上海大学数学分析历年考研真题版

1、.word格式.上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析专业.专注1、设ynxi2x2|nxnn(n1)limxn=a,证明n；.(1)当a为有限数时，nim，(2)当a="时，limyn=-n举二2、设f(x)在0,1上有二阶导数(端点分别指左、右导数)，f(0)=f(1A0且mnf(x)=-1证明：maxf”(x)>83、1证明：黎曼函数R(x)=1q,0,xj(q>0,p,q为互质整数)在h1上可积.当x为无理数4、证明：lim"1fxdxnnf(0)，其中f(x)在1,1上连续.thT2x25、n1设an=ln1"."1npI,

2、讨论级数Zan的收敛性.6、-bo设(X(x)dx收敛且f(x)在0,y上单调证明：lim.hZf(nh)=f(x)dx.h)0'nm07、计算曲面x2+y2+z2=a2包含在曲面+4=1(0<bWa)内的那部分的面积.ab皿的值.k-bo8、将函数f(x)=x在b,2n上展成Fourier级数，并计算级数Zk=1上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、计算下列极限、导数和积分1计算极限lim_x)x;x2，一t,(t<1)(2)计算中(x)=fdt的导致邛(x)淇中f(x)=420t21,(t1)(3)已知|工arctan(72tanx)1=1，求积分I=广1d

3、x.1/21sin2x01sin2x2(4)计算f(t)=口(xyz)dxdydz(t>0)的导数f'(t)(只需写出f'(t)的积分表达x2y2''z2<t2式).a，b一2、设f(x)在la,b上连续，在(a,b)上可导，若f(a)f(b)>0且f(2)=0,试证明必存在1气a,b)使得f1(七)=0.3、令F(x,y)=y+xey-1(1)、证明：Fx,11<0,xWf-,I;F1x,31>0,x=I-,L212122_1212(2)、证明：对任意的xwI,I,方程F(x,y)>0在yW,I中存在唯一的解.121222y

4、(x).(3)、计算y(0)和y"(0).4、一致连续和一致收敛性、函数f(x)=x2在10,1上是一致连续的，对3=10”,试确定6>0，使得当一e.33.2-22 2.n x 1(2)、设 fn(x) =32 n x0EXi<x2E1,且Xi_x<b时有x1-x2<10.,xW卜11门=1,2,|,证明：fn(x)在0,1上是内闭一致收敛的，但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数(1)计算第二型曲线积分I=工门xdy-ydx其中L是逐段光滑的简单闭曲线，原点属于L2n，L)x2+y2,.word格式.围成的内部区域，(L)的定向是逆时针方向.(2

5、)设p(x,y),q(x,y)除原点外是连续的，且有连续的偏导数，若：-ptq<a>=,x,yii.0,0.:y；:xx=cost<b>pdy+qdx=c=0,其中(L)的参数方程,(0WtW2n)Ly=sint证明：存在连续可微函数F(x,y),(x,y(0,0b使得干一 二P x,y:x=q x ,y -22.2二 x y专业.专注上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、求值和p使得当x->+笛时，无穷小量jx7r+jx二？-2jx等价于无穷小量o(xB2、22一一.一2一求椭圆Ax+2Bxy+Cy=1所围成的面积S淇中Aa0,ACB>0,A,B

6、,C均为常数.试给出三角级数a0/(a2n cosnx +bn sin nx)中系数的计算公式(不必求出具体值，使得该级数在10,1】上一致收敛到x2,并说明理论依据。证明：f (x)=4R_ x _ e sin x函数在(,+00x 一冗设f(x)在b,1】上有连续的导函数f (x)f(0) = 0 ,证明：121120f(x)dx-20f(x)d证明：当xW1,yW1时，有不等式(x2-y2)2<2+y27、设f(x)在(a,b)上连续，并且一对一，(即当x1,x21s(a,b),且#x2时有f(x1)#f(x2),证明：f(x)在(a,b)上严格单调.上海大学2003年度研究生入学

7、考试题1、证明与计算(1)对于任意的aA0,证明：limn/a存在，并求之.n(2)设 xn=*n£ka,(o(>0,n=1,2,.,)，证明：limxn存在并求之.2、判断下列结论是否正确，正确的请证明，错误的请举出反例qQqQ(3)存在级数fun使得当n-*+g时，un不趋于0,但fun收敛.n=4n=4*bo(4) sin2xdx是收敛的.-01X2(5) limesinnxdx=0(此题只需指明理论依据)x:：13、计算(6) Hxdydz+ydzdx'zdxdy,其中S为曲面:1-z=x2+y2,(z")的上侧.S2222(xyz)2将把f(x)=x

8、在L,n】上展成Fourier级数，并由此计算£口kk'4、证明：(8)设函数f(x,y)=M,证明：它在(0,0)上连续且有偏导数fx(0,0),fy(0,0),但是f(x,y)在(0,0)不可微.(9)设函数f(x)在b,i】上黎曼可积证明：f2(x)在b,i上也是黎曼可积.1(10)当x>0时，证明：In(1+xX<1.1 1aa(11)设f(x)在b,a上连续淇中aA0,证明：f(0)<-ff(x)dx+ff'(x)dxa(12)设函数F(u,v,w)有连续的偏导数，证明：曲面F,-,-=0上各点的切平面都交sy于一点，并求出交点坐标2 2一

9、.一2一(13)设闭曲线L:Ax+2Bxy+Cy=1,其中A>0,ACB>0,A,B,C均为常数.记(x1,Y1)和(x2,V2)分别表示曲线的最高点和最低点证明：yy2<0.(14)如果函数列fn(x),n=1,2,.,在0,1上一致收敛，证明：fn(x)在0,1上一致有界即:存在M>0,使得fn(x)<M,对vxeIo,1,vn成立.(此题好象缺少条件)进一步问，如果函数列在0,1上点点收敛，结论是否成立，请证明你的结论.(15)设函数f(x)在0,收)上连续，/(x)dx绝对收敛证明：nxnmif(n2)g(x)dx=f(0)10g(x)dx上海大学2004

10、年度研究生入学考试题数学分析n111、判断数列sn是否收敛淇中Sn=£+,证明你白结论.心2k3k12、在0,1】区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列a,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列an)必有收敛子列.3、设函数在10,1】上连续，f(0)=f(1),证明方程f(x)=f(x+1)在0,1上一定有根.34、证明:达布定理：设f(x)在(a,b)上可微，%,x2w(a,b),如果f'(x1)f'(x2)<0,则在为？2之间存在一点，使得f()=0.5、给出有界函数f(x)在闭区间Q,b】上黎曼可积的定义，并举出一个Q,b】有界但是不可积的函数的例子，

11、并证明你给的函数不是黎曼可积的6、闭区间Q,b】上的连续函数f(x)，如果积分ff(x)邛(x)dx=0对于所有具有连续一阶a导数并且9(a)=%b)=0的函数中(x)都成立，证明：f(x)=0.二sinx7、判别广义积分dx的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论0x8、证明：1 xcost 二叫 l?vdt=5(-1)n12n 1-be计算：工n=010、试将函数f(x)=x在0,n上展开成余弦级数，并由此计算1- 2(2k 1)111 F)"325211、函数歹Ufn(x),n=1,2,，在0,1上连续，且对任意的xw0,1,fn(x)上3f(x),问f(x)是否也在0,1上连续，证

12、明你的结论.12、设函数f(x,y)=x3+y3-3xy,请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数13、求解viviani问题，计算球体x2+y2+z2Wa2被柱面x2+y2=ax所截出的那部分体积.14、曲线积分您邙1y是否与路径无关，其中曲线L不过原点，证明你白结论.Lxy15、设函数f(x)可微，若f(x)+2f'(x)一七30,证明：M“x)=0.上海大学2005年度研究生入学考试题数学分析1、设函数f(x)在(0,+笛)内连续，limf'(x)=0，求lim上区.x.x.x2、设函数f(x)在0,21有二阶导数，在0,21上f(x)<

13、;1,f“(x)=1,求证：f'(x)M2.3、若、(x)dx收敛，limf(x)=0一定成立吗？举例并说明理由.0x,.word格式.20054、f(Sn2005nln f (x)dx二e°5、证明：xe "axdx 在 0 < a0<a < +=c上一致收敛，但0 <a c 上不一致收敛.6、给出在I上一直连续的定义并证明g(x) =x(x-1)在0,+s)上一致连续.7、limVx2+x+1axb=0,求a,b的值.x_,8、把f(x)=1 xw00,L n,0 i展成fourier级数，并证明：数学分析专业.专注2n 1二二4sin1

14、9、求fx2dydz+y2dzdx+z2dxdy,£:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2外侧.10、Ax2+By2+2Cz2=0是椭圆方程，求证：椭圆的长半轴l=.其中k是方程kk2 ACk2 +B=0的最小根.11、物Ja1 +a2 +an) =a,证明:Jjm"2a2 1'nan存在,并求之.12、a cn 1x sin 一 x0x - 0, m ,，问a在什么氾围内x = 0f(x)在x = 0可导：在什么范围内f (x)x=0连续.13、f(x)=lnx+f(x)dx,求(f(x)dx.14、已知f(x) , g(x)在kb1上连续，f (x)

15、> 0, g(x)不变号，求nlim/nf (x)g(x)dx.15、f(x)在I上连续，F1(x)=f(x),Fn书(x)=(Fn(t)dt(n之1)求证：Fn(x)在I上一致连续.上海大学2006年度研究生入学考试题.word格式.计算1、求极限x2xsin x e-1lxm ?一2、+ +.1 4 4 7 7 10(3n -2) (3n 1)十 的和。.3、设y=y(x)是由方程ex4y -xy =e确定的隐函数，求y=y(x)的图形在点(01)处的切线方程。4、求定积分学静xdx5、将f(x) = n x(冗Ex工冗)展开为周期2n的Fourier级数，并由此计算12心(2k-1

16、)26、设 a,b,c 是已知的个正常数，求元函数 f(x,y,z尸ax+by+cz在约束条件7、8、9、x2 +y2 +z2 =1下的最大值和最小值。、计算和证明设0 :二x1 ：二1, xn 1 = xn(1 -xn)。证明收敛，并求它的极限。设f(x)在a,b上有定义，且在a,b的每一点都有有限极限(在区间端点处指单侧极限)。证明f(x)在a,b上有界。若f(x)和g(x)在(一吗收)上都一致连续，能否推断出f(x)+g(x)和f(x)g(x)在(-00 rHe)上也致连续？请给出根据。10.求z=x2 + y2三个坐标平面x2 + y2 = 4所围的体积11 . xdly - ydx1

17、 b a1 x -x ,12.求 fdx0 ln xb>a>0专业.专注二、证明13.设f(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且f(1)=0,证明存在(0=(0,1),使If()f()=011nk14.f(x)在(0,1单倜，且广乂积分f(x)dX攵敛，证lim,£f(k)存在，并确定此极限0n.二n理n值。oO15、设un(x),vn(x)在(a,b)连续，un(x)Evn(x)对Vn成立，若工vn(x)在(a,b)点点收敛于n=1QO一个连续函数，证明：£un(x)也必点点收敛于一个连续函数n=4上海大学2007年度研究生入学考试题数学分析1、已知有界

18、函数(xn】yn且lim(%yn)=0,证明：limxn,lim%是否存在，若存在，n,nj：n>说明理由，若不存在，举例说明.2、已知f(x)在0,1】连续，且f(0)=f问是否存在xn使f(xn+-)=f(xn),若存在说n明理由.3、试证明导数的零点定理：f(x)在(a,b炳可导，且f(x)在(a,b)内有两点的导数值反号，试证明：3(a,b)使f'(与=0.0,x=04、已知邛(x)=<+2§1(a>1)求：5(0)且问中(x)在零点的的某邻域内Lxxsinx=0x是否单调？证明你的结论.5、叙述一致连续的定义，并问f(x)=Jx2+x在b,+如)上

19、是否一致连续？证明你的结论.xd.g(t)dt6、叙述在a,b上黎曼可积的定义，并问某g(x)在b,b上可积，g(x)=-是否成dx立.word格式.7、已知双曲线x2-y2=1,在双曲线上任取一点，向双曲线的两条渐近线做垂线，使求这两条垂线与渐近线所围成图形的面积.18、计算：cos(可以用分数表不)，结果精确到0.01.10SoOX9、若工4收敛，lim=1.向工yn是否收敛，若收敛证明你的结论，若发散，举出例子.n4nb-ynn110、试叙述一致收敛的定义，并证明：fn(x)=xn在0,1】上不一致收敛，但在0,b】(b<1)一致收敛.11、(内道积分等于外道积分)内容不详12、不

20、详13、已知a0>0n,mwz、Q(x)=a0+a1x+”amxm若ym4Q(X)-A存在;且等于I.求A及I的值.14、若曲面xy-z=0及平面n：x+3y+z=0.问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面n垂直，若存在求出此法线及此点坐标，若不存在，说明理由.二.215、试问ee=dx是否收敛，若收敛，求其值.上海大学2009年度研究生入学考试题数学分析a12a2|l|nan1. liman=0,求lim2=0n-nn-n22. 叙述一致连续定义。问g(x)=C0S2x+C0SX2是否是周期函数？证之3. f(x)在%，收)可导，f(1)=1且f'(x)=一12一,证

21、limf(x)存在且极限小于xfxx二1 4专业.专注.word格式.专业.专注1ezsinxdx，误差<0.0005)x.xy5.f(x产C(0,f)f(1)=3，当x,y>0Tf(tdt=xf出+yf1Mtm，求f(x)6.f(x)在ta,b】可积.Jf(x)dx¥0,是否存在！,0kla,b,使k,B】上f(x)为通正或者恒负。证之二-n7.&在limxn=0的条件下，试问1)xn收敛吗？证之n，,二n48.f(x)在1,收)单减连续可微，limf(x)=0,x-r二证明：当xfxd收敛，则limxf401x_j:9.证明：fn(x)=)n,nT,2在0,1)非一致收敛，但gn(x)=xnS(x),n=1,2,在0,1)上一致收敛，其中S(x)在10,1)上连续且S(1)=010f(x产C01,证明:1m(n+1)foxnf(xJdx=f(1)11a<b,S=%(x)T(