微积分：2-2 函数的极限

1、1小结小结 思考题思考题 作业作业函数极限的性质函数极限的性质函数在函数在无穷远点无穷远点的极限的极限函数在函数在一点一点的极限的极限2.2 函数的极限函数的极限对于数列对于数列, 即整标函数即整标函数xn = f (n),其自变量的变化只有一种情形其自变量的变化只有一种情形.对于一般函数对于一般函数 y = f (x) 来说来说, 有有:第第2 2章章 极限与连续极限与连续2 Axf)(Xx 用数学语言刻划用数学语言刻划;)(任意小任意小Axf .的过程的过程 x表示表示表示表示无限增大无限增大1. 定义定义定义定义2.22.2.|)(上有定义上有定义在在设设axxf )(X , 0 , 0

2、 X,|时时使得当使得当Xx |)(|Axf,)(Axfx有极限有极限时函数时函数则称则称 Axfx )(lim记作记作).()( xAxf或或, 0 , 0 X无限接近、无限接近、若若恒有恒有那末就称常数那末就称常数a是数列是数列xn的的极限极限. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义,|时时使得当使得当Xx |)(|Axf2.2 函数的极限函数的极限一、函数在一、函数在无穷远点无穷远点(infinite point)的极限的极限3:)1(情形情形x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim2. 另两种情形另两种情形, 0 X,时时使当使当Xx .|)

3、(| Axf恒恒有有, 0 , 0 X,时时使当使当Xx .)(上有定义上有定义在在设设axxf .)(上有定义上有定义在在设设axxf x x定义定义2.22.2.|)(上有定义上有定义在在设设axxf )(X ,|时时使得当使得当Xx |)(|Axf,)(Axfx有极限有极限时函数时函数则称则称 Axfx )(lim记作记作).()( xAxf或或, 0 , 0 X若若恒有恒有.|)(| Axf恒有恒有2.2 函数的极限函数的极限4解解 显然有显然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可见可见xxarctanlim和和xxarctanlim虽然都存在虽然都存在,但它们不

4、相等但它们不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例讨论极限讨论极限xxarctanlim Axfx )(lim且且Axfx )(lim是否存在是否存在?xyarctan Oyx2 2Axfx )(lim2.2 函数的极限函数的极限定理定理2.55如果在如果在x的某种趋向下的某种趋向下, f (x)并不无限接近并不无限接近一个常数一个常数, 则称则称:)(limxf在在x的该种趋向下的该种趋向下例例 当当|x|无限增大时无限增大时,sin x2x都不无限接近一个常数都不无限接近一个常数,因此因此,sinlimxx 2lim xx 都不存在都不存在.不存在不存在.2.2 函数的极限函

5、数的极限6,时时或或当当XxXx A的几何意义的几何意义Axfx )(lim. 3,|时时当当Xx 有有 |)(|Axf, 0 , 0 X,为中心线为中心线以直线以直线Ay )(xfy 函数函数 y= f (x)图形图形完全落在完全落在:xyOX X A A AxfA)(.2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 2.2 函数的极限函数的极限7xxysin 例例0sinlim xxx证明证明证证, 0 ,1 X取取,|时时当当Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.xxxxsin0sin ,|1x 只要只要 |1x有有,1| x即即 解不等式解不等式| x

6、解出解出xyO定义定义1 1.|)(上有定义上有定义在在设设axxf )(X ,|时时使得当使得当Xx |)(|Axf,)(Axfx有极限有极限时函数时函数则称则称 Axfx )(lim记作记作).()( xAxf或或, 0 , 0 X若若恒有恒有,)(limCxfx 如果如果Cy 图形的图形的 水平渐近线水平渐近线(horizontal asymptote).结论结论则直线则直线是函数是函数 y = f (x)2.2 函数的极限函数的极限8. 111lim22 xxx试证试证证证, 0 注意注意有有12111222 xxx,22x 为了使为了使,11122 xx只要使只要使,22 x,2 x

7、即即,2 X取取,时时当当Xx 有有 2222111xxx. 111lim22 xxxx解出解出,0时时当当 x, 0 Axf )(lim, 0 X,时时使当使当Xx .|)(| Axf恒恒有有 x2.2 函数的极限函数的极限9 Axf)( 00 xx 0 x 0 x,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 用数学语言刻划用数学语言刻划,0 xx 无限接近无限接近于确定值于确定值A.;)(任意小任意小表示表示Axf .0的过程的过程表示表示xx 00 xx 二、二、函数在函数在一点一点(one-point)的极限的极限xO0 x 函数函数 f (x),(0 xU2.2

8、函数的极限函数的极限10, 0 若若)( , 0 若若1. .定义定义定义定义2.32.3邻域内有邻域内有定义定义., 0 Axf)(,)(0Axfxx有有极极限限时时函函数数则则称称 记作记作).()(0 xxAxf或或, 0 恒有恒有设函数设函数 f (x)在点在点x0某某去心去心,00时时 xx使当使当,00时时 xx Axf)(Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限2.2 函数的极限函数的极限11注注(1) 定义中的定义中的00 xx 所以所以,0时时xx f (x)有没有极限与有没有极限与 f (x)在点在点x0是是否有定义并无关系否有定义并无关系.(2) 定义中定义中

9、 标志标志x接近接近x0的程度的程度, 也将越小也将越小. (3) 不要求最大的不要求最大的 , ,0 xx 表示表示 它与它与一般地说一般地说, 越小越小, 只要求只要求 存在即可存在即可.有关有关.)( , 0 若若定义定义2.32.3去心去心邻域内有邻域内有定义定义., 0 恒有恒有设函数设函数 f (x)在点在点x0某某使当使当,00时时 xx Axf)(记记作作有有极极限限时时函函数数则则称称,)(0Axfxx Axfxx )(lim0).()(0 xxAxf或或12, 0 AyA必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域,00 xx对于此邻域内的对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带

10、形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内.的几何意义的几何意义Axfxx )(lim. 20作出带形区域作出带形区域, 0 ,00 xx当当 Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 x A2.2 函数的极限函数的极限13一般说来一般说来,)(lim0Axfxx 论证论证应从不等式应从不等式 Axf)(出发出发, 推导出推导出这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的 , 这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的, 所以所以Axf )(适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出

11、0 xx . 找到一个需要的找到一个需要的 找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把2.2 函数的极限函数的极限0 xx 应小于怎样应小于怎样的正数的正数,14).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC , , 0 0 .lim0CCxx , 0 取取,00时时当当 xx例例.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 , 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf , .lim00 xxxx 任任, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限15例例. 211lim21 xxx证明证明

12、证证211)(2 xxAxf, 0 , 只只要要取取函数在点函数在点1 x,)( Axf,2112 xx有有. 211lim21 xxx处没有定义处没有定义.1 x要使要使,10时时当当 x, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限16例例.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 ,00时时当当 xx00 xxxx Axf)(要要使使,0 xx有有 00 xxx 即即只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明0 x且且 取取,0 x 0 x min00 xxx 0 x可用可用00 xxx 保证保证

13、2.2 函数的极限函数的极限17(1) 证明证明9)14(lim2 xx证证, 0 由于由于 9)14( x要使要使 9)14( x解出解出)(2 x只要只要,42 x可取可取 有有,9)14( x. 9)14(lim2 xx解不等式解不等式,4 4 24 x,20时时当当 x, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限18(2) 证明证明0coscoslim0 xxxx 0coscosxx2sin20 xx 0 xx 证证, 0 可取可取, ,00时时当当 xx有有,coscos0 xx0coscoslim0 xxxx 同样有

14、同样有0sinsinlim0 xxxx (自己证自己证). .2sin2sin200 xxxx , 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限19(3) 试证试证311lim31 xxx提示提示 仅需在仅需在附近讨论问题附近讨论问题,1 x如限定如限定, 1, 20 xx即限定在即限定在1|1|0 x范围内讨论范围内讨论问题问题.3113 xx|1| x, 0 ,4, 1min 取取)1)(1(123 xxxx)1)(2(22 xxxx|1|2| xx4 证证,10时时当当 x3113 xx有有, . 311lim31 xxx所以

15、所以)(定义定义 2.2 函数的极限函数的极限20可以证明下列重要结论可以证明下列重要结论幂函数幂函数, 指数函数指数函数, 对数函数对数函数, 三角函数及三角函数及反三角函数等基本初等函数反三角函数等基本初等函数, 每点处的极限都存在每点处的极限都存在, 在其定义域内的在其定义域内的并且等于函数在该点处并且等于函数在该点处的值的值.2.2 函数的极限函数的极限213. 左、右极限左、右极限(单侧极限单侧极限)例如例如, 0, 10,1)(2xxxxxf设设00 xx和和分分; 00 xx记作记作. 00 xx记作记作. 1)(lim0 xfx两种情况分别讨论两种情况分别讨论!xyO1xy 1

16、12 xyx从从左侧左侧无限趋近无限趋近x0,x从从右侧右侧无限趋近无限趋近x0,2.2 函数的极限函数的极限2.2 函数的极限函数的极限22左极限左极限, 0 右极限右极限Axfxxxx )(lim)(000记作记作Axfxxxx )(lim)(000记作记作, 0 .)( Axf恒有恒有00 xxx 使得使得时时,Axf )0(0或或, 0 , 0 使得使得时时,Axf )0(0或或.)(0Axf 或或或或.)(0Axf 定义定义 , 0 若若,00时时使当使当 xx Axf)(.)(0Axfxx有极限有极限时函数时函数则称则称 , 0 恒有恒有设函数设函数 f (x)在点在点x0某去心邻

17、域内有某去心邻域内有定义定义. 00 xxx.)( Axf恒有恒有2300 xxx注注Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00均存在均存在和右极限和右极限左极限左极限)0()0(00 xfxf且且0000 xxxxxx 性质常用于判断性质常用于判断分段函数分段函数当当 x 趋近于趋近于分段分段点点 时的极限时的极限.2.2 函数的极限函数的极限定理定理2.624试证函数试证函数,1sin1)( xxxxxf)(lim1xfx xx 1lim.,1无极限无极限时时当当 x证证)(lim1xfx xxsinlim1 1 1sin 左、右极限不相等左、右极限不相等,故故.)(,1无极限无

18、极限时时xfx 例例000lim,0 xxxxx 时时当当0sinsinlim0 xxxx 2.2 函数的极限函数的极限25xxx|lim0 xxx|lim0 左、右极限存在左、右极限存在,证证1)1(lim0 xxxx|lim0 11lim0 xxxx0lim 故故极限不存在极限不存在.例例但不相等但不相等,讨论讨论的存在性的存在性.xyO11 xxx 0lim2.2 函数的极限函数的极限26 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比, 有类似的性质有类似的性质,定理定理2.7(2.7(极限的唯一性极限的唯一性) ) f (x)有极限有极限,若在自变量的某种若在自变量的某种变化趋势下变化

19、趋势下,则极限值必唯一则极限值必唯一.定理定理2.8(2.8(局部有界性局部有界性) ),0时时若当若当xx f (x)有有则则 f (x)在在),(0 xU,时时若当若当 xf (x)有极限有极限,|, 0时时当当则存在则存在XxX 且证明方法也类似且证明方法也类似.三、函数极限的性质三、函数极限的性质函数函数 f (x)上有界上有界;极限极限,有界有界.2.2 函数的极限函数的极限27证证 设设,)(lim0Axfxx 取取, 1 , 0 则则,00 xx使使当当1)( Axf有有 )(xf1 AM证毕证毕.AAxf )(:定义定义 , 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒

20、有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限28, 0)(lim0 Axfxx如果如果定理定理2.92.9证证对对,2| A ,)(lim0Axfxx 由由, 0 ,00 xx使使当当,2|)(AAxf 从而从而2|)(2|AAxfAA ,),(0内内则在则在 xU有有2.2 函数的极限函数的极限.2| )(|Axf 有有;2)(, 0AxfA 有有若若,2)(, 0AxfA 有有若若总之总之,.2| )(|Axf 有有29,)(lim0Axfxx 如果如果定理定理2.10(2.10(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性) ).0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有内内则在

21、则在 ),0(0 AA或或而且而且2.2 函数的极限函数的极限),0)(0)(),(0 xfxfxU或或内有内有如果在如果在 ).0(0 AA或或那么那么推论推论2.22.2,)(lim0Axfxx 而且而且30证证, 0)( xf设设 假设上述论断不成立假设上述论断不成立, 0 A即设即设那末那末定理定理3 3就有就有),(0 xU在该邻域内在该邻域内, 0)( xf这与这与. 0 A所以所以类似可证类似可证 的情形的情形.0)( xf假设假设矛盾矛盾,若定理若定理3推论推论中的条件改为中的条件改为, 0)( xf是否必有是否必有?0 A不能不能! ! 20lim xx如如 . 0定理定理2

22、.10(2.10(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性) ).0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有内内则在则在 ),0(0 AA或或而且而且,)(lim0Axfxx 如果如果2.2 函数的极限函数的极限),0)(0)(),(0 xfxfxU或或内有内有如果在如果在 ).0(0 AA或或那么那么推论推论2.22.2,)(lim0Axfxx 而且而且31定理定理2.11(2.11(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )极限极限存在的充要条件为对于存在的充要条件为对于f (x)定义域内任一收敛于定义域内任一收敛于x0的数列的数列xn,相应的函数值数列相应的函数值数列f (

23、xn)均收敛均收敛. 且满足且满足:0 xxn ),( Nn证证设设则则, 0 , 0 ,|00时时当当 xx.|)(| Axf有有故对故对, 0 ,N ,时时当当Nn 有有.|0 xxn,时时当当Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn0limxxnn )(lim0 xfxx,)(lim0Axfxx )(limnnxf.A要证要证即即, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函数的极限函数的极限归并原理归并原理, ,也称海涅也称海涅(Heine)(Heine)定理定理32则存在则存在, 00 ,nx ,1|00nxxn .|)(|0 Ax

24、fn或或.)(limAxfnn 设设定理定理4(4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )极限极限存在的充要条件为对于存在的充要条件为对于f (x)定义域内任一收敛于定义域内任一收敛于x0的数列的数列xn,相应的函数值数列相应的函数值数列f (xn)均收敛均收敛. 且满足且满足:0 xxn ),( Nn)(lim0 xfxx2.2 函数的极限函数的极限归并原理归并原理, ,也称海涅也称海涅(Heine)(Heine)定理定理证证满足定理中条件的函数值数列满足定理中条件的函数值数列f (xn) 极限均相等极限均相等, 不存在不存在若若)(lim0 xfxx,)(lim0Axfxx

25、 使得对于任给使得对于任给, Nn数列数列xn满足满足,00 xxxxnn 且且某个某个但但f (xn)不趋向于不趋向于A, 矛盾矛盾.33由由定理定理4 4( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )可把可把函数极限的许多性质转化为数列极限去讨论函数极限的许多性质转化为数列极限去讨论. .它还可证明函数它还可证明函数f (x)极限不存在极限不存在, 用用只要找出两个只要找出两个数列数列,0 xxxnn都收敛于都收敛于 ,00 xxxxnn 且且)(),(nnxfxf 但但却收敛于不同的却收敛于不同的极限极限,或者找出或者找出一个数列所对应的函数值数列发散即可一个数列所对应的函数值数列发散即可. .2.2 函数的极限函数的极限34例例.1sin,0的极限不存在的极限不存在函数函数时时证明当证明当xx 证证 取取 nx,1 n nx, 0lim nnx, 0lim nnx,