几何与代数：2-5 矩阵的秩

1、2.5 矩阵的秩矩阵的秩一、一、 矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵矩阵A中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数r，称为，称为A的秩的秩显然对任意矩阵显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零的秩唯一，但其最高阶非零秩，记为秩，记为R(A) = r.定义定义子式一般不唯一子式一般不唯一.010.ArDrDArA 设设在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于 的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那么么称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵的的秩秩 矩阵的秩的另一种理解：矩阵的秩的另一种理解：例例.1745323

2、21的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3, 01 A且且. 2)( AR. 03221 174532321 11101110321 . 0 026328421421)3(;121842)2(;2211)1(CBA例例2 求矩阵的秩：求矩阵的秩：解解 易易）、（、（2)1(. 2)(3)3( ARC可得可得阶子式全为零，阶子式全为零，中所有中所有为什么？为什么？ ？阶子式不为零阶子式不为零所有所有？阶子式不为零阶子式不为零的所有的所有若若1, rrArAR：思考思考，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 011 50

3、2320231 解解计算计算A的的3阶子式阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 . 0 102120231 , 022031 . 2 AR基本结论与性质基本结论与性质.),(,)(.0004kARkkAR);,min()(nmARnmA05.阶阶矩矩阵阵，则则为为设设);()(ARARAT T，对任意矩阵对任意矩阵6.)(nARAn可可逆逆阶阶矩矩阵阵7.1. R(A)=0 A=O；2. R(A) r A有一个有一个r 阶子式不为零；阶子式不为零； 3. R(A) r A的所有的所有r +1阶子式全为零。阶子式全为零。 (满秩矩阵满秩矩阵可逆矩阵可逆矩阵 降秩

4、矩阵降秩矩阵不可逆矩阵不可逆矩阵)例例3 3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解是一个阶梯形矩阵，是一个阶梯形矩阵，B. 04阶子式全为阶子式全为的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR行，行，行有行有其非其非30二、矩阵秩的计算二、矩阵秩的计算对于对于行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵A, R(A) = A的非零行的行数的非零行的行数.定理定理1 1 初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。026328421421A3100000001421A 0000310001421解解所以所以 R(A) = 2.例例4 4 求矩阵的秩求矩阵的秩:R(

5、A) = r 经行初等变换能将经行初等变换能将A化为具有化为具有r个个非零行非零行 的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A解解2 . 2 AR 510231202231A,000031202231 936031202231显然，非显然，非0 0行的行数为行的行数为2 2，此方法简单！此方法简单！梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，化化成成阶阶对对A例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为设设分析：分析：的行

6、阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 00000100000120011221. 3)(, 2)( BRAR2322rrr 243rr 53 r34rr ARA则秩则秩已知已知11010011000011000011001011101001100001100001100101 A110011101 1101 02 5 AR法法1 1 110100110000110

7、0011000101A 1110001100002000011000101法法2 2 1101001100001100001100101A 1110001100002000011000101 1100001000001000011000101 1000001000001000011000101 5 AR 对任意矩阵对任意矩阵A, 证证 因为因为Q可逆，存在初等矩阵可逆，存在初等矩阵E1, , Et使得使得Q= E1 Et， AQ =A E1 Et，即即 AQ 为为A经列初等变换所得经列初等变换所得. 故故 R(AQ)= R(A).同理可证其他同理可证其他.R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=

8、R(A)，其中其中P, Q分别为可逆矩阵分别为可逆矩阵.推论推论三、矩阵的标准形（分解）三、矩阵的标准形（分解）.)(,标标准准形形即即任任何何矩矩阵阵都都等等价价于于其其的的标标准准形形称称为为其其中中使使得得都都存存在在可可逆逆矩矩阵阵对对任任意意矩矩阵阵AOOOIrARQOOOIPAQPArnmrnnmmnm rAROOOIKASSKnmr )(,使得使得即，存在可逆矩阵即，存在可逆矩阵(问：矩阵等价的充要条件是什么？问：矩阵等价的充要条件是什么？)(A与与B等价等价存在可逆的存在可逆的P,Q使得使得A=PBQ)定理定理2 2证证 OOOIAr列变换行初等变换简化行阶梯形（为什么？为什么

9、？） ,)()(,.;,.,1111 OOOIFFAEEFFEErsksk使得存在初等矩阵.,.;,.,11OOOIKASFFSEEKrsk使得存在可逆矩阵r = R(A). 推论推论 同型矩阵同型矩阵A与与B等价的充要条件是等价的充要条件是R(A)=R(B).例例6 设设,026328421421A求求A的标准形的标准形. 3100000001421A,0000310001421 R(A) = 2. 0000001000012OOOI标准形为标准形为解解四、三个证明例子四、三个证明例子例例7 设设A为为n阶矩阵阶矩阵(n2)，证明，证明 . 1)(, 0,)(,)(*nARnARnAR证证

10、若若R(A)=n:,)(det*IAAA , 0|)(det|* nAIAAA.)(, 0|*nARA 即即所以所以 R(A) n-1 : detA0， A中所有中所有n-1阶子式均为零阶子式均为零， ,1111*OAAAAAnnnn . 0)(* AR例例8 证明证明).()(BRARBOOAR 证证.)(,)(21rBRrAR 设设存在可逆矩阵存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得使得,221121QOOOIPBQOOOIPArr 221121QOOOIPOOQOOOIPBOOArr 212121QOOQOOOIOOOOOIPOOPrr.2121rrOOOIOOOOOIBOOArr 秩秩所以，秩所以，秩可逆矩阵，可逆矩阵，为什么？为什么？?)()(, 是是否否相相等等