微积分课件：7-2 平面图形的面积

1、 7.2 平面图形的面积平面图形的面积1小结小结 思考题思考题 作业作业直角坐标直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积7.2 平面图形的面积平面图形的面积第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.2 平面图形的面积平面图形的面积2 回忆回忆 baxxfd)(的几何意义的几何意义:, 0)(, xfba内内若若在在 启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线. 注注的值的值则则 baxxfd)(等于介于等于介于y = f (x),

2、直线直线x = a, x = b与与x轴之间轴之间 7.2 平面图形的面积平面图形的面积3Oxy),()(xgxf 求这两条曲线及求这两条曲线及直线直线x = a, x = b所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.)(xgy )(xfy ab,d,xxx 面积微元面积微元dA为为它对应的它对应的 Ad xxgxfAd)()(1) )()(xgxf xd ab即即A区间区间xxxd 一、直角坐标一、直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积设在区间设在区间a, b上上, 曲线曲线y = f (x)位于曲线位于曲线y = g(x)的上方的上方, 在在a, b上任取一个上任取一个小小 7.2 平面图

3、形的面积平面图形的面积4(2) 由曲线由曲线 x = f (y),)()(ygyf 和直线和直线y = c, x = d所围成的区域的所围成的区域的 面积面积A.,d,yyy 面积微元面积微元dA为为它对应的它对应的yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd cdA区间区间Oxyx = g(y) 在在c, d上任取一个上任取一个小小 7.2 平面图形的面积平面图形的面积5例例解解.2, 02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程组解方程组: xxyyx202交点交点).3 ,

4、 3(),0 , 0(面积微元面积微元 Ad,3 , 0 x法一法一 xxxAd)3(2.2903选选 为积分变量为积分变量, xxd )2(2xx x确定积分限确定积分限,OxyA xxxd )3 , 3( 0 yxxxy22 xxxd)3(2 7.2 平面图形的面积平面图形的面积6Oxy法二法二 选选 y为积分变量为积分变量,3 , 1 y.2, 02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 面积微元面积微元 1dAyd )11( yy )11( y)11( yyd Ayyd12 1 003yyyd)11( 29 法三法三 将图形看成将图形看成: 0, 3上方的三角形上方的三角形

5、减去减去在在2, 3上方的曲边梯形上方的曲边梯形, 再再加上加上0, 2下方的曲边梯形下方的曲边梯形: Axxd30 xxxd )2(322 xxxd)2(0202 .29 2dA1A31 xxy22 0 yx2A )3 , 3( 7.2 平面图形的面积平面图形的面积7(3) 平面图形平面图形(如图如图)面积为面积为xxgxfAbad)()()( xxgxfBbad| )()(|)( xxgxfCbad)()()( xxgxfDbad|)(| )(|)( )(xfy )(xgy Oxyab设设f (x)、 g(x)在在a, b上连续上连续, 则曲线则曲线y = f (x)、 y = g(x)与

6、直线与直线x = a, x = b所围成的所围成的 7.2 平面图形的面积平面图形的面积8解解两曲线的交点两曲线的交点 xyxycossin)22,45(),22,4( A . 24 画草图画草图, xxxd)cossin( 02xxxd)sin(cos 04xycos xysin 445xxxd)cos(sin 452xxxd)sin(cos Oxy2445xyxxsin2, 0 之间由曲线之间由曲线求介于直线求介于直线.cos积积所围成的平面图形的面所围成的平面图形的面和和xy 7.2 平面图形的面积平面图形的面积9.12222的面积的面积求椭圆求椭圆 byax解解曲线的参数方程为曲线的参

7、数方程为 tbytaxsincos由对称性由对称性,d40 axyA 4Attabdsin4202 .ab 作变量代作变量代换换,costax ,时时当当ax ,0时时当当 x例例其中其中22xaaby 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.不易积分不易积分.ttaxdsind ;2 t. 0 t)cos(dta02abtbsin 一般地一般地, 当曲线用参数方程当曲线用参数方程表示时表示时, 都可以用类似的变量代都可以用类似的变量代换法处理换法处理.Oxy 7.2 平面图形的面积平面图形的面积10)20( t解解 axyA20d)sin(ttax 面积面积ttaxd)c

8、os1(d 0 x axyA20d 作变量代作变量代换换 ttad)cos1( )cos1(ta 20a2Oxy; 0 tax2 求摆线求摆线(旋轮线旋轮线)cos1(),sin(tayttax 与与x轴所围图形的面积轴所围图形的面积.2 t.32a 7.2 平面图形的面积平面图形的面积11 d 面积微元面积微元 Ad曲边扇形的面积曲边扇形的面积.d)(212 rA )( rr 由极坐标方程由极坐标方程)( rr 给出的平面曲线给出的平面曲线)(, 所围成的面积所围成的面积A. d)(212r和射线和射线曲边扇形曲边扇形 d Ox二、二、极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.2 平

9、面图形的面积平面图形的面积12解解 由对称性知总面积由对称性知总面积14AA d2cos2142 aA.2a d)(212rA 04= 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例 求双纽线求双纽线 2cos22ar 所围平面图形的面积所围平面图形的面积.xy Oxy 7.2 平面图形的面积平面图形的面积13解解 利用利用对称性对称性知知 d)coscos21(202 a022sin41sin223 a.232a drA2)(21 A)cos1( ar d)cos1(2122 a 20 xyOa2例例 求心形线求心形线所围平面图形的所围平面图形的面积面积).0( a)cos1( ar 7.2 平

10、面图形的面积平面图形的面积14 cos1 r解解求交点求交点 cos1cosrr3 由对称性由对称性 A. 3127 2例例 drA2)(21 d)cos1(212 03 dcos21223 cos1 r cos rxyO12 求心形线求心形线的公共部分的面积的公共部分的面积.所围图形与圆盘所围图形与圆盘 cos r 7.2 平面图形的面积平面图形的面积15所围成的所围成的计算由曲线计算由曲线)()(222222yxayx .21222的外面部分的面积的外面部分的面积区域在圆区域在圆ayx 解解)()(222222yxayx 曲线曲线22221ayx 圆圆.2cos22 ar ar21 2,6

11、ar 交点交点 A由对称性由对称性.6232 a4 d212cos2122 aa06 d)(212rA Oxy是双纽线方程是双纽线方程.极坐标方程极坐标方程:极坐标方程极坐标方程: 2cos22ar ar21 7.2 平面图形的面积平面图形的面积16解解 利用对称性知利用对称性知14AA d12142 06 d2cos2214 64.332 6 d)(212rA Oxy的公共部分面积的公共部分面积.所围成图形所围成图形和双纽线和双纽线求求 2cos212 rr 7.2 平面图形的面积平面图形的面积17所所围围和和曲曲线线使使得得该该切切线线与与直直线线xyxxln6, 2 答案答案. 4ln1

12、41 xy,6 , 2ln内内的的一一条条切切线线在在区区间间求求曲曲线线xy (1)成的面积最小成的面积最小.(2)0( ba之间图形面积之间图形面积.答案答案).arctan(4abab, 12222 byax求界于二椭圆求界于二椭圆, 12222 aybx 7.2 平面图形的面积平面图形的面积18解解)0( 1, 122222222 baaybxbyax求界于二椭圆求界于二椭圆之间图形面积之间图形面积.xy xy 对称性对称性 所求面积所求面积A为在第一象限中为在第一象限中, xy 由直线由直线x轴轴及椭圆及椭圆12222 aybx所围图形面积的所围图形面积的 8倍倍.将椭圆将椭圆122

13、22 aybx化为化为极坐标极坐标方程方程.,sincos2222222 babar rAd)(2182 4012222 byax12222 aybx(2)将将 ryrxsincos代入椭圆代入椭圆, 12222 aybx得得xyO 7.2 平面图形的面积平面图形的面积19 d)(218402 rA 2222222sincosbabar dsincos1440222222 baba dcos)tan1(144022222 abb 40222tan11 ab).arctan(4abab )tan(dabab4 7.2 平面图形的面积平面图形的面积20解解求由抛物线求由抛物线与过焦点的弦所围成的图

14、形与过焦点的弦所围成的图形axy42 设设yOx)11(222, 1kkay 记记面积的最小值面积的最小值. .)0 ,(a . 0 a焦点焦点)0 ,(apxy22 焦点焦点)0 ,2(p(变变)弦弦(1)(axky (2) 求交点求交点axy42 )(axky 21kr ),1(21rkay )1(22rkay axy42 )(axky ),(22yx ),(11yx 7.2 平面图形的面积平面图形的面积21(3) 设设. 0 k )(kS 12dyyy4)(2ayaky 23232)1(38kka ), 0( k )(kS42218kka 0 因为因为S(k)单减单减所以所以)(kSk3

15、82a求由抛物线求由抛物线与过焦点的弦所围成的与过焦点的弦所围成的axy42 图形面积的最小值图形面积的最小值. .最小最小S yOx)0 ,(a axy42 )(axky ),(22yx ),(11yx 21kr )1(21rkay )1(22rkay 7.2 平面图形的面积平面图形的面积22求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形 (注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分有助于简化积分分平面图形的方法有分平面图形的方法有:分竖条分竖条, 分横条分横条, 分成扇形分成扇形, 分成圆环分成圆环.的面积的面积.运算运算)三、小结三、小结 7.2

16、 平面图形的面积平面图形的面积23思考题思考题的的引抛物线引抛物线上的点上的点从抛物线从抛物线221xyPxy 点的点的所围成的面积与所围成的面积与证明该切线与证明该切线与Pxy2 ,切线切线位置无关位置无关.),(),(222111yxQyxQ设设分别分别表示从点表示从点),(00yxP向抛物线向抛物线2xy 引出的两条切线的切点引出的两条切线的切点.2xy 在点在点),(111yxQ的切线方程的切线方程:)(2111xxxyy 即即)(21121xxxxy 又又1200 xy00, 101 xx102 xx12 xy2xy ),(00yxP 21x解解Oxy),(111yxQ ),(222yxQ 7.2 平面图形的面积平面图形的面积24),(2111xxxyy , 101 xx102 xx于是切线于是切线21,PQPQ的方程分别