线代重修 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组知识点：知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩 初等矩阵线性方程组的解 学习目标学习目标: :1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子m nA( )R ArDA1r 式，则0.D 2.设3阶方阵 的秩为2，矩阵，A010100001P若矩阵，则 .100010101QBPAQ( )R B 3. 已知11610251121Akk，且其秩为2，则k 34.设，且非齐次方

2、程组有唯一解向 nnijaAbAx 量，则增广矩阵的秩n. bAr5.已知的逆矩阵，那么 33ijaA2454035311A方程组的解321332233131322223121312213111xaxaxaxaxaxaxaxaxa1538321xxx二、选择题1.已知 有一个阶子式不等于零，则 ( D )Ar( )R A A. B. C. D. r1r rr2.设为3 4矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩AA3TA等于（ B ）A1 B2 C3 D43.设是阶阵，且，则由( A )可得出AnABAC.BCA. B. 0A 0A C. D. 为任意阶矩阵( )R AnAn4若方程组有非零解，则方程

3、组必（ B 0AxbAx ） A.有唯一解 B.不是唯一解 C.有无穷多解 D.无无穷多解 5线性方程组只有零解，则（ B AX 0AXb b()0）A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组bAX （ C ）0AXA无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定7非齐次线性方程有无穷多解的充要条件bXAnm是（ D ）A Bnm ( , )R A bnC D( )( , )R AR A b( )( , )R AR A bn8.设线性方程组中，若，则bxA ( , )4R A b ( )3R A 该线性方程组（ B ）A有唯一解 B无解

4、 C有非零解 D有无穷多解9.设矩阵的秩为 2，则（ B 111121231A）A.2 B.1 C.0 D.-110.设均为3阶矩阵，若可逆， ，那么,A BA( )2R B （C）()R AB A0 B1 C2 D311. 设 3 阶方阵 A 的秩为 2，则与 A 等价的矩阵为（B）A B 000000111000110111 C D000222111333222111三、 将下列矩阵化成最简形矩阵： 1 . 7931181315112 . （练习）111212122012四、设，且，求。033110123A2ABABB解：2(2 )ABABAE BA 233 033013 253(2)11

5、0 110110 110121123011 033AEA 002 220001 110100 033110 110100 033010123011 033010123001 110 所以033123110B 五、试利用矩阵的初等变换 求方阵的逆矩阵。323513123 解： 100010001323513123101011001200410123 1012002110102/ 102/ 30232/ 102/ 11002110102/922/7003 2/ 102/ 11002110102/ 33/26/7001故逆矩阵为 21021211233267六、 设 求使AB113122214A13

6、2231B 解 因为 132231 113122214) ,(BA412315210 100010001 r所以 4123152101BAX七、 求矩阵的秩 并求一个比较高815073131213123阶非零子式解 (下一步 r1r2 r22r1 r37r1 )815073131223123 (下一步 r33r2 )15273321059117014431 0000059117014431矩阵的秩是2 是一个比较高阶非零子式71223 八、 取什么值时，线性方程组ba,有解？有解时，何时有唯一解？何4234321321321xbxxxbxxxxax时有无穷个解？解：114114114101211311310121141214001001001aaabbabbbb 10121012011420114200100(1)1(24)aaaabb aba 当