基于数学史背景的微积分教学

1、基于数学史背景的微积分教学 摘 要：微积分是在经济管理类专业普遍开设的一门公共数学课，也是一些学生“考研”的必考科目之一。然而，数学的抽象性和枯燥性使得许多学生望而生畏。数学史是研究数学发展过程与规律的科学。在微积分教学中，通过还原知识的历史背景，有意识地向学生介绍有关数学史的知识，如创立者的感人业绩、治学态度与方法，数学家的趣味故事，数学定义和定理的来龙去脉等等。将数学教学纳入到文化的轨道上来,可以使学生了解数学思想的形成过程，加深对数学本身的认识，力求知识的趣味性和思想性，尽量消除数学教学的枯燥性,让学生体验微积分的价值、欣赏微积分，促进学生对微积分的认知。关键词：微积分；数学史；背景；教

2、学；0 前 言微积分的诞生拉开了近代数学的序幕，推动了许多数学新分支的产生。微积分学是建立在实数、函数和极限的基础上的学科，是微分学和积分学的统称。微积分在内容和体系上与初等数学都截然不同，其高度的抽象性和严密的符号体系往往令学生不知所从。传统教材很少关注知识的形成过程和文化背景，把更多的注意力放在知识的逻辑结构上，而且与自然科学、社会科学及应用科学各个分支学科严重脱节，授课教师也多是注重知识传授的连贯性和严密的逻辑性推理体系。这些不利因素，严重影响了微积分教学的趣味性，减弱了学生对微积分这一学科的学习兴趣。感性材料和生动情境能够减少数学学科知识的抽象性，增加数学的灵动性和趣味性。在微积分教学

3、中结合数学史知识，通过历史背景知识的介绍，让学生全面了解微积分基本概念和定理的来龙去脉，对学习情景做整体性了解，知道知识发生、发展的过程，做好认知情感、态度上的准备，促进学生在已有的认知基础上同化、顺应、平衡微积分知识。同时引导学生发现数学的文化价值,尽量消除数学教学的枯燥性和抽象性，让学生体验微积分的价值、欣赏微积分的美，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。本文介绍基于数学史背景下，微积分教学的一些思考和尝试。1 通过背景故事激发学习兴趣，加深对数学概念的理解兴趣是学习的第一原动力。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者” 。我国著名的科学家

4、爱因斯坦也曾说过：“兴趣是最好的老师”。学生只有对学习产生兴趣，才会产生强烈的求知欲望，从而2 / 9把心理活动指向和集中在学习的对象上，感知觉活跃，注意力集中，观察敏锐，记忆持久而准确，思维敏锐而丰富，激发和强化学习的内在动力，调动学习的积极性而数学史中丰富的趣闻故事，是激发学生兴趣的有效资源。在微积分教学过程中，可以穿插数学史料中的有趣故事，不但可以激发学生的学习兴趣，还可以加深对数学概念、定理的理解。例如，在无穷级数新课的引入中，可以先向学生讲述“蠕虫与橡皮绳”运动悖论的故事：已知橡皮绳长1公里，一条蠕虫在橡皮绳的一端，蠕虫以每秒1厘米的均匀速度沿橡皮绳爬行，在1秒钟之后，橡皮绳就拉长到

5、了2公里，再过1秒钟后，它又拉长到3公里，这样继续下去。蠕虫最后究竟会不会到达橡皮绳的终点呢？同学们凭直觉会说：蠕虫不会爬到橡皮绳的终点。这时，教师可以告诉同学们蠕虫能爬到了终点的。同学们会对这样问题产生极大的兴趣，同时活跃了课堂气氛。老师接着说，我们尝试用数学公式表示蠕虫在第n秒末爬行的长度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕虫就爬行橡皮总绳长度的1/100000。在第2秒钟内，蠕虫爬了2公里橡皮绳的1/200000，在第3秒内，它又爬了3公里长橡皮绳的1/300000，如此下去，蠕虫爬行的长度可以表示为：(1/100000)×（11/21/31/4）。当n充分大时

6、，这个数能否超过1呢？停顿一下，告诉学生，我们可以找到这个正整数N，使上述结果成立。由这个出乎意料的结论引入正题：无穷数列11/21/31/4就是一个级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就有多大。只要这个和超过100000，上面的表达式就超过1。再如，在极限概念教学中，我们可以向学生讲述“阿基里斯追乌龟” 的背景故事：阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟提前跑了200米距离，假设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，这样当阿基里斯跑了200米时，到达了乌龟原来的出发点，而乌龟也向前跑了20米；当阿基里斯再向前跑20米时，乌龟也向前跑了2米，如果这样继续下去。可以看出，被追赶者总是在追赶者的前

7、面了，因为追赶者必须首先到达被追赶者的原来位置，所以可以得出结论，阿基里斯永远追不上乌龟！ 这个结论与我们生活中的实际情况是不相符的。古希腊人之所以被这个问题困惑了几千年，主要的原因是，他把运动中的“无限过程”与“无限时间”相提并论、混为一谈了。因为无限过程需要无限个时间段来计算的，而无限时间段的总和却可以是一个有限的数值。这个问题说明了古希腊人已经发现了“无穷小量”与“很小的量”这两个概念之间的矛盾。通过这样的故事背景介绍，同学们就很快进入这种情景里，述引人入胜，环环相扣，使学生对极限概念的产生过程有清楚的理解，并留下深刻的印象。2 发挥数学史人物的楷模作用，培养学生的创新意识在微积分的发明

8、创造过程中，出现了许多重要人物。每个概念都有着丰富的历史背景，许多定理或公式都是由数学家的名字命名的，如罗尔定理、拉格朗日中值定理、费马定理、莱布尼兹公式等等，在讲授这些内容时，可以简要介绍其发展历程和数学家的生平秩事，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，还可以让学生产生对楷模的崇拜情愫，激励自己做一个德才兼备、对国家有用的人，同时也学习数学家那种坚持不懈、勇于探索的创新精神。例如，在讲解欧拉公式的时，可以穿插数学家欧拉的感人事迹：欧拉是数学史上最著名的四大数学家之一，欧拉一生共写886篇论文和专著，其中400篇左右的论文和积分运动原理等经典名著是他在失明后的17年中完成的。用这个生

9、动感人的实例，让学生感受到数学家欧拉的坚韧意志和优秀品质，同时告诉学生“天才不是别的，而是辛劳和勤奋”的道理。再比如，在无穷级数教学中，穿插阿基米德为数学做出的卓越贡献，阿基米德被誉为数学之神，他11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习，在这座号称"智慧之都"的名城里，阿基米德博览群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研几何原本。为几何的研究付出了宝贵的生命。这些科学巨匠的成才之路对于大学生有很大的榜样和启发作用。学生可以从他们的发明创造过程中体会勇于创新的精神，和借鉴创新的方法。通过教师对数学史人物的讲解，学生从中领悟到数学家不仅要努

10、力向上、勇于攀登还要勤奋专研、坚忍不拔。中国古代有“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”的名句激励每个人。通过数学家的事迹加强学生对创造性思维的感悟和创新精神的培养，并从数学家的事迹中学到数学发明创造的经验和方法。正如著名数学教育家波利亚说：“数学发现是一种技巧，发现的能力可以通过灵活的教学加以培养，从而使学生学会发现的原则并付诸实践”。3 灌输辩证思想，树立科学世界观辩证唯物主义的世界观强调不能一成不变地看问题，要注重事物的发展变化。而微积分学科的知识强有力地表现了变化的观点，几乎现实世界任何变动的过程都需要微积分来表现和刻画。比如极限的概念，定积分的概念及应用等内容都深刻地反映了辩证的思想。在

11、微积分的教学中，要善于挖掘其中的辩证思想，对学生进行潜移默化的引导和渗透。可以使学生在学习中领会运动与变化的观点，联系的观点以及有限与无限等对立统一的规律，帮助学生树立科学的世界观，提高思辨能力。在无穷小量概念教学时，以“数学的第二次危机无穷小量是零吗？”为故事背景向学生讲述：微积分的创始人是牛顿莱布尼茨，从此微积分就诞生了，这样一来，一方面给原有的数学教学方法带来很大的改变，另一方面也给传统数学教学带来对概念无法理解的现象，主要表现在“无穷小量”概念的理解。乔治·贝克莱是爱尔兰的哲学家，也是英国近代经验主义哲学家的三位代表人物之一，他于1734年发表了分析学家或者向一个不信正教数学

12、家的进言，矛头就指向微积分学的基础，就是无穷小量的问题，这就是数学史上所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求导数的时候，先采取了给以增量，再用减去来求增量，并除以用求出的增量与的增量之比，然后又让消失，这样就得出增量的最终比。上面过程牛顿违反了矛盾律。他先设有增量，又令增量为零，也就是假设没有增量。他认为无穷小量既可以等于零又可以不等于零，也就是无穷小量是召之即来，挥之即去，这是荒谬的。微积分由此也就变得“神秘”了。无穷小量究竟是不是零？无穷小量及其分析是否合理呢？这个问题就引发了数学史上的第二次危机。一直到一个半世纪以后，数学家柯西把无穷小量定义为一个以零为极限的变量才得以解决。对这个悖论的解释归

13、根结底是人们对变量及有限、无限的认识缺陷而造成的。通过这样数学故事的讲述，能够引起学生的思考，通过教师的适时引导，师生一起思辨，辩证唯物主义的思想直接深入到学生的头脑中。除了在数学课堂教学中渗透数学史外，还可以通过多种途径、多种形式对学生进行数学史的教育。如：发挥学生的主观能动性，以数学板报的形式出现，介绍数学家的事迹、历史名题等。还可以，适当举办一些数学史的专题讲座或专题班会；教师向学生推荐一些数学家传记、数学名著，较通俗的数学通史的等著作阅读，不仅可以增进学生对数学的兴趣理解，同时也是进行数学史教育的好方法。 4 结 论 总之，在微积分的课堂教学中，应该结合根据教学内容，适当穿插数学知识产生的历史背景及发展历程等感性的数学史资料。通过数学史背景知识的教学，让学生感受到微积分中数学知识的美感，改变学生数学学习中的枯燥无味的现象，调动了学生学习数学的兴趣和积极性，数学中的无穷魅力将会展现在学生