三重积分的计算方法小结与例题7

1、重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分ff(x,y,z)dz,再做二重积分JJF(x,y)db,就是“投Z1D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成"后二”这一步。f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dzdcDZiC2如果先做二重积分Jf(x,y,z)d仃再做定积分JF(z)dz,就是“截面Dzci法”，也即“先二后一”。步骤为：确定

2、位于平面Z=C1与Z=C2之间，即zwGG,过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分口f(x,y,z)db,完成了“先二”DzC2这一步(二重积分)；进而计算定积分jF(z)dz,完成“后一”这一步。CiC2IIIf(x,y,z)dv=.f(x,y,z)d；=dz1 CiDz当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且的面积Wz)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较

3、多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2十y2),f。)时,x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3)是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2+y2+z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1 .对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：是在z处的截面，具边界曲线方程易写故，故较难一些。特殊地，对积分时，f(x,y,z)与x

4、,y无关，可直接计算Sdz。因而中只要za,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2 .对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2+y2)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分I=JJzdxdydz,其中为平面x+y+z=1与三个坐标面x=0,y=0,z=0围成的闭区域。1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0-z-1-x-yx+y+z=lZb0MxM1D:0_y_1-x0<y<1-x0_z_1-x-y3.计算11_x1-x-y11_x/11、2,1I=zdxdyd

5、z=dxdyzdz=dx一(1-x-y)dy=(1-工0000022。/11313231411(1-x)dxx-xx-x0=6062424解2“截面法”1.画出。2.zw0,1过点z作垂直于z轴的平面截得。是两直角边为x,y的直角三角形，x=1-z,y=1-zzJK3.计算111I=口zdxdydz=ffzdxdydz=zz口dxdydz=zzSDzdz；：:0Dz0Dz01111=z(-xy)dz=z-(1-z)(1-z)dz=0202-(z-2z2z3)dz二2024补例2:计算用"x2+y2dv,其中是x2+y2=z2和z=1围成的闭区域2y21.画出及在xoy面投影域D.消去

6、z,得x2+y2=1即D:x2+y2M12.“穿线”vx2+y2<z<1,一1«x«1X型D：,W-xSy<v1-xC:4v1x2<y<，1x2/x2+y2<z<13.计算1.，1_x111_x2_in-,x2y2dv=dxdyx2y2dz=dxx2y2(1-?；,x2y2)dy:fl工_1/2x2y2_726注：可用柱坐标计算2. zw0,1过点z作垂直于z轴的平面截得：x2 +y2 < z21.画出。解2“截面法”0W日E2几<0<r<z012二用柱坐标计算Q>0<r<z0<z&l

7、t;13.计算r3zdz =112二z11!.x2y2dv=11>.x2y2dxdydz=.d-,r2drdz=2二0Dz00003补例3:化三重积分I=口f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中:Qz=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域解：1.画出及在xoy面上的投影域D./=x2+2y2由z=2-x2消去z,得x2+y2=1即D:x2+y2W12 .“穿线”x22y2<z<2-x2-1WxW1X型D:“'1-x2 WyW、1-x之«、；1x2<y<Vlx22_2_2x+2y<z<2-x11_x22_x23 .计算I=Jf

8、(x,y,z)dxdydz=JdxJdyJf(x,y,z)dz_22i.l_1/2x2y注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4:计算JJJzdv,其中为z=6-x2-y2及z=、x2+y2所围成的闭区域解1“投影法”"1.画出及在xoy面投影域D,用柱坐标计算x=rcos二由y=rsin8化的边界曲面方程为：z=6-r2,z=rz=zz6r2"0<6<2n2.解Jz-6r得r=2.D:rE2即,0z=r0<r<21J0<6<2H“穿线"r<z<6-r2.G-0ErE2j<z<6-r2

9、_2_2_6-t2-：-：26-r2,126r23.计算zdv=zdzrdrd二-drdrzdz=2二r一zrdrDr00r02r5)dr =92二 322二瘟jr(6r2)2-r2dr=逑j(36r13r200z = 6 r2及z = r 围成。1.画出。如图：由解2“截面法”2.z0,6=0,22,6-1'12由z=r与z=2围成；zW0,2,：r<z012二:0MrMz0<z<2由z=2与z=6r2围成；zw2,6,:r<j6-z0<Q<2n:0<r<v6-z2MzM6J263.计算zd=111zdv-111zdv=ziirdrdi

10、dz-z11rdrdidzT'20Dzi2Dz292冗3262626=fzSDzidz+JzSDz2dz=jzn(z2)dz+fzn(<6-z)2dz=zjz3dz+兀j(6z-z2)dz=020202注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5:计算m(x2+y2)dv,其中由不等式0Mawqx2+y2+z2MA,z<0所确定。Zx=cossin解：用球坐标计算。由4y=Psin日sin小得的边界曲面的球坐标方程：aWPWAz=Pcos4PWG,连结OP二,其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为，连结OP',其与x轴正向的夹角X。K1冗aMPMA,0<*<,0<0<2n2二万A2,1.1.1(x2y2)dv=dd：'!(P2sin2)P2sindP=2二sin35Ad(；00a052=(A5-a5)sin3d=-(A5-