一元二次方程知识点和经典例题

1、元二次方程知识点和经典例题一元二次方程7 / 5定义：形如：ax2bxc0a0)的方程，叫做一元二次方程的一般式例题：若方程(m1)xm12x3是关于x的一元二次方程，求m的值.二.一元二次方程的解法(1)直接开方法：ax2c 0,开平方求出未知数的值:x(2)因式分解法：x2(mn)xmn0,因式分解得：(xm)(xn)0x1m,x2n(3)配方法：3x212x60，得：x24x2,.x24x(2)22(2)2即：(x2)26x12遍，x22<6(4)公式法:解法步骤：(1)先把一元二次方程化为一般式;2)找出方程中a、b、c等各项系数b2 4ac的值代入公和常数的值；计算出b24ac

2、的值；把a,b,式；求出方程的两个根.例题：解方程：x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：x24x120,方程中：a=1,b=4,c=-1246448=b24ac=(4)2-4X1X(-12)=16+48=64.x48=24212原方程根为：x12,x2-6.一元二次方程解法练习题：(1)用直接开方法解一元二次方程：Q)(2x-1)2=7(3x4)2(34x)2(x3)21440(2)用因式分解法解一元二次方程: 2(x+2)(x- 1)=(x+2)(x+4)1)3x(x1)x15x(x-3)=6-2x0(x 210(x 2) 25 0(x 1)(x 2) 2x 4(2x 5)2 (x

3、4)20(3)用配方法解一元二次方程：0x(x+4)=8x+12 6x2 x 12 0x22(, 2 1)x 3 2 2(4)用公式法解一元二次方程:3)(x 1)112x2-33x+130=0(5)选择适当的方法解下列方程0 (x 2)2 9x22x 9999(x 101)2 10(x 101) 9 042一一一1131114x6x90(5)x(3x7)2x(6)1x(x-)xx-222323三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把b24ac叫做一元二次方程：ax2bxc0(a0)的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：万程有两个不相等的实根;方程有

4、两个相等的实数根;方程无实数根.,、+人一、一当0时(1)当0时万程有两个实数根；r()当0时当b24actt值小于0寸，即：0时例1.不解方程判断下列方程跟的情况:(1)2x28x80(2)x24x120(3)2x23x20解：(1)方程中：a=2,b=-8,c=8,=b24ac=(-8)2-4x2X8=64-64=0V =0原方程有两个相等的实数根.(2)方程中：a=1,b=4,c=-12,=b24ac=(4)2-4X1X(-12)=16+48=64V >0.原方程有两个不相等的实数根.(3)方程中：a=2,b=-3,c=2,=b24ac=(-3)2-4X2X2=9-16=-7V &

5、lt;0.原方程无实数根.例2.关于x的一元二次方程(m1)x22(m3)x+m+2=0有实数根，求m的取值范围.解：当m1金0时，即：m1时，该方程是关于x一元二次方程.二.原方程有实数根0,即：A=2(m-3)24(m-1)(m+2)=28m+44011，11一斛得：m一一.m的取值氾围是m一且m1.77例3.求证：关于x的一元二次方程(k2)x22(k1)x+k1=0(k3)总有实数根.证明：:b24ac=2(k1)24(k2)(k1)4(3k)且k3,总有0关于x的一元二次方程(k2)x2-2(k1)x+k1=0(k3)总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程

6、ax2bxc0(a0且b24ac0)的两个根分别为x1和x2,则:bocxdxx?x-12a12a特别地：对于一元二次方程x2pxq0,根与系数的关系为：Xix2p；XiX2q注：(1此定理成立的前提是0.也就是说必须在方程书头契恨时才可使用.2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。2.根与系数关系的应用举例(1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根；例1.已知关于x的一元二次方程x2+4xp=0的一个根是2,求该方程的另一根解：设方程的另一根为xi,则Xi+2=-4,Xi=-6.,方程的另一根为-6.例2.已知方程4x211x60有一个根是2,求它的另一个根.解：是它的另一个根是x1,则

7、2-x1=-,x1=3.方程的另一根为-.444注：本题也可由x1+2=U求出x1=344(2)已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；例3.已知一元二次方程的两根分别为4和1,求这个方程.5210x227x280.例5.已知两个数的和是5,这两个数的积是6,求这两个数.解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：xi+x25,xi-x26这个一元二次方程为：x25x60,解这个方程得：xi2,x23.二所求的两个数分别为2和3.(4)利用根与系数关系求方程中的未知系数；例6.已知方程2x2kx90的一个根是3,求另一根及k的值.例7.已知关于x的方程x

8、23xm0的一个根是另一个根的2倍，求m的值.(5)利用根与系数关系求代数式的值；例8.若为？2是方程x22x20120的两个根，求下列各式的值:g22G11Gx1x2;一一；(x15)(x25);|x1x2|.x1x2注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：22为x2(x1x2)22x1x2,| K x2 | ' (x1 x2)2 4x1 用11x1 x2，x X2xx22 2(x1 x2)(x1 x2)4x1x2 ,、3(x1 x2)3*送2(不22x1 x2x1 x2x1 x2( x1x2)根与系数的关系充分体现了整体代换的思想.(6)运用根的判别式和根与系数的关系解综合题例9.已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm20有两个实数根x1和x2.求实数m的取值范围；当x2x0时，求m的值.1c例10.已知关于x的万程x(k1)x-k10,根据下列条件，分别求出k的化4(1方程两实根的积为5;方程的两实根x1,x2满足|x1|x2.例11.已知一元二次方程x22xm0.(1若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为x1，x2,且x1+3x2=3,求m的值.例12.已知关于x的一元二次方程x2=2(1m)xm2的