微积分：第二章 函数与极限习题课

1、1第二章 函数与极限典型例题教学要求习 题 课2一、教学要求一、教学要求1. 理解函数的概念理解函数的概念.2. 了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性.3. 理解复合函数的概念，理解复合函数的概念，4. 掌握基本初等函数的性质及其图形掌握基本初等函数的性质及其图形.5. 会建立简单实际问题中的函数关系式会建立简单实际问题中的函数关系式.6. 理解极限的概念理解极限的概念.7. 掌握极限四则运算法则掌握极限四则运算法则.了解反函数的概念了解反函数的概念.第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课38. 了解两个极限存在准则了解两个极限存在准则,9.

2、了解无穷小、无穷大了解无穷小、无穷大,10. 理解函数在一点连续的概念理解函数在一点连续的概念.11. 了解间断点的概念了解间断点的概念,并会判定间断点的并会判定间断点的12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续会用等价无穷小求极限会用等价无穷小求极限.概念概念.类型类型.函数的性质函数的性质.以及无穷小的阶的以及无穷小的阶的会用两个重要极会用两个重要极限求极限限求极限.第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课4例例.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解二、典型例题二、典型例题 原式原式310sin1sintan1 limxxxxx 3

3、10limxx)1sin1tan1( xx 1)1( sin1sintan1 lim0 xxxx xxxsintansin1 31sin1sintanxxxx 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课5301sin1sintanlimxxxxx 301)sin1(cos)cos1(sinlimxxxxxx xxxsinlim0 2111 .21e 原式原式)sin1(cos1lim0 xxx 20cos1limxxx 21 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课6例例, 3)11(lim2 baxxxx已知已知. ba、求常数求常数解解原极限原极限=11)()1(lim2 x

4、bxabxax3 01 a3 ab 1 a4 b第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课7例例,1lim)(212为连续函数为连续函数设设 nnnxbaxxxf. ba、求求解解 )(xf 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(连续连续xf)01( f)01( f)1( f即即1 ba )1(21ba ,1时时 x第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课8 )(xf 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(连续连续xf)01( f)01( f)1(f 即即1 ba )1(21ba ,1时时 x1 ba

5、 )1(21ba 得得, 0 b1 a第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课9例例.1|1|12cos)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改写成改写成将将)(xf )(xf.),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf 11 xx2cos 1 x1 x1 xx 1),1 , 1( ), 1( 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课10,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx2 )(lim1xfx 2coslim1xx 0)(lim1xfx ,1)(间断间断在在故故 xxf )(xf 11 xx2cos 1 x1 x1 xx 1且为且为第一类第一类

6、 间断点间断点.跳跃跳跃)(lim1xfx 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课11,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(连连续续在在故故 xxf.), 1()1,()(连连续续在在 xf )(xf 11 xx2cos 1 x1 x1 xx 1)1(f 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课12bxaxxxp 232)(. 1,0 abxxxxp 232)().(xp, 2)(lim23 xxxpx,1)(lim0 xxpx求求设设ba,( (其中其中得得故

7、故)0(xx例例解解是多项式是多项式, ,且且设设为待定系数为待定系数) )第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课)(xpbxaxxxp 232)(13例例,等价无穷小等价无穷小是是与与时时已知当已知当1cos1)1( ,0312 xxx . 求常数求常数解解11cos1)1(lim3120 xxx 1)1(312 x 1cos x原极限原极限= 2202131limxxx 23 132 ,312x 221x 第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课1414考研数学一至四考研数学一至四(选择选择4分分)解解,0 时时当当 x221cos1xx x与与等价的无穷小量是等价的无穷

8、小量是.e1)A(x .11ln)B(xx . 11)C( x.cos1)D(x xx1e xnx111 nxx )1ln( 2.6 无穷小的比较无穷小的比较15求求的间断点的间断点, ,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf)1)(1(sin)1(lim1 xxxxxx,1sin21 x = 1为第一类为第一类可去间断点可去间断点,)(lim1 xfxx = 1为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点,1)(lim0 xfxx = 0为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点例例解解并判别其类型并判别其类型. .0, 1, 1 xxx是间断点是间断点, , 1 x0 x, 1 x01 1)1)(

9、1(sin)1()( xxxxxxf第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课, 1)(lim0 xfx16)1)()( xaxbexfx有无穷间断点有无穷间断点0 x及可去间断点及可去间断点, 1 x为无穷间断点为无穷间断点, ,0 x )1)(lim0 xaxbexx所以所以bexaxxx )1)(lim00 1,0 ba为可去间断点为可去间断点, ,1 x)1(lim1 xxbexx极限存在极限存在0)(lim1 bexxeebxx 1lim 设函数设函数试确定常数试确定常数a 及及 b. .ba 1例例解解第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课17例例,),()(内有定

10、义内有定义在在设函数设函数xf)()()(yfxfyxf .0)(点连续点连续在在且且 xxf证证 任取任取),(0 x设设,为增量为增量x )0()(lim0fxfx )(lim)(lim000 xfxfxx )(lim00 xxfx )(0 xf)0(0 xf)(0 xf 所以所以,.),()(连续连续在在xf对任意实数对任意实数x, y 满足关系式满足关系式处处连续处处连续.)0(f第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课内内在在试证试证),()(:xf)()(lim00 xfxfx 18例例).()21( 1 , 0),1()0(, 1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必

11、有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证证),()21()(xfxfxF .21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 令令第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课19则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由由零点定理零点定理知知,),21, 0( .)()21(成立成立即即 ff 综上综上,.)()21(成立成立使使 ff )0()21()0(ffF )21()1()21(ffF . 0)( F使使,1 , 0 21, 0 必有一点必有一点第一章第一章 函数与极限函数与极限 习题课习题课20设设)(xf在在,ba上连续上连续, ,且恒为正且恒为正, ,证明证明: : 对任意的对任意的, ),(,2121xxbaxx 必存在一点必存在一点, ,21xx 使使.)()()(21xfxff 令令则则,)(baCxF )()(21xFxF 221)(