 第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限:8,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夹逼定

6、理夹逼定理该极限的特点该极限的特点:;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形形式式一一致致与与分分数数线线另另一一侧侧的的变变量量1sinlim0 xxx 一般有一般有)(x )(x 0)(x sinlim. 12.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限9xxxtanlim0 xxxxcossinlim0 . 1 20cos1limxxx xxx3sinlim3303330sinlim31 xxx.31 2202sin2limxxx .21 nnn2sinlim nnn22sin2lim . 2 2022sinlim21 xxx例例例例例例例例1sinlim0 xxx1si

7、nlim0 xxx000000002.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限101sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非0 正确正确 xxxsinlim 考研数学考研数学(二二)填空填空, 4分分曲线曲线xxxxycos25sin4 的水平渐近线方程为的水平渐近线方程为51 y解解 xxxxxcos25sin4lim xxxxxcos25sin41lim.512.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限112)(cos1limxxx 求求解解,时时则则 x, 0t故故2)(cos1limxxx 20)cos(1limttt 20cos1limttt .

8、21 20cos1limxxx 21 ,xt 令令2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限12 选择题选择题).(sin1sinlim)1(20的值为的值为xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限13x1x2x3x1 nxnx1. 单调有界收敛准则单调有界收敛准则,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM单调有界单调有界数列必有极限数列

9、必有极限.单调有界单调有界有极限有极限有界有界如果数列如果数列xn满足条件满足条件对数列对数列xn:2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、单调有界收敛准则和二、单调有界收敛准则和第二个重要极限第二个重要极限单调有界收敛准则单调有界收敛准则14(1) 若数列若数列 xn 单调上升有上界单调上升有上界, 即即), 2 , 1(1 nxxnn并存在一个数并存在一个数M使得对一切使得对一切的的 n 有有,Mxn 则数列则数列 xn 收敛收敛.即存在一个数即存在一个数a, 使得使得,limaxnn )., 2 , 1( naxn且有且有(2) 若数列若数列 xn 单调下降有下界单

10、调下降有下界, 即即), 2 , 1(1 nxxnn并存在一个数并存在一个数m使得对一切使得对一切,mxn 即存在一个数即存在一个数a, 使得使得,limaxnn )., 2 , 1( naxn且有且有则数列则数列 xn 收敛收敛.2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限注注的的 n 有有15证证例例.:,131211222收敛收敛试证试证设设nnana ), 2 , 1(1 naannna易见易见(1)是单调增加的是单调增加的;nx是有上界的是有上界的;(2)nann)1(13212111 )111()3121()2111(1nn n12 , 2 利用利用单调有界单调有界数

11、列必收敛准则即得结论数列必收敛准则即得结论.因此因此,2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限16例例333 nx证明数列证明数列证证,1nnxx 31 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 nnx lim(n重根式重根式)的极限存在的极限存在.显然显然(1)xn是单调增加的是单调增加的;(2), 3 xn是有上界的是有上界的;存在存在.2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限17,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)的的重根式重根式证明数列证明数列)(333nxn

12、极限存在极限存在.),3(limnnx Axnn lim设设2131 A解得解得2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限18 有界有界,设函数设函数 f (x)在点在点 x0的某个的某个右邻域右邻域内单调并且内单调并且则则f (x)在点在点 x0右极限右极限)(0 xf必定存在必定存在.单调有界单调有界数列数列必收敛必收敛.函数极限也有类似的准则函数极限也有类似的准则. 对于自变量的对于自变量的不同变化过程不同变化过程),(00 xxxxxx准则有不同的形式准则有不同的形式.2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限19e)11(lim xxx,)11(nnn

13、x 设设 1 1nnnnnnn1!)1()1( 现证明数列现证明数列xn单调增加单调增加按按牛顿二项公式牛顿二项公式, 有有nnnx)11( nn 1! 1 21! 2)1(nnn 1 )11(! 21n).11()21)(11(!1nnnnn 且且有界有界.2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限2. 第二个重要极限第二个重要极限作为作为单调有界收敛准则单调有界收敛准则的应用的应用推导第二个推导第二个重要极限重要极限:20 111nx类似地类似地,)111()121)(111(!1 nnnnn).11()121)(111()!1(1 nnnnn 1nnnx)11( 1 )1

14、1(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn )111(! 21 n ,1nnxx 显然显然xn是是单调增加的单调增加的;2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限21 nx1212111 n1213 n, 3 .lim存在存在nnx e)11(lim nnn记为记为)045459828281718. 2e ( 无理数无理数 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn !1! 2111n 单调上升有上界必有极限单调上升有上界必有极限xn是是有界的有界的;2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限22e)11(lim

15、xxx. e当当x实数趋向实数趋向 或或 时时, xx)11( 因此因此中的底就是这个常数中的底就是这个常数 xye xyln . ext1 令令xxx10)1(lim . e e)1(lim10 xxx或或的极限都存在且等于的极限都存在且等于函数函数可证明可证明,指数函数指数函数以及自然对数以及自然对数ttt)11(lim 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限23 “以以1加非零无穷小为底加非零无穷小为底, e)11(lim xxx该极限的特点该极限的特点:;1)1(型未定式型未定式 e)1(lim10 xxx(2) 括号中括号中1后的变量后的变量(包括符号包括符号)与

16、幂互为倒数与幂互为倒数. 注注若极限呈若极限呈,1 型型 但第二个特点不具备但第二个特点不具备,通常通常凑凑指数幂使指数幂使(2)成立成立.这个重要极限应灵活的记为这个重要极限应灵活的记为:则则一般有一般有e11 lim 倒数倒数, 指数是无穷小的指数是无穷小的其极限为数其极限为数e ”.)(x )(x )(x e1 lim )(x 0)(x )(1x 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限24nnn211lim .e2 xxx 321lim xx321lim.e32 例例2 例例n nn11limx2332xxx20)sin1(lim .e2 例例 xxxsin10sin

17、1limxxsin2例例xxxx 21lim xlim2ee xx 11xx 21.e3 )1( )1( )1( )1( e)11(lim xxxe)1(lim10 xxx推论推论, 0)(lim,)(lim BxgAxf若若.)(lim)(AxfBxg 则则 幂指函数幂指函数2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限25nnnnn 121lim22 nlim.e2 nnn22122 12)22(2 nnnn222)1(coslimxxx 解解 原式原式)1sin1(lim2xx .e21 )1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx.21 112

18、222 nnn解解 原式原式22x x1sin12 x1sin2 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限26例例 连续复利问题连续复利问题. 设有一笔本金设有一笔本金A0存入银行存入银行, 年利率为年利率为r, 末末结算时结算时, 其本利和为其本利和为001rAAA )1(0rA 则一年则一年如果一年分两期计息如果一年分两期计息,每期利率为每期利率为,21r且前一期且前一期的本利和作为后一期的本金的本利和作为后一期的本金,则一年末的本利和为则一年末的本利和为 2A如果一年分如果一年分n期计息期计息,每期利率按每期利率按nr计算计算, 且前一期且前一期本利和为后一期的本金本利

19、和为后一期的本金,则一年末的本利和为则一年末的本利和为20)21(rA nnnrAA)1(0 2)21()21(00rrArA到第二年末的到第二年末的nnnrAA)1(0 为第二年的本金为第二年的本金nnr)1( 本利和为本利和为nnrA20)1( 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限27于是到于是到 t 年末共计复利年末共计复利 nt 次次, 其本利和为其本利和为ntnnrAtA)1()(0 令令, n则表示利息随时计入本金则表示利息随时计入本金. 这样这样, t年末年末的本利和为的本利和为 )(lim)(tAtAnn)1(lim0nrAn rnrt.e0rtA 这种将

20、利息计入本金重复计算复利的方法称这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连续复利为连续复利. 类似于连续复利问题的数学模型类似于连续复利问题的数学模型, 在在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体的冷研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体的冷却、却、到到, 因此有很重要的实际意义因此有很重要的实际意义.ntnnrA)1(lim0 放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限28柯西收敛准则柯西收敛准则三、柯西收敛三、柯西收敛准则准则数列数列xn收敛的充要条件是收敛的充要条件是:有有,时时当当NnNm 证证

21、, 0N正整数正整数 nmxx显然显然,limaxnn 设设, 0N正整数正整数 ,Nm 当当有有,2 axm,时时Nn ,2 axn此时此时, nmxx axmaxn .22 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限29单调有界准则单调有界准则 .四、小结四、小结1. 极限存在准则极限存在准则e1 lim )(x 0)(x )(1x 夹逼准则夹逼准则; 2. 两个重要极限两个重要极限)(x 0)(x sinlim. 1)(x 2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限30思考题思考题1. 求极限求极限xxxx1)93(lim 2. 求极限求极限xxxx 1sin1coslim), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn设设.,并求此极限并求此极限的极限存在的极限存在证明数列证明数列nx 23:答案答案3. 考研数学二考研数学二, 8分分2.5 极限存在准则极限存在准则 两个重