微积分：第四次习题课答案[1]

1、.)()(lim,)(00000 xxxfxxxfxfxx 求求存在存在设设1.,)(0处可导处可导在在若若xxxfy ,0 xxx ),()(00 xfxxfy ,)(0点的微分点的微分在在为为xxfdy2.:求求下下列列函函数数的的导导数数3.xxxycoscoscos(1) xxyln1sin(2)2.lim0 xdyyx 求求).(),()()(2122xfxdxfeedxx求求已知已知 4.5.,2sin)(在原点相切在原点相切与与设曲线设曲线xyxfy . )4(limnnfn 求求6.,0),ln(0,sin)( xbaxxxxf设设, 为何值时为何值时问问ba,0)(处可导处可

2、导在在 xxf. )(xf 并求并求,)1ln(2)(2所所确确定定由由参参数数方方程程设设 tyttxxfy7.轴交点轴交点处的法线与处的法线与在在求曲线求曲线xxxfy3)( .22dxyd的横坐标及的横坐标及8.切切线线的的直直角角坐坐标标方方程程处处的的在在求求对对数数螺螺线线)2,(),(2 erer ,所所确确定定9.0 xdy求求由方程由方程设设)(xfy 0)sin( xyeeyx10.).3)(,ln)()(2 nxfxxxfn求求设设11.),(,22)(dyegeygfxxf求求可导可导设设 .)()(lim,)(00000 xxxfxxxfxfxx 求求存在存在设设1.

3、解：解：故所求故所求0000000)()()()(lim0 xxxfxxfxxfxxxfxx 000000)()(limlim)(00 xxxfxfxxxxxxfxxxx ).()(000 xfxxf ),()()(lim0000 xfxxxfxfxx .lim0 xdyyx 求求,)(0处可导处可导在在若若xxxfy ,0 xxx ),()(00 xfxxfy ,)(0点的微分点的微分在在为为xxfdy2.,)(0处可导处可导在在xxxfy ,)(0处可微处可微在在xxxfy 且且)()(0 xoxxf )0( x)( xody y xdyyx 0lim,于是于是. 0 xxox )(lim

4、0解：解：:求求下下列列函函数数的的导导数数3.xxxycoscoscos(1) xxyln1sin(2)2解：解：xxxxcos2sin2sin xxxcos4sin y (1)y (2)ln1cos()ln1sin(2xxxx 2)ln1(1xxxx ).ln1(2sin2ln2xxxx ).(),()()(2122xfxdxfeedxx求求已知已知 4.解：解： )(2122xxeed )()(2122xxeded dxxedxxexx222221 ,)(22dxeexxx )(xd,21dxx )(xf)()(2122xdeedxx ).(222xxeexx ,2sin)(在原点相切在

5、原点相切与与设曲线设曲线xyxfy . )4(limnnfn 求求5.解：解： 易知，易知，, 0)0( f)0(f , 2 02cos2 xx)4(limnnfn 故故04)0()4(4lim nfnfn04)0()4(lim2 nfnfn)0(2f . 22 6.,0),ln(0,sin)( xbaxxxxf设设, 为何值时为何值时问问ba,0)(处可导处可导在在 xxf. )(xf 并求并求解：解：),0()0()0(fff , 0ln b. 1 b0)0()(lim)0(0 xfxffx0) 0()(lim) 0(0 xfxffxxxxsinlim0 xaxx)1ln(lim0 xax

6、x 0lim.a 处可导，处可导，在在欲使欲使0)( xxf)0( f).0( f. 1 a则必需有则必需有, 1 ,0),1ln(0,sin)( xxxxxf于是于是此时此时 011010,cos)(xxxxxxf .0110,cosxxxx,)1ln(2)(2所所确确定定由由参参数数方方程程设设 tyttxxfy7.轴交点轴交点处的法线与处的法线与在在求曲线求曲线xxxfy3)( .22dxyd的横坐标及的横坐标及解：解：解方程解方程)1( t322 tt. 1 t可得可得故法线过点故法线过点).2ln, 3(而而1 tdxdyk切切1)()( ttxty12)1(21 tt.81 . 8

7、 法法k法线方程法线方程).3(82ln xy, 0 y令令法线方程法线方程).3(82ln xy即得法线与即得法线与 x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标. 382ln0 x22dxyddtdxdxdydtd )1ln(22tyttx2)1(21 tdxdy)1(2)1)(2(213 tt.)1(214 t8.切切线线的的直直角角坐坐标标方方程程处处的的在在求求对对数数螺螺线线)2,(),(2 erer 解：解： sin)(cos)(ryrx参数方程为参数方程为 cose sine 2, 0 eM2)()( xy2sincoscossin , 1 切线方程切线方程.2 exy ),0(2 xey

8、 2 2 dxdyk切切,所所确确定定9.0 xdy求求由方程由方程设设)(xfy 0)sin( xyeeyx解：解：易知，易知，时，时，当当0 x. 0 y方程两边方程两边 对对x 求导求导,并注意到并注意到 y = y (x), 则有则有, 0)(cos( dxdyxyxydxdyeeyx即即)cos()cos(xyyedxdyexyxxy 代入，可得，代入，可得，将将0, 0 yx, 10 xdxdy0 xdy.dx dxdxdyx)(0 故故10.).3)(,ln)()(2 nxfxxxfn求求设设解：解：)(xf xxxx1ln22 )(xf 112ln2 xxx,ln2xxx , 3ln2 x)(xf .2x )()(xfn，故对故对3 n)3()( nxf)3()2( nx)3()1(2 nx133)!3()1(2 nnxn.)!3()1(223nnxn 11.),(,22)(dyegeygfxxf求求可导可导设设 解：