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文档简介

1、2.2 复合函数求导法则一、导入新课： 上节课我们学习了导数的概念、性质、几何意义和基本初等函数的求导公式，本节课我们要介绍复合函数的求导方法。二、讲授新课：2.2.1 复合函数的求导法则利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算，只能够求一些比较简单的函数导数，对比较复杂的复合函数，还要利用“复合函数的求导法则”去求。复合函数求导法则是求导的灵魂，是求初等函数的导数所不可缺少的工具。引例2.2.1 前面我们已经指出，利用导数的四则运算法则求解： 引例2.2.2 设，求解： 上面两个例子都表明：“复合函数对自变量的导数等于该函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积。”这个规律是否具有普

2、遍性呢？下面的定理给出了肯定的回答。1 / 5定理2.2.1（复合函数的求导法则）如果函数在点处可导，而函数在对应的点处可导，那么复合函数也在点处可导，且有或例2.2.2 求的导数。解：例2.2.4 求函数的导数。解： 2.2.2 反函数的求导法则定理2.2.2 若单调连续函数在点处可导，而且 ，则它的反函数在对应的点处也可导，且有 或例2.2.6 验证指数函数求导公式成立。证：因为是的反函数，且在内单调、可导，又所以 即 特别地，有2.2.3 三个求导方法1）隐函数求导法对于求由隐函数所确定的函数导数问题，我们给出隐函数求导方法：第一步，注意到是的函数，方程的两端同时对求导，得到关于的方程；

3、第二步，解出，得所求的导数。例2.2.7 求由方程所确定的隐函数的导数。解：把方程的两端对求导，记住是的函数，得即 由上式解出，便得隐函数的导数为 2）对数求导法对数求导法也分为如下两步：第一步，对函数的两边取对数，得；第二步，利用隐函数求导法则，方程两边对求导，注意到是的函数。例2.2.9 求的导数解：对两边取对数，得两边求导，得所以3）由参数方程所确定的函数求导法参数方程 （为参数）如果函数，都可导，且，又具有单调连续的反函数，则参数方程确定的函数可以看成与复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有 或例2.2.10 求星形线上任一点处的切线斜率。解：平面曲线上点处的切线斜率是曲线的纵坐标对横坐标的导数，即三、小结： 本节首先介绍复合函数的求导方法，然后介绍反函数的求导法则，最后再分别介绍隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数求导法等三个求导技巧，借助于这些法则与技巧，就能比较方便地求出初等函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数。

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