微积分：第四章 定积分习题课

1、1第四章 定 积 分 习 题 课小 结典型例题2小结小结1. 对称区间上的积分对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数考察被积函数是否为奇偶函数,第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课用奇偶函数用奇偶函数的的“特性特性”处理处理.2. 分段函数的积分分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点的端点,然后按段积分求和然后按段积分求和.3. 被积函数带有绝对值符号的积分被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号注意符号!)4. 被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”

2、的积分的积分用分部积分法做用分部积分法做,将积分上限的函数取作将积分上限的函数取作u.3二、典型例题二、典型例题例例计算计算.d)()1(112 xxfx解解分析分析被积函数含有抽象因子的积分被积函数含有抽象因子的积分, 通常是通常是用奇偶性积分的用奇偶性积分的“特性特性”处理处理.下面证明下面证明)(xf为奇函数为奇函数.令令, 0 y则则又又即即可知可知)(xf为奇函数为奇函数. 112d)()1(xxfx于是于是0第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课有有且对任何且对任何上连续上连续在在设设yxxf,),()( ),()()(yfxfyxf )0()()(fxfxf 0)0( f),(

3、)()(xfxfxxf , 0)()( xfxf4.43 解解x4sin则则xxxd)tan1(sine4 xxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 221434 xxtansin4是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数, 原式原式e e 2 22n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn由于被积函数以由于被积函数以 为周期为周期,xxxd)tan1(sin)2(2ee4 计算计算xxxd)tan1(sin2e4 xxxd)tan1(sinee4 周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等.例例5例例.d)()1(,

4、d)(102022 xxfxyexfxyy求求设设解解d022 xyyye10023d)1(312 xyyyex 102)1(31xux 2)1(令令 01d6uueeu).2(61 eu 1023d)1(312xexxx1)1(2 xe)1(d2 x 21 102)1(x原式原式xd3)1(d x31 1002d2xyyye0第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课6例例解解 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf.d)2(, 5)

5、2(, 3)2(10 xxfxff求求, 1)0(,1 , 0)( fxf且且上连续上连续在在设设7例例 10d|txtt解解计算定积分计算定积分令令0 xt,0时时当当 x 10d|txtt 10d)(txtt231x ,10时时当当 x 10d|txtt x0ttxtd)( 1xtxttd)( 31233 xx,1时时当当 x 10d|txtt 10d)(ttxt312 xxt 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课8例例解解.dcossinsin20 xxxx求求,dcossinsin20 xxxxI由由,dcossincos20 xxxxJ设设 JI则则 20dcossincossi

6、n xxxxxJI 20cossin)sin(cosd xxxx. 0 ,22 I故得故得.4 I即即,2d20 x第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课9例例.)()(dd)(. 0)(,)(2abxfxxxfxfbaxfbaba 证明证明且且上连续上连续在区间在区间设设证证 作作辅助函数辅助函数 ttfxfxFxad)(1)()( ttfxfxad)()( xaxfttf)(1d)()(2ax xatxftfd)()(,d2 xattxftftfxfxad)2)()()()( )(xF2)()(dd)(abtftttfbaba xxx第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课10txftf

7、tfxfxFxad)2)()()()()( 即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()(dd)(2abxfxxxfbaba 即即0)1(212 aaaa21 aa0 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课 )(xF2d( )d()( )xxaatf ttxaf t11例例解解为为其中其中设设 204)(,d)(2cos)( xfxxfxxf).(,xf试试求求连连续续函函数数 20,d)( Axxf令令Axxf2cos)(4 xAxAd)2(cos204 ,22143A ,)1(163 A.)1(83

8、cos)(4 xxf则则xd20 xd)(20 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课12例例解解)(, 0)0(,1 , 0)(xffxf又又且且上上可可导导在在设设函函数数 ).(, 5)d)()(2110 xfxxfxf试求试求 10,25d)()(xxfxf设设 10,d)(Axxf则则Axf25)( CxAxf 25)(xAxf25)( AxxAA225d2510 由由25 Axxf25)( 满足关系满足关系:0 C00第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课13例例解解).(,dsin11)(02dsin022xFtttxFxtt 求求设设 xttxu02dsin)(令令 xtt

9、xu02dsin)(而其中而其中 )(xF xx2sin2121)(sin)(1122xuxu x2sin 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课14且且设设),( Cf xttfxtxF0.d)()2()( 证明证明 (1)若若)(xf)(xF 是偶函数是偶函数, 则则 也是偶函数也是偶函数;(2)若若)(xf 是单调递减是单调递减,)(xF 则则 也是单调递减也是单调递减.例例证证 (1) xxttfxtttfxF00d)(d)(2)( xxttfxtttfxF00d)(d)(2)( xtttf0d)(2ut xuufu0d)()(2utdd xuuuf0d)(2 xttf0d)(ut

10、utdd xuuf0d)( xuuf0d)(ttttt).()(xFxF 由于由于 也是偶函数也是偶函数;)(xF 则则第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课15且且设设),( Cf xttfxtxF0.d)()2()( 证明证明 (2)若若)(xf 是单调递减是单调递减,)(xF 也是单调递减也是单调递减.例例 则则 )(xF )(2xxf xttfxxf0d)()(证证 积分中值定理积分中值定理)()( xfxxf x 0)()( fxfx 0 (2) xxttfxtttfxF00d)(d)(2)()(xxf xttf0d)( xtxf0d)( xttfxf0d)()(,0时时当当xt

11、0)()( tfxf0 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课16例例2002年考研数学年考研数学(四四)6分分,)(),(上连续上连续在在设函数设函数baxgxf, 0)( xg且且 利用闭区间上连续函数的性质利用闭区间上连续函数的性质, 证明存在一点证明存在一点使使,ba xxgfxxgxfbabad )()(d)()( 证证最值定理最值定理上上在在,)(baxf 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m,)(xf)(xg)(xg)(xg mM baxxgxfd)()(xd baxd baxd ba baxxgd)(M m介值定理介值定理,ba )( f即证即证. babaxxgxxgxf

12、d)(d)()(第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课17例例解解对一切实数对一切实数 t ,函数函数f(t)是连续的正函数是连续的正函数,且可导且可导,),()(tftf 又又函数函数 aattftxxg,d)(|)()0( , aaxa证明证明)(xg(1)是单调增加的是单调增加的;(2)(3) 将函数将函数)(xg 的最小值作为的最小值作为a的函数的函数,它等于它等于1)(2 aaf时时,).(tf求求(1) )(xg xattfd)()(tx axttfd)()(xt xattfxd)( xatttfd)( axtttfd)( axttfxd)(求出使函数求出使函数 取最小值的取最小

13、值的 x值值;)(xg0 tx第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课18 )(xg xattfxd)( xatttfd)( axtttfd)( axttfxd)( )(xg xattfd)()(xxf )(xxf )(xxf axttfd)()(xxf xattfd)( axttfd)( )(xg)(xf)(xf )(2xf 0 故故)(xg 函数函数f(t)是连续的正函数是连续的正函数第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课19(2) 求出使函数取最小值的求出使函数取最小值的 x值值;, 0)( xg令令即即 xattfd)( axttfd)( xattfd)(ut )d)(uufutdd

14、 ax axuufd)( axttfd)()()(tftf axttfd)( axttfd)(0)( tfxx 0 x axxattfttfxgd)(d)()(第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课20)(xg(3) 将函数将函数的最小值作为的最小值作为a的函数的函数,它等于它等于1)(2 aaf时时,).(tf求求 aattftgd)(|)0(1)(2 aaf即即0 t 0d)()(attft atttf0d)(1)(2 aaf两边对两边对a求导求导, 得得 )1()(aaf )(2aafaaf2)( )()(tftf aaf2)( )(aaf )(afaaaf2)(2 aafaf21)(

15、)( aattftxxgd)(|)(第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课21aafaf21)()( 两边积分两边积分,得得Caaf 21)(ln 0d)()(attft atttf0d)(1)(2 aaf0000, 1)0( f代入上式代入上式,得得2ln C故故 2ln21)(aeaf12)(2 tetf即即22ae第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课22例例证证,)1 , 0(,1 , 0)(内可导内可导在在连续连续在在设设xf且且 132),0(d)(3fxxf,)1 , 0( 内存在一点内存在一点证明在证明在. 0)( f使使由积分中值定理得由积分中值定理得)(31d)(113

16、2 fxxf 1 ,321 ),0()(1ff 上上在在, 01 用用罗尔定理罗尔定理得得,), 0(1 存在存在使得使得. 0)( f),1 , 0( 第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课23xeexxxnnd1lim10 求求 因为因为1,0 x时时, ,所以所以xeexxxnd110 0 xxnd10 11 n利用利用夹逼准则夹逼准则得得 xeexxxnnd1lim10例例解解 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项. . px 11ppxx 11)10( x1 px1注注 如如)0(11d110 pxxppp证明证明0 xxneex 1,n

17、x 0第四章第四章 定积分定积分 习题课习题课24例例 解解 nnnnn12111lim求极限求极限此极限实为一此极限实为一积分和的极限积分和的极限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定积分是代数和的推广定积分是代数和的推广,无穷小无穷小的的无限项无限项的代数和的代数和.即它表示每项为即它表示每项为用定积分求极限时用定积分求极限时,需将需将(1)式中的两个式中的两个任意量任意量 用特殊的值处理用特殊的值处理.10 x 11 4.2 微积分基本公式微积分基本公式25)21(lim2n

18、nnn 求极限求极限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni .32 4.2 微积分基本公式微积分基本公式2626考研数学考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题 nnnnnncos12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式.22 xx dcos1 10 4.2 微积分基本公式微积分基本公式2727解解 10dsinelimxnxxn考研数学考研数学(二二), 填空题填空题, 4分分原式原式=)d(x e0 10sinlimnxn dcosesine lim1010 xnxnnxxxn dco

19、sesine lim101xnxnnxn dsinecosesinelim102101xnxnnxnnxxn dsinecosesinelim10211xnxnnnnnxn 10dsinelimxnxxn11cossine1lim22nnnnnnn . 0 或先不定积分的分部积分再定积分或先不定积分的分部积分再定积分.例例2828考研数学一至四考研数学一至四, 选择题选择题, 4分分 如图如图, 连续函数连续函数 y = f (x)在区间在区间 3 , 2,2, 3 上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的上、下半圆周的上、下半圆周, 在区间在区间2 , 0,0 , 2 上的图形分别是直径

20、为上的图形分别是直径为2的下、上半圆周的下、上半圆周.,d)()(0 xttfxF设设 则下列结论正确的是则下列结论正确的是).2(43)3()A( FF).2(45)3()B(FF ).2(43)3()C(FF ).2(45)3()D( FF3 2 1O 123xy 4.2 微积分基本公式微积分基本公式29292009年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1则函数则函数 xttfxF0d)()(的图形为的图形为)B( 1O 1 2 3x)(xF 1)A( 1O

21、 1 2 3x)(xF1 )C( 1O 1 2 3x)(xF 1)D( 1O 1 2 3x)(xF 1 4.2 微积分基本公式微积分基本公式30302009年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1则函数则函数 xttfxF0d)()(的图形为的图形为)D( 1O 1 2 3x)(xF 1此题为定积分的应用知识考核此题为定积分的应用知识考核, 由由y = f (x)的图的图形可见形可见,其图像与其图像与x轴轴, y轴及轴及0 xx 所围图形面积的所围图形面积的代数和为所求函数代数和为所求函数F(x).从而可得出几个方面的特征从而可得出几个方面的特征:., 0)(,1 , 0且单调递减且单调递减时时 xFx., 0)(,2 , 1且单调递增且单调递增时时 xFx.)(,3 , 2为常函数为