微积分课件：3-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1、13.4 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 作业作业第第3 3章章 导数与微分导数与微分确定的函数的导数确定的函数的导数 相关变化率相关变化率20),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义一、隐函数的导数一、隐函数的导数3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为 隐函数隐函数(implicit function).y = f (x)的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的01

2、3 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒( (J.Kepler) )1571-1630德国数学家德国数学家,天文学家天文学家. .的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将y表达成表达成x的的显式显式表表达式达式. .显化显化. .由二元方程由二元方程 F (x, y) = 0 所确定的函数所确定的函数y = f (x) y关于关于x32. 隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法则隐函数求导法则利用利用函数的微分法则函数的微分法则, 将方程两边求微分将方程两边求微分.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如

3、何求导3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例yxyyx所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程0ee 1, 0 yx.dd,dd0 xxyxy的导数的导数解解将方程两边求微分将方程两边求微分, 得得)0d(e)e (d xyy0 0ddde xyyxyyxxyyyded xyxyy edd.e1dd0 xyyvuvudd)(d vuuvvudd)d( 4虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来, 允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量 y.y 一般来说一般来说, 隐函数求导隐函数求导但它的导数求出来了但它的导数求出

4、来了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量 y. 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率注注3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率5设函数设函数y=f (x)由方程由方程所确定所确定,则曲线则曲线y=f (x)在点在点(1,1)处的切线方程是处的切线方程是( ).考研考研(数学二数学二) 填空填空, 4分分4ln2yxxy 0 yx解解 将方程两边求微分将方程两边求微分, 得得yyxxyxxyd4d2dd3 再将点再将点(1,1)代入上方程代入上方程, 得得1dd

5、)1 , 1( xy切线方程为切线方程为)1(11 xy0 yx即即隐函数隐函数6例例.dd, 0sin2122xyyyx求求设设 解解 将方程两边求微分将方程两边求微分, 得得3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)0d()sin21(d yyx, 0 , 0dcos21dd yyyx,dcos22dxyy ,cos22ddyxy 22ddxy2)cos(22y xy)cos(2 2)cos(2sin2yy xy .)cos(2sin42yy 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,注意注意变量变量y是是x的函数的函数.解得解得7

6、.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3. 对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用, (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,e)4(1)1(23xxxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.sinxxy 适用于适用于方法方法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函然后利用隐函数的求导法求出导数数的求导法求出导数.介绍介绍3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数

7、的导数 相关变化率相关变化率8例例解解 yyd1.e)4(1)1(23的导数的导数求求xxxxy xxxxxxxdd42d)1(31d11 等式两边取绝对值等式两边取绝对值, 得得再对上式两边取对数再对上式两边取对数, 得得3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 xxxxye)4(1)1(|23xxxxe|4|1|1|23 |ln y|1|ln xx |1|ln31 x|4|ln2 x再将上式两边求微分再将上式两边求微分, 得得xxxxd 142)1(3111 .142)1(3111e)4(1)1(23 xxxxxxyx所以所以9

8、例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln yyd1)sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx 等式两边取对数等式两边取对数, 得得再将上式两边求微分再将上式两边求微分, 得得, )d1(sin)dcos(lnxxxxxx 幂指函数幂指函数3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率vuuvvudd)d( ,dsinlncosxxxxx 于是于是10注注复合函数复合函数)(),(, 0)( ,)()(都可导都可导xvxuxuxuyxv 改写成改写成.e)(ln)(xuxvy .),0

9、(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将则则xxylnsine xx ln(cos ).sinxx 只要将只要将,elnsinxxy 改写成改写成幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率11.,1. 12sinyxxyx 求求设设解解)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy ).12sinln(cos2xxxxxxyy 等式两边取对数等式两边取对数, 得得上式两边对上式两

10、边对x求导求导, 得得3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率12.,. 2yyxxy 求求设设解解,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 等式两边取对数等式两边取对数, 得得上式两边对上式两边对x求导求导, 得得3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率13二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty,42x .21xy (paramet

11、ric equation)参数方程参数方程 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导消去参数消去参数 t.确定确定y与与x间的函数关系间的函数关系,3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率所以所以所以所以14)(),(tytx 设设函函数数 yd,d)()(xtt .ddddddtxtyxy ,)()(中中在方程在方程 tytx . 0)( t 且且3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关

12、变化率都可导都可导,得得两两边边取取微微分分对对,)(tx ,d)(dttx 所以所以;d)(1dxtt 得得两两边边取取微微分分对对,)(ty ,d)(dtty 所以所以即即 xydd,)()(tt 或者或者参数方程的求导公式参数方程的求导公式. .15例例解解txtyxydddddd ,cos1sintt taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .2)cos1()sin(处的切线方程处的切线方程在在求摆线求摆线 ttayttax,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay).22( axy即即),12( ax. ay 3.4 隐函数及由参数方程所

13、确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 所所以以aOxyaaaaa21616)20( t解解 axyA20d)sin(ttax 面积面积ttaxd)cos1(d 0 x axyA20d 作变量代作变量代换换 ttad)cos1( )cos1(ta 20定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用; 0 tax2 求摆线求摆线(旋轮线旋轮线)cos1(),sin(tayttax 与与x轴所围图形的面积轴所围图形的面积.2 t.32a 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率17解解txtyxyddd

14、ddd ttttsincos2sincos 4sin4cos24sin4cosdd4 txy211 4sin1,coscos2 ttyttx上对应于上对应于曲线曲线 考研数学二考研数学二, 填空填空4分分的点处的的点处的法法线斜率线斜率为为21 故曲线在切故曲线在切线斜率为线斜率为.211 所所以以18,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx 22ddxy )()(tt )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即xtdd )()(ddttxy xyx ddddtdd3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的

15、函数的导数 相关变化率相关变化率19如如: 33ddxy注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式, 只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理. 22ddddxyxtxydddd22 .dddddd22txtxy xtdd 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率20解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )dd(dddd22xyxxy x

16、tttddd)tan(d ttatsincos3sec22 .sin3sec4tat )cos()tan(3 tattxttdd1d)tan(d 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率星形线星形线aaOxyaa21例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率

17、为又切点为又切点为 4 4 ,224ax .224ay sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率22x = x(t), y = y(t) 为两可导函数为两可导函数x, y之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变

18、化率解法三步骤: :找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率. .0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率23例例解解500)()(tantht 2sec 0),(

19、hF (1)(2)则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd 5001 thdd ,/140dd分分米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h 22tan1sec 500, 1tan,500 时时当当h一气球从离开观察员一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升,其速率为其速率为140米米/分分. 当气球高度为当气球高度为500米时米时, 观察员视线观察员视线的仰角增加率是多少的仰角增加率是多少?设气球上升设气球上升t秒后秒后,其高度为其高度为h(t),两边对两边对t求导得求导得高度与仰角的关高

20、度与仰角的关系系24水面水面例例桥面高出水面桥面高出水面的速度通过一座桥的速度通过一座桥某人以某人以,2sm解解桥面桥面20mxy222220)()()( tytxtz(1)在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以,20msm34的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.z对对t求导求导tyytxxtzzdd2dd2dd2 (2), 2dd tx,10 x,3702032010222 z(3),5时时当当 t,320 y).(2126dd5smtzt 设经设经t秒钟后人行走距离为秒钟后人行走距离为xm,船航行距离为船航行距离为ym,船与人的距离为船与人的距离为zm,.34dd ty3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率25设自开始充气以来的时间设自开始充气以来的时间t,;34)1(3rV ,)2(求求导导两两边边对对t秒秒立方厘米立方厘米100dd)3( tV解解体积为体积为在在t时刻气体的时刻气体的半径为半径为;dd334dd2trrtV 得得),(tVV ),(trr . )(41秒秒厘米厘米 trdd10 r设气体以设气体以100立方厘米立方厘米/秒的速度注入球状秒的速度注入球状的气球的气球, 求在半径为求在半径为10厘米时