易拉罐形状和尺寸的最优设计方案

1、试着去发现身边的问题问题的探讨：问题的探讨：1.1.取一个饮料量为取一个饮料量为355355毫升的易拉罐，测量验证模型所需要的毫升的易拉罐，测量验证模型所需要的数据数据，并把数，并把数据列表加以说明问题。据列表加以说明问题。2.2.设易拉罐是一个设易拉罐是一个正圆柱体正圆柱体。什么是它的。什么是它的最优设计最优设计？其结果是否可以合理地？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。3.3.设易拉罐的设易拉罐的中心纵断面中心纵断面的的上面部分上面部分是一个是一个正圆台正圆台，下面部分下面部分是一个是一个正圆柱正圆柱体体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合

2、理地说明我们所测量的易拉罐。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸。的形状和尺寸。4.4.利用我们对所测量的易拉罐的利用我们对所测量的易拉罐的洞察和想象力洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。的最优设计。销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？这是为什么呢？内容概要一、问题重述一、问题重述二、模型假设二、模型假设三、符号说明三、符号说明四、模型分析四、模型分析五、模型建立五、模型建立六、模型求解六、模型求解七、模型评价与推广七、模型评价与推广一、问题重述一、问

3、题重述问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。问题二：将易拉罐分为问题二：将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情三种情形，分别建立了以形，分别建立了以易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度为目标函数，为目标函数，容积容积一定一定为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。问题三：分上述三种情形

4、分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对编程求得结果，并用配对样本样本T检验检验，说明实测数据与理论结果基本相符。，说明实测数据与理论结果基本相符。问题四：引入问题四：引入黄金分割点黄金分割点，综合考虑，综合考虑压强、环保及材料最省压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点，设计了一种集各种优点的新型易拉罐。的新型易拉罐。问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格

5、朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。实用性和推广性。模型模型 四个假设四个假设1 1：易拉罐的：易拉罐的容积是一定容积是一定的；的；2 2：所有材料：所有材料的的密度都相同密度都相同，材料的价格与材料的价格与其体积成正比；其体积成正比；4 4：易拉罐：易拉罐圆圆台部分顶盖台部分顶盖到侧面间的到侧面间的坡度为坡度为0.30.311。3 3：拉环生产：拉环生产成本固定成本固定，不受易拉罐不受易拉罐形状和尺寸形状和尺寸的影响；的影响；二、模型假设二、模型假设三、符号说明三、符号说明规划的目标函数；易拉罐的表面积；易拉罐的体积；正圆柱体形易拉

6、罐底面的半径；圆台上表面的半径；圆台下表面的半径；易拉罐侧面的高度；易拉罐上顶的厚度；易拉罐圆台部的厚度；易拉罐侧面的厚度；易拉罐底面的厚度；MSVr1r2rhabcd；三、符号说明三、符号说明圆台的母线长度；易拉罐焊缝的长度；易拉罐所用材料量；为各部分的系数；为各部分的系数；为各部分的系数；l易拉罐的各种压强；易拉罐底的弧面面积；易拉罐底的搭接角；圆台的高；易拉罐的美观度；易拉罐底面的圆弧角ZYiiPimjP,3 ,2, 1i,3,2, 1i,3 ,2, 1i4,3 ,2, 1j4,3 ,2, 1j问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。问题一：测量十种常见饮料

7、的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。四、模型分析四、模型分析分析一：可以借助分析一：可以借助物理仪器物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度。面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度。问题二：将易拉罐分为问题二：将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情三种情形，分别建立了以形，分别建立了以易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度为目标函数，为目标函数，容积容积一定一定为约束

8、条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对编程求得结果，并用配对样本样本T检验检验，说明实测数据与理论结果基本相符。，说明实测数据与理论结果基本相符。分析三：易拉罐的纵断面分析三：易拉罐的纵断面上部是圆台上部是圆台，下部是正圆柱体下部是正圆柱体，逐步求解易拉罐的最优尺寸，逐步求解易拉罐的最优尺寸，建立模型四、五、六，同样通过建立模型

9、四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解。验证结果，把实际数据代入模求解。验证结果，把实际数据代入模型进行检验。型进行检验。问题四：引入问题四：引入黄金分割点黄金分割点，综合考虑，综合考虑压强、环保及材料最省压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点，设计了一种集各种优点的新型易拉罐。的新型易拉罐。问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。实用性和推广性。分析五：计算过程中的优缺

10、点以及最优模型的应用与推广。分析五：计算过程中的优缺点以及最优模型的应用与推广。分析二：分析二： 对于一个对于一个体积给定体积给定的的正圆柱体正圆柱体，最优考虑材料最省，求解其最优设计：首先，最优考虑材料最省，求解其最优设计：首先，考虑最简单的情况：考虑最简单的情况： 易拉罐各点罐壁厚度相同，建立模型一：易拉罐各点罐壁厚度相同，建立模型一： 将将表面积的大小表面积的大小作为目标函数，求作为目标函数，求解该正圆柱体的解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径表面积最小时所对应的尺寸（半径r r和高和高h h的比值）的比值）； 易拉罐各点罐壁厚度不同易拉罐各点罐壁厚度不同, ,建立模型二：以用料

11、最少作为目标函数，通过建立模型二：以用料最少作为目标函数，通过拉格拉格朗日乘数法朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；求解易拉罐的最优尺寸； 再进一步考虑易拉罐再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量焊缝增加的工作量。在模型二的基础上建立模型三：将。在模型二的基础上建立模型三：将焊缝的长短焊缝的长短也作为目标函数之一，同样通过也作为目标函数之一，同样通过拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解最优尺寸；求解最优尺寸； 最后，我们把问题一所得的数据代入最后，我们把问题一所得的数据代入进行检验进行检验，看理论值与实际值是否吻合，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。把它作为衡

12、量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。分析四：日常生活中，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。因此，在满足用分析四：日常生活中，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。因此，在满足用料最省的前提下，引入料最省的前提下，引入黄金分割和压强黄金分割和压强，建立优化模型。可以从以下几个方面来考虑：，建立优化模型。可以从以下几个方面来考虑：（一）增加美观度，引入（一）增加美观度，引入黄金分割点黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。来判断，使得易拉罐的外形达到最优。（二）考虑（二）考虑压强变化压强变化所引起的所引起的底面弧度变化底面弧度变化，不仅使用料最省，而且对于不同种类饮，不仅使用料

13、最省，而且对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。料，作出不同类的易拉罐设计。（三）考虑改变（三）考虑改变易拉罐的材料易拉罐的材料，例如可以使用，例如可以使用纸质材料纸质材料，使得更环保，更安全。，使得更环保，更安全。 最终作出新型易拉罐的设计图。最终作出新型易拉罐的设计图。五、模型建立五、模型建立 问题二：问题二：正圆柱形正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型易拉罐尺寸的最优设计模型（1 1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形由图的情形由图1 1可知：可知： 容积容积为为 ： 表面积表面积为为 ： 模型一：模型一：hrV2图1 各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐模型一：模型一：0,

14、.2min22hrhrVtsrhrSrhrrrrhSM22222hrV2（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据根据材料的用量与其体积成正比。材料的用量与其体积成正比。 容积一定时，所用容积一定时，所用材料的体积最小时的尺材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：，所需要的材料为：图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐 dahcrhrY22 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts模型二：模型二：应使应使Y Y取最小值，取最小值，模型二：模型

15、二：（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，使得易拉罐的工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省材料用量最省的同时，的同时，焊缝焊缝长度也尽量取到最小。长度也尽量取到最小。 根据模型分析，可得根据模型分析，可得焊缝长度焊缝长度： rZ2将焊缝的长度为将焊缝的长度为Z时的工作量转化为时的工作量转化为同等的材料体积同等的材料体积，从而可以，从而可以将二者直接相加。将二者直接相加。模型三模型三： rdahcrhrZYM2min222121（此模型

16、即为求解问题二的完善模型） 0,. .212dahcrVts问题三：圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型21212111rrlrlrrlrShrS222223rS22221213212rhrrrlrSSSSlm2873.0（1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形的情形此时，以易拉罐此时，以易拉罐表面积的大小表面积的大小来衡量尺寸的优劣来衡量尺寸的优劣图3 各点罐壁厚度相 同的含圆台易拉罐圆柱侧面的面积圆柱侧面的面积为：为：圆柱圆柱底面的面积为：底面的面积为：易拉罐的表面积为：易拉罐的表面积为：由于圆台的斜率为一定由于圆台的斜率为一定0.31 模型四模型四: :由图由图3得得

17、圆台的上面、侧面的面积为：圆台的上面、侧面的面积为：12212122212222221210,2873. 03. .2minrrhlrrlmrrrrmhrVtsrhrrrlrSM模型四：模型四：（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情的情形形图图4有不同罐壁厚有不同罐壁厚度易拉罐的圆台度易拉罐的圆台模型五模型五:如图，易拉罐所需材料如图，易拉罐所需材料量为：量为： dhcrrrrrmhrYM22212221223mincrbrcrbram2122213 0,0,2873. 03. .122121222122dcbarrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVt s crbrc

18、rbramdhcrrrrrmhrY21222122212221223312 rZ dhcrrrrrmhrZYM22212221221213min12212221123rcrbrcrbram 0,0,2873. 03. .21122121222122rrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVts（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度并考虑并考虑焊缝长度焊缝长度的情形的情形综合考虑两方面因素，使得易拉罐综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少用料最少时，焊缝时，焊缝长度也尽量取到最小。长度也尽量取到最小。由此可得由此可得模型六：模型六： （模型六为求解问题三的完善模型）焊缝长度：焊缝长

19、度：问题四：自己设计易拉罐最优形状和尺寸模型321minZYM dhcrrrrrmhr22212221221312212221123rcrbrcrbram618.03hd 0,0,2873. 03. .321122121222122rrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVts（1）考虑美观度的情形）考虑美观度的情形在在模型六模型六的基础上引入的基础上引入美美观度观度来描述易拉罐的外形是来描述易拉罐的外形是否美观，考虑易拉罐的否美观，考虑易拉罐的直径直径和高度和高度之比之比趋向于黄金分割趋向于黄金分割点点，即：，即：，取得最小值时即为最优解取得最小值时即为最优解由此可得由此可得模型七模型七

20、：618. 0hd（2 2）考虑）考虑压强压强引起的引起的底面弧度底面弧度变化变化上拱的底面上拱的底面, ,顶盖实际上也不是平面的顶盖实际上也不是平面的, ,略有略有上拱上拱, ,这些要求也许这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分保证了和饮料罐的薄的部分的焊接的焊接( (粘合粘合) )很牢固、耐压。很牢固、耐压。对于对于上拱的底面上拱的底面，是为了，是为了耐压耐压，从物理角度，从物理角度分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表面张力有面张力有拉平液面的拉平液面的趋势，从而对液体产生趋势，从而对液体产生附附加压强加压强。附加压强的附加压强的方向方向由由表面张

21、力的方向表面张力的方向确定，确定，大大小小可以用液面内外的压强差来表示可以用液面内外的压强差来表示33图图5 易拉罐的底面示意图易拉罐的底面示意图对于下表面而言，受到的压力包括对于下表面而言，受到的压力包括三部分三部分：一：通过小液块的边线作用在一：通过小液块的边线作用在液块液块上的上的向上的表面张力；向上的表面张力；二：液体内二：液体内气体气体产生的作用于产生的作用于液块底面向下的压力；液块底面向下的压力；三：液体本身向下的三：液体本身向下的重力重力。 1，设球形液面半径为设球形液面半径为单位长度液体表面的张力为单位长度液体表面的张力为 T T（大小为液体的表面张力系数（大小为液体的表面张力

22、系数 ）则小液块边线所具有的则小液块边线所具有的总张力向下分量总张力向下分量为：为：表示液体内外的压强差，则小液块所表示液体内外的压强差，则小液块所受的向上的张力为：受的向上的张力为：T233sin2sinsin2rTrP23sinrP3r这两部分力方向相反，在平衡这两部分力方向相反，在平衡时大小相等，所以时大小相等，所以2323sinsin2rPr23cos22rrP图图5 易拉罐的底面示意图易拉罐的底面示意图cos22rP brbrcrbrcrbramdhcrrrrrmhrYcos3322222122212221222122图图6 6 易拉罐的底面积示意图易拉罐的底面积示意图所用材料量为：

23、所用材料量为：底部的上拱必然会引起所用材料底部的上拱必然会引起所用材料的增多的增多易拉罐的易拉罐的底面积底面积为：为：2，液体液体重力作用重力作用产生的产生的压强压强：3，易拉罐易拉罐内部气体压强内部气体压强为一定值：为一定值：易拉罐易拉罐下表面所受到的压强下表面所受到的压强为：为：ghP2323214cos2PrghPPPP3P47654minPZYM dhcrrrrrmhr222122212243 252222421222142cos3rbrrbcrbrcrbram3276cos2618.0Prghhd模型八：模型八： 20,0,2873. 037654122121222122rrhlrr

24、lmcrbrcrbramdhcrV1. 问题一的求解 表1 101 10种355ml355ml易拉罐饮料的相关测量数据罐体直径(cm)(cm)圆台口直径(cm)(cm)罐体高度(cm)(cm)整罐高度(cm)(cm)顶盖厚度(cm)(cm)侧面厚度(cm)(cm)圆台厚度(cm)(cm)罐底厚度(cm)(cm)可口可乐6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧6.624.56210.08812.1920.04480.0110.03326.62天府百柠6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可乐

25、6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜劲柠6.6144.54810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年达6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646轻怡6.6284.55210.11812.1660.04680.01040.0326.628菠萝啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒6.6144.5510.1112.

26、1660.04750.01070.03246.614项项目目数数值值种种类类六、模型求解六、模型求解表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中规定的罐体主要尺寸中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米单位：毫米)5名称名称符号符号公称尺寸极限极限偏差偏差250mL250mL275mL275mL300mL300mL335mL335mL500mL500mL罐体高度罐体高度H H90.9390.9398.9598.95115.2115.2122.22122.22167.84167.840.380.38罐体外径罐体外径D D1 166.0466.04缩颈内径缩颈内径D D2 257.4057

27、.400.250.25翻边宽度翻边宽度B B2.222.220.250.25 VdahcrdahcrhrF222 0022202222222VdahcrFcrcrrhFdahcrdahcrrhrFcdarh62rh（2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形，根据的情形，根据模型二模型二， 用用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解新的函数：求解新的函数：然后分别对，解得：解得：即即 圆柱体的圆柱体的高与半径高与半径 之比为之比为6时时为最优尺寸为最优尺寸 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts0,.2min22hrhrVtsrhrSS022222322rVrrrVr

28、32Vr 5.6MatlabSrrVVVrVh22843322322（1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形的情形 根据根据模型一模型一知：知：取取最小值最小值时，必定有时，必定有， 图7 体积一定时随变化的曲线即易拉罐的即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少时，所需材料最少。rh2:rh根据问题一中测得的实际数据可以得到根据问题一中测得的实际数据可以得到 表表3 检验数据表检验数据表罐体高度罐体高度（cmcm）罐体直径罐体直径(cm)(cm)雪碧雪碧10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 可口可乐可

29、口可乐10.08810.0886.626.621.524 1.524 天府百柠天府百柠10.10210.1026.666.661.517 1.517 百事可乐百事可乐10.11410.1146.6186.6181.528 1.528 七喜劲柠七喜劲柠10.11210.1126.6146.6141.529 1.529 美年达美年达10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 醒目醒目10.11410.1146.6466.6461.522 1.522 轻怡轻怡10.11810.1186.6286.6281.527 1.527 菠萝啤酒菠萝啤酒10.10810.1086.626

30、.621.527 1.527 雪花啤酒雪花啤酒10.1110.116.6146.6141.529 1.529 由表由表3可知：所有可知：所有均在此范围内，在均在此范围内，在1与与3之间必有一之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可大个最优值符合实际条件，从结果可大致得出此致得出此最优值应该在最优值应该在1.5附近附近。因此，实际值是合理的，而因此，实际值是合理的，而的比例关系式也符合实际情况。的比例关系式也符合实际情况。rh2:215.05.11hccrdadahccr1215.05.1（3 3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形的情形对对模型三模型三

31、用拉格朗日乘数法按（用拉格朗日乘数法按（2 2）的求解步骤求解得：）的求解步骤求解得：，此时的此时的r和和h关系即为最优关系即为最优设计尺寸设计尺寸。 rdahcrhrZYM2min222121 0,. .212dahcrVts3 3问题三的求解问题三的求解(1) (1) 易拉罐易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形的情形根据根据模型四模型四，通过，通过5 . 6matlab0l21rr 编程求解，得到要使得编程求解，得到要使得表面积最小表面积最小即圆柱体即圆柱体没有顶部的圆台没有顶部的圆台，这，这显然与已知不符，因此，我们考虑显然与已知不符，因此，我们考虑用用易拉罐所用材料最少为目标函

32、数易拉罐所用材料最少为目标函数来求解。来求解。12212122212222221210,2873.03.2minrrhlrrlmrrrrmhrVtsrhrrrlrSM， 03020302322202322223212221222222122212112222212122121rrrrlmhrMrrchMrrrrmrrblMrrlmhrrdchlbrMrrmhrbrcrcrrrmrM(2(2）易拉罐）易拉罐有不同罐壁厚度有不同罐壁厚度的情形的情形 根据根据模型五模型五，用，用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解步骤求求解步骤求解，解，先求偏导数先求偏导数，然后，然后令偏导数为令偏导数为0 0解最小值

33、解最小值: : dhcrrrrrmhrYM22212221223mincrbrcrbram2122213从而可求得从而可求得: :，四者之间的关系：四者之间的关系：1r2rlh2122212121122arrrrrrrbrrlbl211122arrrlbl212221212rrrrrrb令代入表代入表1的数值，结果见表的数值，结果见表42r2r1表4 数据表 （cmcm） (cm)(cm)雪碧雪碧2.2763.3080.04070.0413可口可乐可口可乐2.2813.310.04080.0403天府百柠天府百柠2.2873.330.04090.0414百事可乐百事可乐2.2773.3090.

34、04080.0412七喜劲柠七喜劲柠2.2743.3070.04070.0419美年达美年达2.2683.3080.04060.0411醒目醒目2.2753.3070.04070.0414轻怡轻怡2.2763.3140.04070.0409菠萝啤酒菠萝啤酒2.2743.310.04070.041雪花啤酒雪花啤酒2.2753.3230.04070.0403212检验2，结果如下：12t05.0055.0p2122212121122arrrrrrrbrrlbl1r2rl对表4中进行配对样本由结果可知由结果可知，结果的差异性结果的差异性不显著，不存在显著不显著，不存在显著差异，说明理论值与实际值相吻

35、合差异，说明理论值与实际值相吻合即，之间的关系满足上述之间的关系满足上述表达式时，表达式时，易拉罐的易拉罐的尺寸最优尺寸最优。030033302322023222231221222222221221212221211122122121121211211rrrrmhrMrcrrhMrrrrrrblMrrlhrhclbrMrrmhrbrcrcrrrmrM212221211221112222rrrrrrbrrldrblar1. 易拉罐有易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形的情形对模型六对模型六同样用同样用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法得：得：化简可得化简可得：因此，当因此

36、，当，之间的关系满足上述表之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸达式时，易拉罐的尺寸最优。最优。1r2rlhrVrhrchrrrb22232212222121221r2rhhr :221r2rhl（1）考虑）考虑美观度美观度的情形的情形 模型七用模型七用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法得：得：的关系式，此时着重考虑的关系式，此时着重考虑接近于接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最优尺，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最优尺寸。寸。之间的关系式。之间的关系式。为为45，而市售的罐底的搭接角度，而市售的罐底的搭接角度4问题四的求解问题四的求解根据模型解出新的搭接角度根据

37、模型解出新的搭接角度为为7790。（2）考虑）考虑压强引起的底面弧度变化压强引起的底面弧度变化的情形的情形 模型八模型八用用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法理论上可算出给定压强下的理论上可算出给定压强下的（3）考虑）考虑环保环保的情形的情形表表5 铝易拉罐和纸易拉罐比较表铝易拉罐和纸易拉罐比较表 铝易拉罐铝易拉罐纸易拉罐纸易拉罐投资生产线资金投资生产线资金17001700万万200200万万最小生产批量最小生产批量20002000万万2 2万万原材料原材料需进口需进口稻稻, ,麦草纸浆麦草纸浆能耗能耗高能耗高能耗工艺简单工艺简单, ,低能耗低能耗, ,环保环保成本成本约约1 1元元/ /只只约约0

38、.30.40.30.4元元/ /只只外观外观外观精美外观精美外观同样精美外观同样精美由表可知，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观同铝易拉由表可知，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观同铝易拉罐，罐，不污染环境不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生使用安全卫生，生产生产工艺简单，投资少工艺简单，投资少，尤其是，尤其是成本低的特点成本低的特点最突出。最突出。 618.0:21hh618.0:21rr12618.0212hhr既既考虑美观又兼顾消费者的满意度考虑美观又兼顾消费者的满意度，我们设计中部凹陷，可防滑，令我们设计中部凹陷，可防滑，令考虑考虑节约

39、材料节约材料，则，则图图9 新型易拉罐的立体图新型易拉罐的立体图最终，得到新型易拉罐的设计图如下：最终，得到新型易拉罐的设计图如下：图图8 新型易拉罐剖面示意图新型易拉罐剖面示意图利用利用模型八模型八，求出不同体积下易，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：项目数值种类利用利用模型八模型八，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表： (cm)(cm) (cm)(cm) (cm)(cm) (cm)(cm) (cm)(cm)180ml180ml1.7551.7552.842.842.682.684.3

40、44.340.32550.32554545250ml250ml1.961.963.173.172.992.994.8454.8450.3630.3634545275ml275ml2.0222.0223.27253.27253.093.095 50.37520.37524545300ml300ml2.082.083.373.373.183.185.155.150.3870.3874545335ml335ml2.162.163.53.53.33.35.345.340.4020.4024545345ml345ml2.182.183.533.533.343.345.45.40.4050.4054545355ml355ml2.22.23.573.573.373.375.455.450.40.44545500ml500ml2.472.474 43.783.786.116.110.4590.4594545表表6 6 各种体积下的最优尺寸各种体积下的最优尺寸1r2r1h2hm优点：优点： 1：逐步分析了：逐步分析了表面积大小、用料多少、焊缝长短、是否美观表面积大小、用料多少、焊缝长短、是否美观等因素，等因素，综合综合考虑建考虑建立模型，具有立模型，具有较强的实用性较