微积分：2-3 无穷小与无穷大

1、1无穷小无穷小(infinitely small)无穷大无穷大(infinitely great)小结小结 思考题思考题 作业作业 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第第2 2章章 极限与连续极限与连续21. 定义定义极限为零的极限为零的变量变量称为称为 无穷小量无穷小量, ,简称简称如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x,2时时当当 x是是函函数数2 x无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.,时时当当 n.)1(是无穷小是无穷小数列数列nn ,1时时当当 x;无穷小无穷小;无穷小无穷小无穷小无穷小. .一、无穷小一、无穷小在某个过程中

2、在某个过程中 皆非无穷小皆非无穷小.极限问题可归结为无穷小问题极限问题可归结为无穷小问题.极限方法的极限方法的重要部分是无穷小分析重要部分是无穷小分析.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定义定义2.82.83),(0 不论它多么小不论它多么小 0 |00 xx | )(|xf),0( X或或),|(Xx 或或,)(0时的无穷小时的无穷小当当则称则称xxxf0)(lim0 xfxx记作记作注注“无限制变小的量无限制变小的量”)( x或或).0)(lim( xfx或或(1) 无穷小无穷小是变量是变量, “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小, 化状态的化状态的.(2) 零是可以

3、作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.使得当使得当 不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆; 而是表达它的而是表达它的变变, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim0, 0 Axfx )(lim, 0 X,|时时使当使当Xx .|)(| Axf恒恒有有2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定义定义2.82.8恒有恒有42. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证,)(lim0Axfxx 设设Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx 则有则有).()(xAxf 定理定理2.122.12Axfxx )(lim0.)(0时的无

4、穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x),()(xAxf , 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大5),()(xAxf 设设Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是, 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 类似可证明类似可证明 的情形的情形. x其中其中A是常数是常数,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当xxx |

5、)(|)(|xAxf , 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( xf恒有恒有0)(lim0 xfxx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理2.122.126二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大绝对值无限增大的变量称为的变量称为无穷大无穷大. .如如,1x函数函数,0时时当当 x,时时当当 x,2x函数函数是无穷大是无穷大;xcot3x是无穷大是无穷大.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大7定义定义2.92.90 Mxf | )(|),0( X或或),|(Xx 或或,)(0时的无穷大时的无穷大当当则称则称xxxf )(lim0 xfxx记作记作).)(lim( xfx或或),(0 不论它多

6、么大不论它多么大 M)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正无穷大正无穷大, 负无穷大负无穷大.)(lim()(0 xfxxx或或 定义定义使得当使得当恒有恒有 |00 xx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大8无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,.)(lim)2(0认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx注注(3) 无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.某个过程的无穷大某个过程的无穷大.但是无界函数未必是但是无界函数未必是比如数列比如数列, 0, 0, 2, 0, 1n是无界的是无界的, n时的无穷大时的无穷

7、大.(1) 无穷大是变量无穷大是变量, 不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .但不是但不是2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大9如如xxysin 是无界函数是无界函数, 但但不是无穷大不是无穷大.因为取因为取,22时时 nxxn )(nxf而取而取,2时时nxxn )2()(nfxfn所以所以,时时 x f (x)不是不是无穷大无穷大! !. 0当当n充分大时充分大时, f (xn)可以大于预先给定的正数可以大于预先给定的正数M;,22 n )22( nf绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .2.3

8、无穷小与无穷大无穷小与无穷大10 11lim1xx证明证明11 xy 1证证, 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10时时当当 x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfxx如果如果例例|1| x解出解出的图形的的图形的 铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).结论结论xyO1 所以所以则直线则直线x = x0是函数是函数y = f (x)0 Mxf | )(|:)(lim0的的定定义义 xfxx),(0 不论它多么大不论它多么大 M使得当使得当恒有恒有,|00 xx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大11证证 )(lim0 xf

9、xx设设, 0 .)(1 xf,0时时当当xx 定理定理2.132.13恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ., 0 ,00时时 xx,1)( Mxf有有三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系,1 M此时对此时对使得当使得当所以所以因为因为在同一过程中在同一过程中, 无穷大的倒数为无穷大的倒数为.)(1为无穷小为无穷小xf即即0 Mxf | )(|:)(lim0的的定定义义 xfxx),(0 不论它多么大不论它多么大 M使得当使得当恒有恒有,|00 xx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小无穷小;12, 0)(lim,0 xfxx设设反之反之, 0

10、M.)(1Mxf ,0时时当当xx , 0)( xf由于由于. 0)( xf且且, 0 ,1)(Mxf 有有意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .,1M 此时对此时对使得当使得当定理定理2.13 2.13 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;所以所以所以所以关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,.)(1为无穷大为无穷大xf从而从而),(0 不论它多么小不论它多么小 0 ,|00 xx恒有恒有 | )(|xf:)(0)(lim0的的定定义义无无穷穷小小 xfxx使得当使得当,0

11、0时时 xx2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大13 两个正两个正 无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正 无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之积与无穷大之积容易证明容易证明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx . 但须注意但须注意, 无穷大无穷大.仍为无穷大仍为无穷大, 有限个无穷大的乘积也是无穷大有限个无穷大的乘积也是无穷大;有界量与无穷大的乘积不见得是有界量与无穷大的乘积不见得是(负负)(负负)2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大14无穷小的概念无穷小的概念;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.四、小结四、小结2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大15思考题思考题考研数学三考研数学三,