三角形内角和定理的证明

1、三角形内角和三角形内角和定理的证明定理的证明w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法中的具体做法.w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证); 回顾与思考回顾与思考w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否

2、正确检查表达过程是否正确,完善完善. 回顾与思考回顾与思考 我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于1801800 0. .你还记得这个你还记得这个结论的探索过程吗结论的探索过程吗? ?112ABD23C(1)(1)如图如图, ,当时我们是当时我们是把把AA移到了移到了11的位的位置置,B,B移到了移到了22的位的位置置. .如果不实际移动如果不实际移动AA和和B,B,那么你还有那么你还有其它方法可以其它方法可以 达到同达到同样的效果样的效果? ?(2)(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理, ,你能用自己的语言说说这一你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗结论的

3、证明思路吗? ?你能用比较简捷的语言写出这一证明你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗过程吗? ?与同伴交流与同伴交流. .三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .w已知已知:如图如图6-9,ABC.w求证求证:A+B+C=A+B+C=1800.w证明证明:作作BC的延长线的延长线CD,过点过点C作作CEAB,则则 例题例题欣赏欣赏P207w 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.w 1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 2= B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相

4、等).w 又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义),w A+B+ACBACB=1800 (等量代换等量代换).w分析分析: :延长延长BCBC到到D,D,过点过点C C作作射线射线CEAB,CEAB,这样这样, ,就相当就相当于把于把AA移到了移到了11的位置的位置, ,把把BB移到了移到了22的位置的位置. .这里的这里的CD,CE称称为辅助线为辅助线,辅助线通常辅助线通常画成虚线画成虚线.ABCE213D一题一题 多多解解w在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角小明的想法是把三个角“凑凑”到到A处处,他过点他过点A作直线作直线PQBC(如图如图)

5、,他的想法可他的想法可以吗以吗?议一议议一议P208w请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动.w小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你受到由此你受到什么启发什么启发?你有新的证法吗你有新的证法吗?w证明证明:过点过点A作作PQBC,则则ABCw 1=B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义),w BAC+B+CC=1800 (等量代换等量代换).所作的辅助所作的辅助线是证明的线是证明的一个重要组一个重要组成部分成部分,要要在证明时首在证明时首

6、先叙述出来先叙述出来.PQ231w根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明写出相应的证明. 试一试试一试P211w 你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B

7、).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 三种语言三种语言ABCw1.直角三角形的两锐角之和是多少度直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形等边三角形的一个内角是多少度的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论.w已知已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.w求证：求证： ADE=ADE=500. 随堂练习随堂练习P208DCBAEABCABCw结论结论: : 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角

8、互余. .以后可以后可以直接运用以直接运用. .用运动变化的观点用运动变化的观点理解和认识数学理解和认识数学w在在ABC中中,如果如果BC不动不动,把点把点A“压压”向向BC,那么当点那么当点A越越来越接近来越接近BC时时, AA就越来越大就越来越大( (越来越接近越来越接近181800),而而BB和和 C,C,越来越小越来越小( (越来越接近越来越接近00).由此你能想到什么由此你能想到什么?w如果如果BC不动不动,把点把点A“拉离拉离”BC,那么当那么当A越来越远离越来越远离BC时时,AA就越来越小就越来越小( (越来越接近越来越接近00),),而而BB和和CC则越来越大则越来越大, ,它们的和越来越接近它们的和越来越接近1800, 当把点当把点A A拉到无穷远时拉到无穷远时, ,便有便有ABABAC,AC,BB和和CC成为同旁内角成为同旁内角, ,它们的和等于它们的和等于181800.由此你由此你能想到什么能想到什么? 读一读读一读P207CBACBA回味无穷 掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理.结论: 直角三角形的两