概率分布与抽样培训课程

1、第四章第四章 概率分布与抽样概率分布与抽样 从这一章开始便进入推断统计学的内容，它会节从这一章开始便进入推断统计学的内容，它会节省人们的时间和财物最正确限度地认识研究对象。省人们的时间和财物最正确限度地认识研究对象。 现实世界包含的素材集合非常庞大，从中提取需现实世界包含的素材集合非常庞大，从中提取需要的信息非常困难。如：要的信息非常困难。如：选民人数：每个候选人的支持率是多少？选民人数：每个候选人的支持率是多少？产品：不合格率是多少？产品：不合格率是多少？环境：污染程度如何？环境：污染程度如何？市场：品种、价格、质量、购置力等情况的了解。市场：品种、价格、质量、购置力等情况的了解。 在这一章

2、里，你将会了解到样本是怎样抽取的，在这一章里，你将会了解到样本是怎样抽取的，样本统计量是怎样分布的，如何根据样本统计量对总样本统计量是怎样分布的，如何根据样本统计量对总体参数做估计。体参数做估计。2/21/20221主要内容主要内容 4.1 抽样的一般问题抽样的一般问题4.2 三种不同性质的分布三种不同性质的分布4.3 一个总体参数推断时样本统计量一个总体参数推断时样本统计量 的抽样分布的抽样分布4.4 两个总体参数推断时样本统计量两个总体参数推断时样本统计量 的抽样分布的抽样分布4.5 其他抽样方法其他抽样方法2/21/202224.1 抽样的一般问题抽样的一般问题w4.1.1 一个例子一个

3、例子w4.1.2 统计抽样的几个根本概念统计抽样的几个根本概念w4.1.3 简单随机抽样简单随机抽样2/21/202234.1.1 一个例子一个例子 本例中存栏肉猪本例中存栏肉猪1000010000头组成的集合，那么称为总体，它是头组成的集合，那么称为总体，它是指在统计抽样中所要了解的研究对象全体，又称为母体，当确指在统计抽样中所要了解的研究对象全体，又称为母体，当确定了研究目标时，它具有惟一性。一般总体的单位总数用定了研究目标时，它具有惟一性。一般总体的单位总数用N N表示表示，称作总体容量。本例中所抽出的，称作总体容量。本例中所抽出的100100头肉猪组成的集合，那么头肉猪组成的集合，那么

4、称为样本，它是指在统计抽样中按照称为样本，它是指在统计抽样中按照“随机原那么随机原那么 从总体从总体N(10000)N(10000)中抽出的局部单位中抽出的局部单位( (每个单位称作样本单位每个单位称作样本单位) )所组成的所组成的整体，又称子样。一般样本的单位总数用整体，又称子样。一般样本的单位总数用n(100)n(100)表示，称作样表示，称作样本容量。样本不具惟一性，它的可能个数与本容量。样本不具惟一性，它的可能个数与N N、n n及抽样方法有及抽样方法有关。通常关。通常n30n30称为小样本，称为小样本，n30n30称为大样本，在抽样调查中取称为大样本，在抽样调查中取大或小样本会直接影

5、响到抽样分布的特征。大或小样本会直接影响到抽样分布的特征。例例 某养猪厂共有存栏肉猪某养猪厂共有存栏肉猪10000头，现欲了解这批肉猪平均头，现欲了解这批肉猪平均每头毛重每头毛重(设为设为 )，如果将每头肉猪过称去获取数据将是不合，如果将每头肉猪过称去获取数据将是不合算的。我们可以按照算的。我们可以按照“随机原那么随机原那么 从中抽出从中抽出100头称重量，头称重量，计算这计算这100头的平均每头毛重，以到达我们期望的目的。头的平均每头毛重，以到达我们期望的目的。2/21/202241、总体和样本、总体和样本 总体：研究对象全体，又称母体。容量用总体：研究对象全体，又称母体。容量用N表示。表示

6、。 具备惟一性。具备惟一性。样本：按随机原那么从总体中抽出的局部单位的全体，样本：按随机原那么从总体中抽出的局部单位的全体，被抽出的每个单位称样本单位。样本容量用被抽出的每个单位称样本单位。样本容量用n表示。表示。样本不具惟一性。样本不具惟一性。 当当n30时，为小样本。时，为小样本。当当n30时，为大样本。时，为大样本。4.1.2 统计抽样的几个根本概念统计抽样的几个根本概念2/21/202252、总体参数和样本统计量、总体参数和样本统计量 根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体某数量特征的综合指标，由于总体唯一确定，故称总某数量特征的综合指标，

7、由于总体唯一确定，故称总体参数。体参数。 如上例中的如上例中的 根据样本各单位变量值计算的反映样本某方面数根据样本各单位变量值计算的反映样本某方面数量特征的综合指标，由于样本不具惟一性，故称为样量特征的综合指标，由于样本不具惟一性，故称为样本统计量，它是一个随机变量。本统计量，它是一个随机变量。 如上例中的抽出如上例中的抽出100头肉猪的平均每头毛重头肉猪的平均每头毛重4.1.2 统计抽样的几个根本概念统计抽样的几个根本概念2/21/202263、重复抽样与不重复抽样、重复抽样与不重复抽样从总体中抽取样本有两种方法：重复抽样和不重复抽样。从总体中抽取样本有两种方法：重复抽样和不重复抽样。重复抽

8、样重复抽样，抽样安排，抽样安排-对每次被抽到的单位经登记后再放回对每次被抽到的单位经登记后再放回总体，重新参与下一次抽选的抽样方法。在每次的抽取中样总体，重新参与下一次抽选的抽样方法。在每次的抽取中样本单位被抽中的概率都相等，统计中称这样的抽样为相互独本单位被抽中的概率都相等，统计中称这样的抽样为相互独立的试验。立的试验。不重复抽样，抽样安排不重复抽样，抽样安排-对被抽到的单位登记后不再放回总对被抽到的单位登记后不再放回总体的抽样方法。不重复抽样与重复抽样比较，每次抽样的条体的抽样方法。不重复抽样与重复抽样比较，每次抽样的条件是不同的，前一次的抽取结果会对后一次的抽取产生影响件是不同的，前一次

9、的抽取结果会对后一次的抽取产生影响,统计中称这样的抽样为相互不独立的试验。统计中称这样的抽样为相互不独立的试验。4.1.2 统计抽样的几个根本概念统计抽样的几个根本概念2/21/20227简单随机抽样简单随机抽样 简单随机抽样也称为纯随机抽样。它是对总体单位简单随机抽样也称为纯随机抽样。它是对总体单位不做任何分类或排队，直接从总体中按不做任何分类或排队，直接从总体中按“随机原那么随机原那么抽取样本单位的调查方式。抽取样本单位的调查方式。 为了便于抽取样本单位，一般在明确抽样框的条为了便于抽取样本单位，一般在明确抽样框的条件下，对总体的每个单位都要编号，然后用抽签式或件下，对总体的每个单位都要编

10、号，然后用抽签式或利用利用?随机数字表随机数字表?进行抽取。进行抽取。 例如：例如：N=500 n=10 编码从编码从1-500号号 在随机数表中随意选取二个数字，假设得到在随机数表中随意选取二个数字，假设得到4行，行，43列。那么选取的号码从这个被选中的数开始，由于列。那么选取的号码从这个被选中的数开始，由于500是个三位数，那么小于是个三位数，那么小于500的连续三位数即为中选号码，的连续三位数即为中选号码，见表中所示。见表中所示。2/21/20228简单随机抽样简单随机抽样2/21/202294.2 三种不同性质的分布三种不同性质的分布4.2.1 几种常见分布几种常见分布4.2.2 总体

11、分布总体分布4.2.3 样本分布样本分布4.2.4 抽样分布抽样分布4.2.5 样本推断总体的理论依据样本推断总体的理论依据这些内容与前面内这些内容与前面内容有什么关系容有什么关系？2/21/202210一、随机变量的概率分布一、随机变量的概率分布一概率分布的含义一概率分布的含义1、在随机试验中，假设、在随机试验中，假设X随着试验结果的随着试验结果的不同而随机地取各种不同的数值，并且对不同而随机地取各种不同的数值，并且对取每一个数值或某一范围内的值都有相应取每一个数值或某一范围内的值都有相应的概率，那么称的概率，那么称X为一个随机变量，按其为一个随机变量，按其取值特点可分为离散型随机变量和连续

12、型取值特点可分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量。2、随机变量在其取值范围内，取值与取值、随机变量在其取值范围内，取值与取值概率间一一对应的关系，称为随机变量的概率间一一对应的关系，称为随机变量的概率分布概率分布(probability distribution，简称，简称分布分布)。3、概率分布可以用各种图表来表示，一些、概率分布可以用各种图表来表示，一些也可以用公式来表示。意义：描述随机变也可以用公式来表示。意义：描述随机变量变化的统计规律；方便地计算某一事件量变化的统计规律；方便地计算某一事件发生的概率。发生的概率。4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202211二二

13、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 n离散型随机变量概率分布的两种表现形式离散型随机变量概率分布的两种表现形式n1.分布列律分布列律n2.概率函数概率函数 2/21/202212 概率函数概率函数p(xi)的数学性质的数学性质2/21/202213三三 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布1/3 n1. 连续型随机变量的表现方式密度函数连续型随机变量的表现方式密度函数 ( )f x2/21/202214三三 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布2/3n2.密度函数密度函数 的数学性质的数学性质n3.事件事件“ a Xb 发生的概率发生的概率 的计算方法的计

14、算方法( )f x()( )baP aXbf x dx=2/21/202215三三 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布3/3n4.事件事件“ a Xb 发生的概率的几何意义发生的概率的几何意义n5.连续型随机变量的期望值和方差分别为连续型随机变量的期望值和方差分别为 2/21/202216四四 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 如前所述，离散型随机变量的分布用概率函数来描述，连续型如前所述，离散型随机变量的分布用概率函数来描述，连续型随机变量的分布用密度函数来描述，两者形式不同，表现各异。随机变量的分布用密度函数来描述，两者形式不同，表现各异。为了更方便地表现随机变量的分布，

15、下面引入分布函数。为了更方便地表现随机变量的分布，下面引入分布函数。 2/21/202217n1)几何意义几何意义n2)数学性质数学性质2/21/2022182/21/202219二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202220w 正态分布的密度函数正态分布的密度函数图形图形是一条以均值为中心是一条以均值为中心的对称钟型曲线的对称钟型曲线 二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202221w 2.正态分布密度函数正态分布密度函数 的数学性质的数学性质 ( )f x二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/2

16、1/202222二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202223二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202224w 标准化法的标准化法的几何意义几何意义 w 标准化变换实质上是作了一个坐标轴的平移和标准化变换实质上是作了一个坐标轴的平移和尺度变换，使正态分布的平均数尺度变换，使正态分布的平均数 ，标准，标准差差 。 0m=1s=二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202225二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202226w 6. 3准那么准那么 二、正态分布

17、二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/2022273准那么示意图准那么示意图二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202228w 在随机理论中，正态分布是最重要的一种分布在随机理论中，正态分布是最重要的一种分布,理由如下：理由如下：w 它是最常见的一种分布，现实中许多随机变它是最常见的一种分布，现实中许多随机变量服从或近似服从正态分布。量服从或近似服从正态分布。w 在一定的条件下，正态分布是其他分布的近在一定的条件下，正态分布是其他分布的近似分布。似分布。w 许多有用的分布，特别是小样本的精确分布许多有用的分布，特别是小样本的精确分布是由正态

18、分布推导出来的。是由正态分布推导出来的。二、正态分布二、正态分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/202229三、小样本三、小样本(n30)的精确分布的精确分布w1、2分布w2、t分布w3、F分布4.2.1 几种常见几种常见分布分布2/21/2022301、2分布分布(2 distribution) 1推导说明推导说明由阿贝由阿贝(Abbe) 于于1863年首先给出，后来由海尔墨特年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡和卡皮尔逊皮尔逊(KPearson)分别于分别于1875年和年和1900年推导出来。年推导出来。设设 ，那么，那么构造构造 ，那么，那么 Yi 服从自由度为

19、服从自由度为1的的2分布，即分布，即当总体当总体 ，从中抽取容量为，从中抽取容量为n的样本，那么的样本，那么),(2NX) 1 , 0( NXz2(1,2,., )iiYzin22(1),( )iiYYn),(2NX222122()1(1)niixxnSn4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/2022311、 2分布分布2性质和特点性质和特点由于由于2 分布变量为正态变量的平方和，故分布的变量值分布变量为正态变量的平方和，故分布的变量值始终为正。始终为正。可加性：假设可加性：假设U和和V为两个独立的服从为两个独立的服从2分布的随机变量

20、，分布的随机变量，U2(n1)，V2(n2),那么那么U+V这一随机变量服从自这一随机变量服从自由度为由度为n1+n2的的2分布。分布。 n个独立正态变量平方和称为有个独立正态变量平方和称为有n个自由度的个自由度的c2-分布分布,记为记为c2(n)。c2-分布为一族分布分布为一族分布, 成员由自由度区分。成员由自由度区分。 分布的形状取决于其自由度分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称。偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称。 期望为期望为E(2)=n，方差为，方差为D(2)=2n(n为自由度为自由度) 4.2.1 几种

21、常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/2022321 1、22分布分布3 3图示图示 选择容量为选择容量为n 的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差s2计算卡方值计算卡方值 2 = (n-1)s2/2计算出所有的计算出所有的 2值值总体总体4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/2022331 1、22分布分布4 422分布的上分布的上 分位点分位点 分位点分位点 设设X 2(n)，假设对于，假设对于 ：0 1， 存在存在2( )0n, 满足满足2( ),P Xn那么那么称称2(

22、 )n为为2( )n分布的分布的上上 分位点。分位点。2( )n4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/2022342 2、tt分布分布tditribution tditribution 1 1t t分布的构造及性质分布的构造及性质4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布( )./Tt nn221lim( )( ),2tnf ttex 2/21/202235t(n)(n)分布的图形为分布的图形为2 2、tt分布分布tditribution tditribution 2 2t t分布的图示分

23、布的图示4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(nt0.05)=0.05P(tt0.05)=1-=0.95w 对于给定的对于给定的 ：0 t )= 的点的点t 为为t(n)分布的上分布的上 分位点分位点。)(1nt)(nt2 2、tt分布分布tditribution tditribution 3 3t t分布的上分布的上 分位点分位点4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/202237由统计学家费希尔由统计学家费希尔() 提出的，以其姓氏的第一个提出的，以其姓氏的第一个字母来命名字母来命名构造：设假设构造：设假设U为

24、服从自由度为为服从自由度为n1的的2分布，分布，即即U2(n1)，V为服从自由度为为服从自由度为n2的的2分布，即分布，即V2(n2)，且，且U和和V相互独立，那么相互独立，那么 称称F为服从自由度为服从自由度n1和和n2的的F分布，记为分布，记为21nVnUF ),(21nnFF3 3、F F分布分布F ditribution F ditribution 1 1F F分布的构造分布的构造4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/202238F分布(图示)3 3、F F分布分布F ditribution F ditribution 2 2

25、F F分布的图示分布的图示4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/202239w F分布的分位点：分布的分位点：w 对于对于：01，w 假设满足条件：假设满足条件：w PFF(n1, n2)=， 那么称那么称F(n1, n2)为为w F(n1, n2)的的w 上上分位点分位点),(21nnF12( ,)F n n3 3、F F分布分布F ditribution F ditribution 3 3F F分布的上分布的上 分位点分位点4.2.1 几种常见几种常见分布分布 三、三、小样本小样本(n30)的精确分布的精确分布2/21/20224

26、01总体中各元素的观察值所形成的相对频数总体中各元素的观察值所形成的相对频数频率分布频率分布 2分布通常是未知的因为几乎得不到总图分布通常是未知的因为几乎得不到总图所有观察值所有观察值3可以根据理论分析假定它服从某种分布可以根据理论分析假定它服从某种分布 4.2.2 总体总体分布分布2/21/2022411一个样本中各观察值形成的相对频数一个样本中各观察值形成的相对频数频率分布频率分布 2也称经验分布也称经验分布 3当样本容量当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布渐接近总体的分布 4.2.3 样本样本分布分布2/21/2022421 1、统计量与参数、统计量与

27、参数1 1在抽样推断中，无论是总体还是样本，都可以用均在抽样推断中，无论是总体还是样本，都可以用均值、比例值、比例( (或成数或成数) )、标准差和方差等指标来描述它、标准差和方差等指标来描述它们的特征。当它们用来描述样本的特征时，称为样们的特征。当它们用来描述样本的特征时，称为样本统计量；当它们用来描述总体特征时，称为总体本统计量；当它们用来描述总体特征时，称为总体参数。参数。2 2样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算出样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算出来的值是不同的，所以统计量是随机变量，如样本来的值是不同的，所以统计量是随机变量，如样本均值均值, , 样本比例，样本方差等

28、。样本比例，样本方差等。4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/2022432、抽样分布的含义、抽样分布的含义1含义：样本统计量的概率分布，是一种理论分布，含义：样本统计量的概率分布，是一种理论分布，在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。取值形成的相对频数分布。2构造抽样分布包括以下几个步骤：构造抽样分布包括以下几个步骤： 1沉着量为沉着量为N的有限总体中随机抽出容量为的有限总体中随机抽出容量为n的的所有可能样本；所有可能样本； 2算出每个样本的统计量数值；算出每个样本的统计量数值； 3算出与每个样本统计量数值相对应

29、的概率，算出与每个样本统计量数值相对应的概率，作频数分布表。作频数分布表。4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/2022443、总体分布、样本均值的抽样分布、总体分布、样本均值的抽样分布(例题分析例题分析)5 . 21NxNii25. 1)(122NxNii4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/202245现从总体中抽取现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为 3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值

30、第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/2022463.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值个样本的均值 ( x )4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/202247样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析例题分析)5 . 2x625. 02xx4.2.4 抽样抽样分布分布2/21/2022484、抽样分布的意义、抽样分布的意义 因

31、为样本均值因为样本均值 是一个随机变量，因此，与其他是一个随机变量，因此，与其他随机变量一样，随机变量一样， 具有平均数期望、方差和概率具有平均数期望、方差和概率分布。因为分布。因为 的各种可能取值是屡次简单随机抽样的的各种可能取值是屡次简单随机抽样的结果，所以结果，所以 的概率分布称为的概率分布称为 的抽样分布。对于这的抽样分布。对于这个抽样分布及其特征的了解，可以使我们能够对样本个抽样分布及其特征的了解，可以使我们能够对样本均值均值 与总体均值与总体均值 的接近程度进行概率描述。的接近程度进行概率描述。xxxxxx4.2.4 抽样抽样分布分布 意义：抽样分布一方面描述了样本的随机性，提意义

32、：抽样分布一方面描述了样本的随机性，提供了样本统计量长远而稳定的信息即变化规律；另一供了样本统计量长远而稳定的信息即变化规律；另一方面建立了样本与总体的联系，是进行推断的理论根方面建立了样本与总体的联系，是进行推断的理论根底，也是抽样推断科学性的重要依据。底，也是抽样推断科学性的重要依据。 2/21/202249一、大数定律一、大数定律w 1、是关于均值具有稳定性的一类定律。、是关于均值具有稳定性的一类定律。w 2、以切比雪夫大数定律为例。、以切比雪夫大数定律为例。w 设随机变量设随机变量 相互独立，且具有相同的有限数学期望相互独立，且具有相同的有限数学期望和方差：和方差：w w 那么对于任意

33、正数那么对于任意正数 ，都有，都有w 3、假设把、假设把 看作是来自期望为看作是来自期望为 、方差为、方差为2 总体的总体的一个容量为一个容量为n的样本，随着的样本，随着n的充分增大，样本均值依概率收敛于总的充分增大，样本均值依概率收敛于总体均值。体均值。w 4、大数定律为统计量估计参数提供了理论上的依据。即统计量推断、大数定律为统计量估计参数提供了理论上的依据。即统计量推断参数是可行的。但大数定律没有提供统计量推断参数时误差的计算参数是可行的。但大数定律没有提供统计量推断参数时误差的计算方法。方法。12,.,.nXXXniXDXEii,.,2, 1,20111limniniPXn nXXX,

34、.,214.2.5 样本推断总体的理论依据样本推断总体的理论依据2/21/202250二、中心极限定理二、中心极限定理 (central limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n 30) ，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布xn从从均值为均值为 ，方差为，方差为 2的一个的一个任意总体任意总体中重复抽取中重复抽取容量为容量为n的样本，的样本，当当n充分大时充分大时，样本均值的，样本均值的抽样分布近似服从抽样分布近似服从均值为均值为、方差为、方差为2/n的的正态分布。正态分布。x4.2.5 样本推断总体的理论依据样本推断总体的理论依据

35、2/21/2022514.2.5 样本推断总体的理论依据样本推断总体的理论依据2/21/202252w 1 1确定了正态分布在各种分布中的首要地位。确定了正态分布在各种分布中的首要地位。也答复了正态分布是最重要、最常见的分布。也答复了正态分布是最重要、最常见的分布。w 2 2揭示了正态分布的形成机制。如果某一个揭示了正态分布的形成机制。如果某一个量的变化受到许多种随机因素的影响，这种影量的变化受到许多种随机因素的影响，这种影响的总后果是各个因素的迭加，而且，这些因响的总后果是各个因素的迭加，而且，这些因素中没有任何一个是起主导作用的，那么，这素中没有任何一个是起主导作用的，那么，这个量就是一个

36、服从正态分布的随机变量。个量就是一个服从正态分布的随机变量。w 3 3提供了推断误差的计算思想方法，特别是提供了推断误差的计算思想方法，特别是大样本处理方法。但没有提供小样本下推断误大样本处理方法。但没有提供小样本下推断误差的计算方法。差的计算方法。4.2.5 样本推断总体的理论依据样本推断总体的理论依据2/21/2022534.3 一个总体参数推断时样本统计量一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布的抽样分布w 4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布w 4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布w 4.3.3 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布2/21/2022541、样本均

37、值抽样分布的含义、样本均值抽样分布的含义1在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2一种理论概率分布3是推断总体均值的理论根底4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2/21/2022552、样本均值抽样分布的形式、样本均值抽样分布的形式1总体分布为正态分布总体分布为正态分布x5x50 x5 . 2x 当总体服从当总体服从正态分布正态分布N(,2)时，来自该总体的所时，来自该总体的所有容量为有容量为n的样本的均值的样本的均值 x也服从正态分布，也服从正态分布， x 的的数学期望为数学期望为，方差为，方差为2/n。即。即 xN(,2/n)4.3.1 样本均值

38、的抽样分布样本均值的抽样分布2/21/2022562、样本均值抽样分布的形式、样本均值抽样分布的形式2总体分布为非正态分布总体分布为非正态分布( n30，大样本情形，大样本情形)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n 30) ，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布xn从从均值为均值为 ，方差为，方差为 2的一个的一个非正态分布非正态分布总体中抽取总体中抽取容量为容量为n的样本，的样本，当当n充分大时充分大时，样本均值的抽样分布，样本均值的抽样分布近似服从近似服从均值为均值为、方差为、方差为2/n的的正态分布正态分布x4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样

39、分布2/21/2022571总体分布为非正态分布且为小样本总体分布为非正态分布且为小样本n30 2样本均值的分布为非正态分布样本均值的分布为非正态分布2、样本均值抽样分布的形式、样本均值抽样分布的形式3总体分布为非正态分布总体分布为非正态分布( n30,小样本情形小样本情形)4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2/21/202258正态分布正态分布非正态分布非正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布2、样本均值抽样分布的形式、样本均值抽样分布的形式4小结小结4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2/21/2022591)样本均值的数学期望样本均值的数学

40、期望2)样本均值的方差方差的概率意义在于刻画了样本均值的方差方差的概率意义在于刻画了随机变量取值的分散程度。方差越小，随机变随机变量取值的分散程度。方差越小，随机变量的取值越集中在期望值附近。量的取值越集中在期望值附近。 3)重复抽样重复抽样4)不重复抽样不重复抽样3、样本均值抽样分布的特征、样本均值抽样分布的特征)(xEnx22122NnNnx设总体共有设总体共有N个元素，其均值为个元素，其均值为，方差为，方差为2 ，从中抽取容量为从中抽取容量为n的样本，那么的样本，那么 4.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2/21/2022601总体或样本中具有某种属性的单位数与总体或样本中具

41、有某种属性的单位数与全部单位总数之比全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比合格品合格品(或不合格品或不合格品) 与全部产品总数之比与全部产品总数之比2总体比例可表示为总体比例可表示为3样本比例可表示为样本比例可表示为011NNNN或011nnppnn或4.3.2 样本比例成数的抽样分布样本比例成数的抽样分布1、比例成数的含义、比例成数的含义2/21/2022611) 在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布。所有可能取值形成的相对频数分布。2) 一种理论概率分布。一种理论概率分布。3) 当样本容

42、量很大时当样本容量很大时np5和和n(1-p)5，样，样本比例的抽样分布可用正态分布近似。本比例的抽样分布可用正态分布近似。 4) 推断总体比例推断总体比例的理论根底。的理论根底。4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布2、样本比例抽样分布的含义及形式、样本比例抽样分布的含义及形式2/21/2022621) 样本比例的数学期望样本比例的数学期望2) 样本比例的方差样本比例的方差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样)(pEnp)1 (21)1 (2NnNnp4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布3、样本比例抽样分布的特征、样本比例抽样分布的特征2/21/202263抽样平均误差

43、抽样平均误差抽样平均抽样平均误差误差4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4、抽样误差、抽样误差1调查误差的分类调查误差的分类抽样误差抽样误差2/21/2022644.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布2统计量的标准误统计量的标准误 定义：样本统计量的抽样分布的定义：样本统计量的抽样分布的标准差，测度所有样本统计量标准差，测度所有样本统计量的离散程度，也称标准误差或的离散程度，也称标准误差或抽样平均误差。抽样平均误差。A：样本均值：样本均值 的抽样误差的抽样误差2()ixxMN=3(A,B,C)=(1,2,3)N=3(A,B,C)=(1,2,3)n=2n=2样本样本数据数据

44、ixix（A A、A A）（A A、B B）（A A、C C）（B B、A A）（B B、B B）（B B、C C）（C C、A A）（C C、B B）（C C、C C）1,11,11,21,21,31,32,12,12,22,22,32,33,13,13,23,23,33,31 11.51.52 2 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 2 2 2.5 2.5 3 3y y1 1=-1=-1y y2 2=-0.5=-0.5y y3 3=0=0y y4 4=-0.5=-0.5y y5 5=0=0y y6 6=0.5=0.5y y7 7=0=0y y8 8=0.5=0.5y y9 9=1=1合

45、计合计18180 0样本可能数目样本可能数目 M=9， =2B：样本成数P的抽样误差2()ippMxx4、抽样误差抽样误差2/21/202265N=3(A,B,C)=(1,2,3)N=3(A,B,C)=(1,2,3)n=2n=2样本样本数据数据ix2)(ix（A A、A A）（A A、B B）（A A、C C）（B B、A A）（B B、B B）（B B、C C）（C C、A A）（C C、B B）（C C、C C）1,11,11,21,21,31,32,12,12,22,22,32,33,13,13,23,23,33,31 11.51.52 2 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 2 2

46、 2.5 2.5 3 31 10.250.250 0 0.25 0.250 0 0.25 0.250 0 0.25 0.251 1合计合计18183 3样本可能数目样本可能数目 M=9， =2 样本平均数 的抽样平均误差A、重复抽样、重复抽样58. 03193)(2Mxix32)(2NX211332xnx4、抽样误差、抽样误差3标准误差的计算标准误差的计算4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布2/21/202266B、不重复抽样、不重复抽样N=3(A,B,C)=(1,2,3)N=3(A,B,C)=(1,2,3)n=2n=2样本样本数据数据ix2)(ix（A A、A A）（A A、B

47、B）（A A、C C）（B B、A A）（B B、B B）（B B、C C）（C C、A A）（C C、B B）（C C、C C）1,11,11,21,21,31,32,12,12,22,22,32,33,13,13,23,23,33,31 11.51.52 2 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 2 2 2.5 2.5 3 31 10.250.250 0 0.25 0.250 0 0.25 0.250 0 0.25 0.251 1合计合计12121 1样本可能数目样本可能数目 M=6， =232)(2NX41. 061)(2Mxix11xNnnnnNN61132321324、抽样误差、抽

48、样误差3标准误差的计算标准误差的计算4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布2/21/202267不重复抽样有限总体重复抽样或无限总体1(1)1xpNnNnNnnN(1)xpnn有限总体中1NnN为校正因子，一般可简写为Nn14.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4、抽样误差、抽样误差3标准误差的计算标准误差的计算2/21/202268 当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误。统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误。 以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差以样本均值的抽样分布为例，当总体标

49、准差未未知时，可用样本标准差知时，可用样本标准差s代替，那么在重复抽样代替，那么在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为：条件下，样本均值的估计标准误为：nsx标准差=标准误=估计标准误=抽样误差？4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4、抽样误差、抽样误差4估计的标准误估计的标准误 (standard error of estimation)2/21/202269n4.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布4、抽样误差、抽样误差5影响抽样误差的因素影响抽样误差的因素2/21/20227070) 1() 1(222nsn22) 1(sn 4.3.3 样本方差的抽样分布样本方差的

50、抽样分布2/21/2022714.4 两个总体参数推断时样本统计量两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布的抽样分布w4.4.1 两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布w4.4.2 两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布w4.4.3 两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布2/21/202272),(2111NX),(2222NX21xx 2121)(xxE222121221nnxx4.4.1 两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布即：),(2221212121nnNxx2/21/2022731.两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布2.分

51、别从两个总体中抽取容量为分别从两个总体中抽取容量为n1和和n2的独立样的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似例之差的抽样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为分布的数学期望为4.方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 2121)( ppE2221112)1 ()1 (21nnpp4.4.2 两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布即：)1 ()1 (,(2221112121nnNpp2/21/202274)1, 1(/2122222121nnFss4.4.3 两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比

52、的抽样分布2/21/2022754.5 其他抽样方法其他抽样方法4.5.1 概率抽样概率抽样 1、分层抽样、分层抽样 2、系统抽样、系统抽样 3、整群抽样、整群抽样 4、多阶段抽样、多阶段抽样4.5.2 非概率抽样非概率抽样 1、方便抽样、方便抽样 2、判断抽样、判断抽样 3、自愿样本、自愿样本 4、滚雪球抽样、滚雪球抽样 5、配额抽样、配额抽样4.5.3 概率抽样和非概率抽样的比较概率抽样和非概率抽样的比较4.5.4 抽样调查实例抽样调查实例2/21/2022761.根据一个的概率来抽取样本单位，也称随机抽根据一个的概率来抽取样本单位，也称随机抽样，概率抽样有简单随机抽样、分层抽样、系样，概

53、率抽样有简单随机抽样、分层抽样、系统抽样、整群抽样、多阶段抽样等。统抽样、整群抽样、多阶段抽样等。2.特点特点3.按一定的概率以随机原那么抽取样本按一定的概率以随机原那么抽取样本4.抽取样本时使每个单位都有一定的时机被抽中抽取样本时使每个单位都有一定的时机被抽中5.每个单位被抽中的概率是的，或是可以计算出每个单位被抽中的概率是的，或是可以计算出来的来的 6.当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率每个样本单位被抽中的概率4.5.1 概率抽样概率抽样2/21/2022771.分层抽样分层抽样(stratified sampling)

54、1、定义：将总体单位按某种特征或某种规那么划分、定义：将总体单位按某种特征或某种规那么划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本单位的方法，又称类型抽样或分类抽样。取样本单位的方法，又称类型抽样或分类抽样。2、特点：先分层对总体，后抽样对层、特点：先分层对总体，后抽样对层3、分层要求：层间差异大，层内差异小、分层要求：层间差异大，层内差异小4、抽样方法：见下张幻灯片、抽样方法：见下张幻灯片5、适用：总体单位在总体内局部布不均匀且变异程、适用：总体单位在总体内局部布不均匀且变异程度大的总体。度大的总体。6、优点：保证样本的结构与总体的结构比较相

55、近，、优点：保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度；组织实施调查方便；既可从而提高估计的精度；组织实施调查方便；既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计。进行估计。2/21/20227878总体总体N样本样本n等额等额等比例等比例不等不等比例比例121.kkiinnnnniiNnnN22iiiiiNnnN2NkN1N1n2nkn1.分层抽样分层抽样(stratified sampling)2/21/20227979例10人年龄资料如下。N=10 n=3，推断总体平均年龄。人： A B C D E F G H I J年龄：

56、5 8 11 39 42 45 48 70 73 76简单随机抽样 B 、 H、 I ， C、 D 、 E ， F 、 G 、 I 结论：总体变异较大时分层抽样。分层抽样 B 、 E、 I ， C、 D 、 H ， A 、 G 、 J1.分层抽样分层抽样(stratified sampling)2/21/202280总体单位按某一标志排序总体单位按某一标志排序2、系统抽样机械抽样或等距抽样、系统抽样机械抽样或等距抽样 (systematic sampling)2/21/20228181系统抽样可以分为无关标志排序抽样和有关标志排序抽样两类。系统抽样可以分为无关标志排序抽样和有关标志排序抽样两类

57、。 无关标志排序抽样是指排序的标志与被研究的标志无关。如无关标志排序抽样是指排序的标志与被研究的标志无关。如:观察学生考试成绩用姓氏笔划；观察产品质量按生产的先后顺序观察学生考试成绩用姓氏笔划；观察产品质量按生产的先后顺序等。无关标志排序可以保证抽样的随机性，它实质上相当于简单等。无关标志排序可以保证抽样的随机性，它实质上相当于简单随机抽样。随机抽样。 有关标志排序抽样是指排序的标志与被研究标志相关。在对有关标志排序抽样是指排序的标志与被研究标志相关。在对总体各单位的变异情况有所了解的情况下，也可以采用有关标志总体各单位的变异情况有所了解的情况下，也可以采用有关标志进行总体单位排列，使各单位的

58、排列顺序和它的变量数值大小保进行总体单位排列，使各单位的排列顺序和它的变量数值大小保持密切的关系。如：农产量抽样调查，可利用各县或各乡当年估持密切的关系。如：农产量抽样调查，可利用各县或各乡当年估计亩产或最近三年平均亩产标志排队，抽取调查单位。由此可见，计亩产或最近三年平均亩产标志排队，抽取调查单位。由此可见，按有关标志排序实质上是运用系统抽样的一些特点，有利于提高按有关标志排序实质上是运用系统抽样的一些特点，有利于提高样本的代表性，它实质上相当于分层抽样。样本的代表性，它实质上相当于分层抽样。 但也必须注意到，系统抽样在排序时，第一个样本单位的位但也必须注意到，系统抽样在排序时，第一个样本单

59、位的位置确定后，其余单位也随之确定，因此要防止抽样间隔和现象本置确定后，其余单位也随之确定，因此要防止抽样间隔和现象本身的周期性节奏相重合，引起系统性的影响。身的周期性节奏相重合，引起系统性的影响。2、系统抽样、系统抽样(systematic sampling)2/21/2022823、整群抽样、整群抽样(cluster sampling)1、定义：将总体中各单位按一定标准分成假设、定义：将总体中各单位按一定标准分成假设干群组，再从总体中随机抽取一定数量干群组，再从总体中随机抽取一定数量的群，对抽中群的所有单位全部实施调查。的群，对抽中群的所有单位全部实施调查。2、特点：先分群对总体，后抽样对

60、总体、特点：先分群对总体，后抽样对总体3、群的类型：自然形成的群；人为划分的群、群的类型：自然形成的群；人为划分的群4、分群原那么：群间差异小，群内差异大、分群原那么：群间差异小，群内差异大5、抽样方法：见下张幻灯片、抽样方法：见下张幻灯片6、适用：在大规模的抽样调查中，如果总体单、适用：在大规模的抽样调查中，如果总体单位多且分布区域广，缺少进行抽样的抽样框，位多且分布区域广，缺少进行抽样的抽样框，或者在按经济效益原那么不宜编制这种抽样或者在按经济效益原那么不宜编制这种抽样框的情况下，宜采用整群抽样方式。框的情况下，宜采用整群抽样方式。2/21/20228383hlpdnnnnnABCDEFG