多元函数积分学Ⅰ

1、第十章 多元函数积分学一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数，建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼（Riemann）积分.第一节 二重积分一、二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.曲顶柱体的体积设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的非负（即f（x，y）0）连续函数，它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S，怎样求以曲面S为顶，以闭区域D为底，其侧面是一柱面（它的准线是闭区域D的边界L，母线平行于z轴）的曲顶柱体的体积呢（图10-1）？图10-1分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似

2、的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决它（图10-2）.图10-2（1）分割闭区域D为n个小闭区域1，2，n，同时也用i表示第i个小闭区域的面积，相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.（2）在每个小闭区域上任取一点1 / 64（1，1），（2，2），（n，n），对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f（i，i）而底为i的平顶柱体的体积来近似代替.（3）这n个平顶柱体的体积之和Vn=,就是曲顶柱体体积的近似值.（4）用=maxd（i）表示n个小闭区域i的直径的最大值（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值）.当0（可理解为i收缩为一点）时，上述和式的极限

3、，就是曲顶柱体的体积：V=.2.平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点（x，y）处的面密度是=（x，y）.设（x，y）是连续的，求薄片的质量（图10-3）.图10-3先分割闭区域D为n个小闭区域1，2，n，在每个小闭区域上任取一点（1，1），（2，2），（n，n）近似地，以点（i，i）处的面密度（i，i）代替小闭区域i上各点处的面密度，得到第i块小薄片的质量的近似值（i，i）i，于是整个薄片质量的近似值是Mn=,用=maxd（i）表示n个小闭区域i的直径的最大值，当D无限细分，即当0时，Mn的极限就是薄片的质量M，即M=.以上两个具体问题，虽然背景不同，但所求量都归结为同一形

4、式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f（x，y）在D上有界.将D分为n个小区域1，2，n，同时用i表示该小区域的面积，记i的直径为d（i），并令=d（i）.在i上任取一点（i，i），（i=1，2，n），作乘积f（i,i）i，把这些乘积加起来，得和式Sn= .若0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点的取法)，则称这个极限值为函数z=f（x，y）在D上的二重积分，记作，即=， （10-1-1）其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，d叫做面积元素，f（x，y）d叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，叫做积分和.在直角坐标系中

5、，我们常用平行于x轴和y轴的直线（y=常数和x=常数）把区域D分割成小矩形，它的边长是x和y，从而=xy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d=dxdy，二重积分也可记作=.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f（x，y）在区域D上的二重积分V=；薄片的质量M是面密度=（x，y）在区域D上的二重积分M=因为总可以把被积函数z=f（x，y）看作空间的一张曲面，所以当f（x，y）为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x，y）为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果f（x，y）在某部分区域上是正的，而在其余的

6、部分区域上是负的，那么f（x，y）在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果f（x，y）在区域D上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在），则称f（x，y）在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果f（x，y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（x，y）在D上可积.我们总假定z=f（x,y）在闭区域D上连续，所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.二、二重积分的性质设二元函数f（x，y），g（x，y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的

7、若干基本性质.下面列举这些性质，我们只证其中的几个，其余的请读者自己去证明.性质1 常数因子可提到积分号外面，即： =k ，其中k是常数.性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即： =性质3 设闭区域D由D1、D2组成，且D1、D2除边界点外无公共点（见图10-4），则f（x，y）在D上的二重积分等于在D1及D2上二重积分的和，即 =+. （10-1-2）图10-4证 将D1，D2任意分成许多小闭区域，这样D也被分成了许多小闭区域：1，2，n如以i1表示包含在D1中的小闭区域，i2表示包含在D2中的小闭区域，则=，其中n1+n2=n.令=maxd（i）0，在等式两边取极限就得到（

8、10-1-2）式.这个性质表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4 设在闭区域D上f（x，y）=1，为D的面积，则=从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5 设在闭区域D上有f（x，y）g（x，y），则。性质6。证 显然在D上有。由性质5得，于是得到。这就是说，函数二重积分的绝对值必小于（或等于）该函数绝对值的二重积分.性质7 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点（，）使得下式成立=f（，）这一性质称为二重积分的中值定理.证 因f（x，y）在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D

9、上必存在一点（x1，y1）使（f（x1，y1）等于最大值M，又存在一点（x2，y2）使f（x2，y2）等于最小值m，那末对于D上所有点（x，y），有m=f（x2，y2）f（x，y）f（x1，y1）=M由性质1，5可得mM再由性质4得mM，或mM根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点（，），使得=f（，），即=f（，），（，）D证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当Sz=f（x，y）为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点（，）的函数值f（，）为高的平顶柱体，它的体积f（，）就等于这个曲顶柱体的体积.三、二重积分的计算前面我们已经建立了二重积分

10、的概念与性质，本节将根据二重积分的几何意义来说明二重积分的计算方法.把计算二重积分的问题，化为接连计算两个定积分的问题.下面我们考虑利用直角坐标系计算二重积分的问题.按照二重积分的几何意义，当被积函数f（x，y）0时，二重积分的值等于以D为底，以曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V.设积分区域D由两条平行直线x=a，x=b及两条连续曲线y=1（x），y=2（x）（在a，b上1（x）2（x）所围成，这时D可用不等式axb与1（x）y2（x）来表示（图10-5）.图10-5用平行于yOz坐标面的平面x=x0（ax0b）去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以

11、区间1（x0），2（x0）为底，以z=f（x0，y）为曲边的曲边梯形（图10-6），所以这截面的面积为图10-6A（x0）=一般地，过区间a，b上任一点且平行于yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为A（x）=，其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间a，b上，A（x）是x的函数.现在用平行于yOz坐标面的平面，把曲顶柱体切割成许多薄片.考虑位于x与x+dx之间的薄片，这个薄片的厚度为dx，于是薄片的体积近似为dV=A（x）dx.所以曲顶柱体的体积为V=，即得=，或记作=上式右端是一个先对y，后对x积分的累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x处的截面积A（x

12、），所以x是a，b之间任何一个固定的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积A（x）dx，所以x是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了f（x，y）0，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若z=f（x，y）在闭区域D上连续，D：axb，1（x）y2（x），则 = （10-1-3）完全类似地，先对x积分再对y积分就有结论：若z=f（x，y）在闭区域D上连续，D：cyd，1（y）x2（y）（图10-7），则有 = （10-1-4）图10-7当我们把二重积分化成累次积分时，需要先画出积分区域D的图形，按图形找出区域D中点的x，y坐标所满足的不等式，然

13、后再来确定两次定积分的上下限.图10-8例1 计算二重积分，其中D为直线y=x与抛物线y=x2所包围的闭区域.解 先画出区域D的图形，再求出y=x与y=x2两条曲线的交点，它们是（0，0）及（1，1）.区域D（图10-8）可表示为：0x1，x2yx因此由公式（10-1-3）得=也可以化为先对x，后对y的积分，这时区域D可表为：0y1，yx.由公式（10-1-4）得=.积分后与上面结果相同.例2 计算二重积分，其中D是由直线y=x，x=-1和y=1所围成的闭区域.解 画出积分区域D，易知D：-1x1，xy1（图10-9），若利用公式（10-1-3）得图10-9=若利用公式（10-1-4），就有=

14、，也可得同样的结果.例3 计算二重积分,其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围之闭区域.解 求得三线的三个交点分别是及（2，2）.如果先对y积分，那么当x1时，y的下限是双曲线y=，而当1x2时，y的下限是直线y=x，因此需要用直线x=1把区域D分为D1和D2两部分（图10-10）.图10-10D1: x1，y2；D2: 1x2， xy2.于是=+=+=+=+=+=如果先对x积分，那么D1y2，xy，于是=由此可见，对于这种区域D，如果先对y积分，就需要把区域D分成几个区域来计算.这比先对x积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D和被积函数的特点，选择适当的次序进行积

15、分.例4 设f（x，y）连续，求证=证 按照公式（10-1-3），上式左端可表为=，其中D：axb，ayx（图10-11）区域D也可表为：ayb，yxb，于是改变积分次序，由公式（10-1-4）可得=由此可得所要证明的等式.图10-11例5 求两个半径相等其轴线垂直相交的圆柱面所围成的立体的体积.解 设圆柱面的半径为R，且这两个圆柱面的方程分别为：x2+y2=R2，x2+z2=R2利用所求立体关于坐标面的对称性，只需求出它在第一卦限部分的体积，然后乘以8就行了.所求立体在第一卦限部分，可以看成是一个曲顶柱体，它的底是xOy平面上四分之一圆D1：0xR，0y（图10-12），它的顶是z= ，于是

16、所求立体的体积为图10-12V=8=8=8=8=R3.四、二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多，我们知道，对定积分作变量替换x=（t）时，要把f（x）变成f（t），dx变成（t）dt,积分限a，b也要变成对应t的值.同样，对二重积分作变量替换时，既要把f（x，y）变成f（x（u，v），y（u，v），还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区域Duv，并把D中的面积元素d变成Duv中的面积元素d*.我们先来考虑面积元素的变化情况.*设函数组x=x（u，v），y=y（u，v）为单值函数，在Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式J=0,则由反函数存在

17、定理，一定存在着D上的单值连续反函数u=u（x，y），v=v（x，y）这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为xOy面上的曲线u（x，y）=u0，v（x，y）=v0.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线u=ui，v=vj（i=1，n；j=1，m）将区域Duv分割成若干个小矩形，则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网（图10-13）.a b图10-13在Duv中任取一个典型的小区域Duv（面积记为*）及其在D中对应的小区域D（面积记为），如图10-14所示.a b图10-14设D的四条边界线的交点为P1（x0，y0），P2（x0+x1，y0+y1）

18、，P3（x0+x2，y0+y2）和P4（x0+x3，y0+y3）.当u，v很小时，xi,yi（i=1,2,3）也很小，D的面积可用与构成的平行四边形面积近似.即.而=（x1）i+（y1）j=x（u0+u,v0）-x（u0,v0）i+y（u0+u,v0）-y（u0,v0jxu（u0,v0）ui+yu（u0,v0）uj同理xv（u0,v0）vi+yv（u0,v0）vj,从而得=的绝对值=*.因此，二重积分作变量替换x=x（u，v），y=y（u，v）后，面积元素d与d*的关系为d=d*或dxdy=dudv.由此得如下结论：若f（x，y）在xOy平面上的闭区域D上连续，变换T：x=x（u，v），y=y

19、（u，v），将uOv平面上的闭区域Duv变成xOy平面上的D,且满足:（1） x（u，v），y（u，v）在Duv上具有一阶连续偏导数，（2） 在Duv上雅可比式J=0;（3）变换T：DuvD是一对一的，则有 = （10-1-5）下面我们讨论二重积分计算中最常用的一种换元法极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分计算法.作变换x=rcos，y=rsin，则=r0，从而=.把极坐标系下的二重积分化成二次积分，一般是先对r后对积分.具体有以下几种情况：（1） 极点是区域D的外点，如图10-15a，则D可用不等式r1（）rr2（），a b c图10-15来表示，即=.（2） 极点是区域D的边界点，如图10

20、-15b，则D可用不等式0rr（），来表示，即=（3） 极点是区域D的内点，如图10-15c，则D可用不等式0rr（），02来表示，则=例6 计算二重积分，其中D是单位圆在第象限的部分.解 采用极坐标系.D可表为0，0r1（图10-16），于是有图10-16= =例7 计算二重积分，其中D是二圆x2+y2=1和x2+y2=4之间的环形闭区域.解 区域D（图10-17）：02，1r2，所以=图10-17*例8 计算二重积分，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=2所围成的闭区域.解 令u=y-x，v=y+x，则x=，y=.在此变换下，xOy面上闭区域D变为uOv面上的对应区域D（图10-18）. 雅

21、可比式为J= = = ，则得=e-e-1.a b图10-18*例9 设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域：x2=ay，x2=by，y2=px，y2=qx，其中0ab，0pq，求D的面积.解 由D的构造特点，引入两族抛物线y2=ux，x2=vy，则由u从p变到q，v从a变到b时，这两族抛物线交织成区域D（图10-19）.图10-19雅可比行列式为 J=，则所求面积S=（b-a）（q-p）.第二节 三重积分一、三重积分的概念二重积分在几何上表示曲顶柱体的体积，三重积分已没有几何意义，但它在物理和力学中同样有着重要的应用.在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考

22、虑求空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域，在中每一点（x，y，z）处的体密度为（x，y，z），其中（x，y，z）是上的正值连续函数.试求该物体的质量.先将空间区域任意分割成n个小区域v1，v2，vn（同时也用vi表示第i个小区域的体积）.在每个小区域vi上任取一点（i，i,i）,由于（x，y，z）是连续函数，当区域vi充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点（i，i，i）处的密度，因此每一小块vi的质量近似等于（i，i，i）vi物体的质量就近似等于,令小区域的个数n无限增加，而且每个小区域vi无限地收缩为一点，即小区域的最大直径=maxd（vi）0时，取极限即得该物体的质量M= .仿照

23、二重积分定义可类似给出三重积分定义：定义1 设是空间的有界闭区域，f（x，y，z）是上的有界函数，任意将分成n个小区域v1，v2，vn，同时用vi表示该小区域的体积，记vi的直径为d（vi），并令= d（vi），在vi上任取一点（i，i，i），（i=1，2，n），作乘积f（i，i，i）vi，把这些乘积加起来得和式，若极限存在(它不依赖于区域的分法及点（i，i，i）的取法)，则称这个极限值为函数f（x，y，z）在空间区域上的三重积分，记作,即 =,其中f（x，y，z）叫做被积函数，叫做积分区域，dv叫做体积元素.在直角坐标系中，若对区域用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.

24、和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号来表示，即在直角坐标系中体积元素dv可记为dxdydz.有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数（x，y，z）在区域V上的三重积分表示，即M=,如果在区域上f（x，y，z）=1，并且的体积记作v，那么由三重积分定义可知=V.这就是说，三重积分在数值上等于区域的体积.三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述.二、三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式.把三重积分想象成占空间区域的物体的质量.设是柱形区域，其上、下分别由连续曲面z=z2（x，y），z=z1（x，y）所围成，它们在xOy平面上

25、的投影是有界闭区域D；的侧面由柱面所围成，其母线平行于z轴，准线是D的边界线.这时，区域可表示为z1（x，y）zz2（x，y），（x，y）D先在区域D内点（x，y）处取一面积微元d=dxdy，对应地有中的一个小条，再用与xOy面平行的平面去截此小条，得到小薄片（见图10-20）.于是以d为底，以dz为高的小薄片的质量为f（x，y，z）dxdydz把这些小薄片沿z轴方向积分，得小条的质量为.然后，再在区域D上积分，就得到物体的质量图10-20也就是说，得到了三重积分的计算公式=. （10-2-1）例1 计算三重积分，其中是三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的区域（图10-21）.图10-21解

26、 积分区域在xOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线x+y=1围成的区域：0x1，0y1-x，所以= = =例2 计算三重积分，其中：x0，y0，z0，x2+y2+z2R2（图10-22）.图10-22解 区域在xOy平面上的投影区域D：x0，y0，x2+y2R2.对于D中任意一点（x，y），相应地竖坐标从z=0变到z=.因此，由公式（10-2-1）得=R4.三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算.若积分区域如图10-23所示，它在z轴的投影区间为A，B，对于区间内的任意一点z，过z作平行于xOy面的平面，该平面与区域相交为一平面区域，记作D（z）.

27、这时三重积分可以化为先对区域D（z）求二重积分，再对z在A，B上求定积分，得 = （10-2-2）图10-23我们可利用公式（10-2-2）重新计算例2中的积分.区域在z轴上的投影区间为0，R，对于该区间中任意一点z，相应地有一平面区域D（z）：x0，y0与x2+y2R2-z2与之对应.由公式（10-2-2），得=.求内层积分时，z可以看作常数：并且D（z）：x2+y2R2-z2是个圆，其面积为（R2-z2），所以=（R2-z2）dz= R4.例3 计算三重积分，其中：1.解 我们利用公式（10-2-2）将三重积分化为累次积分.区域在z轴上的投影区间为-c，c，对于区间内任意一点z，相应地有一

28、平面区域D（z）：1与之相应，该区域是一椭圆（图10-24），其面积为ab.所以=abc3图10-24读者若自己用公式（10-2-1）试算一下，可知此积分利用公式（10-2-2）比用公式（10-2-1）计算简便得多.三、三重积分的换元法对于三重积分作变量替换：它给出了Orst空间到Oxyz空间的一个映射，若x（r,s,t）,y（r,s,t）,z（r,s,t）属于C1类，且0,则建立了Orst空间中区域*和Oxyz空间中相应区域的一一对应，与二重积分换元法类似，我们有dv=drdsdt.于是，有换元公式=作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换.1. 柱面坐

29、标变换三重积分在柱面坐标系中的计算法如下.变换称为柱面坐标变换，空间点M与（r，z）建立了一一对应关系，把（r，z）称为点M的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r,为点M在xOy面上的投影P的极坐标.0r+，02，-z+（图10-25）.图10-25柱面坐标系的三组坐标面为（1） r=常数，以z为轴的圆柱面；（2） =常数，过z轴的半平面；（3） z=常数，平行于xOy面的平面.由于=r，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：dxdydz=rdrddz.于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为： =. （10-2-3）至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来

30、进行.通常把积分区域向xOy面投影得投影区域D，以确定r，的取值范围，z的范围确定同直角坐标系情形.例4 计算三重积分，其中是由锥面z=与平面z=1所围成之区域.解 在柱面坐标系下，积分区域表示为rz1，0r1，02（图10-26），所以=2=.图10-26例5 计算三重积分，其中是由曲线y2=2z，x=0绕z轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之区域.解 曲线y2=2z，x=0绕z旋转，所得旋转面方程为x2+y2=2z.积分区域向xOy面投影得投影区域D，由于过D中的点作z轴平行线穿过时，与围成的不同曲面相交，因此，需把D分成两个部分D1和D2（图12-27），则=+=+=336.

31、图10-272. 球面坐标变换三重积分在球面坐标系中的计算法变换称为球面坐标变换，空间点M与（r，）建立了一一对应关系，把（r，）称为M的球面坐标（图10-28），其中0r+, 0, 02.图10-28球面坐标系的三组坐标面为：（1）r=常数，以原点为中心的球面；（2）=常数，以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为的圆锥面：（3）=常数，过z轴的半平面.由于球面坐标变换的雅可比行列式为=r2sin，则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:dxdydz=r2sindrdd于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为=. （10-2-4）例6 计算三重积分，其中表示圆锥面x2+y2=z2与球面x2+y2

32、+z2=2Rz所围的较大部分立体.解 在球面坐标变换下，球面方程变形为r=2Rcos，锥面为=（图10-29）.这时积分区域表示为02，0，0r2Rcos，图10-29所以 =R5.例7 计算三重积分，其中是由曲面x2+y2+z2=a2，x2+y2+z2=4a2，=y所围成的区域.图10-30解 积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为x=rsincos, z=rsinsin, y=rcos，这时dv=r2sindrdd，积分区域表示为ar2a，0，02（图10-30）.所以=.值得注意的是，三重积分计算是选择直角坐标还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积分，通常要综合考虑积分域和被积

33、函数的特点.一般说来，积分域的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算.*第三节 广义二重积分与一元函数的广义积分一样，二重积分也可以推广到无穷区域与无界函数两类广义二重积分，下面对这两类广义二重积分的概念和收敛的判别法则作一简单介绍（证明略去）.1.无界区域的广义二重积分定义1 设D是一无界区域，f（x，y）是定义在D上的有界函数，任作一有界闭区域序列D1，D2，Dn，使DnD（n=1，2，），DnDn+1，且当n+时Dn扩张成为D.如果不论Dn如何作法，极限均存在，

34、那么称f（x，y）在无界区域D上的广义二重积分收敛，并称此极限值为该广义二重积分的值，即=；否则称此广义二重积分发散.定理1（收敛判别法） 设f（x，y）在无界区域D上连续，若存在00，使当=0且（x，y）D时，有f（x，y），其中M与均为常数，则当2时广义二重积分收敛.例1 证明无界区域上的二重积分I=收敛，并求其值，其中R2是全平面.证 由于对任一常数2均有=01,从而00，使当0时有,由定理1可知广义二重积分I收敛.因此，要求I的值只需要选取一组可以扩充到全平面的特殊区域序列去计算就行了.现取=（x，y）x2+y22，当n+时，有an+，于是I= =（1-）=.如果我们把扩充至全平面的区

35、域序列选作正方形序列Dn=（x，y）-nxn，-nyn，那么有I= =由于广义二重积分I存在，其值为，从而=,或 =1. （10-3-1）（10-3-1）式中的广义积分称为概率积分，它在概率统计中占有重要的地位.2. 无界函数的二重积分定义2 设f（x，y）在有界闭区域D上除一点P0（x0，y0）外处处连续，且当（x，y）（x0，y0）时，f（x，y），作点P0的任一d邻域U（P0，d），记Nd=U（P0，d）D.如果不论U（P0，d）如何选取，当d0，即Nd缩为点P0时，极限存在，那么称f（x，y）在有界区域D上的二重积分收敛，并称该极限值为此广义二重积分的值，即=；否则,称其发散.定理2（

36、收敛判别法） 设f（x，y）在有界闭区域D上除P0（x0，y0）外处处连续，且当（x，y）（x0，y0）时f（x，y），若不等式f（x，y）在D上除点（x0，y0）外处处成立，其中M与均为常数，且，则当2时广义二重积分收敛.例2 证明广义二重积分I=收敛，并求其值，其中D=（x，y）x2+y21证 由于（x+y）2x2+y2，因此在D内除点（0，0）外有=，由定理2可知广义二重积分I收敛.作P0（0，0）的任一邻域U（P0，d），则I=4=4=4ln（+1）.第四节 重积分的应用我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题，这种元素法也可以推广到重积分的应用中，如果所考察的某个量u对于闭区域具

37、有可加性（即：当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量u相应地分成许多部分量，且u等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应的部分量可近似地表示为f（M）d的形式，其中M为d内的某一点，这个f（M）d称为所求量u的元素而记作du，以它为被积表达式，在闭区域D上积分 u=, （10-4-1）这就是所求量的积分表达式，显然当区域D为平面闭区域，M为D内点（x，y）时，d=d即为面积微元，则（10-4-1）式可表示为u=.当区域D为空间闭区域，M为D内点（x，y，z）时，d=dv即为体积微元，则（10-4-1）式可表示为u=下面仅讨论重积分在几何物理上的一些应用.一、空间曲面的

38、面积设曲面S的方程为z=f（x，y），曲面S在xOy坐标面上的投影区域为D，f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x,y）,我们要计算曲面S的面积A.在D上任取一面积微元d，在d内任取一点P（x，y），对应曲面S上的点M（x，y，f（x，y）在xOy平面上的投影即点P，点M处曲面S有切平面设为T（图1031），以小区域d的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，其面积记为A，柱面在切平面上截下一小片平面，其面积记为dA，由于d的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可近似代替曲面S上相应的那一小片曲面的面积A，即AdA图10-31设点M处曲面S

39、的法线（指向朝上）与z轴正向的夹角为，则根据投影定理有dA= .因为 cos= ，所以 dA= ,这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域D上积分，得A= 或A=,这就是曲面面积的计算公式.设曲面方程为x=g（y，z）或y=h（z，x），则可把曲面投影到yOz面上（或zOx面上），得投影区域Dyz（或Dzx），类似可得A=,或A=.例1 求半径为a的球的表面积.解 取上半球面方程为z=，则它在xOy面上的投影区域D可表示为x2+y2a2.由 ，,得 =.因为这函数在闭区域D上无界，不能直接应用曲面面积公式，由广义积分得A=.用极坐标,得A=2a =4a2.例2 求旋转抛物面z=（x2+

40、y2）被圆柱面x2+y2=R2所截下部分的曲面面积S.解 曲面的图形如图10-32所示.曲面的方程为z=（x2+y2），它在xOy坐标面上的投影区域为D；x2+y2=r2R2,即rR图10-32由 =x，=y，得 S=用极坐标，则S=2=.二、空间几何体的体积设空间几何体的体积为V，曲面z=f1（x，y）为顶，曲面z=f2（x，y）为底，顶与底在xOy平面上的投影区域为D，如图10-33所示，由二重积分和三重积分的定义，有V= 或V= 其中d为D的面积微元，dV为的体积微元.同样可把投影到yOz平面或zOx平面上再应用二重积分的求体积公式.图10-33例3 求由球面x2+y2+z2=4a2与圆

41、柱面x2+y2=2ax所围成的立体的体积（包含在圆柱体内的部分）.解 圆柱面标准方程为（x-a）2+y2=a2，所围成的立体在第一卦限中的部分，是一个以半圆域（x-a）2+y2a2，y0为底，以曲面z= 为顶的曲顶柱体（图10-34）.图10-34设立体体积为V，则有V=.利用极坐标有V=.例4 在一个形状为旋转抛物面z=x2+y2的容器（图10-35）内，已经盛有8cm3的溶液，现又倒进120cm3的溶液，问现在的液面比原来的液面升高多少？图10-35解 设液面高度为h，则由z1=x2+y2与z2=h所围成的立体体积为V=.在极坐标系内，D表示为0r，02，于是，容量V与高度h之间的关系是V

42、=.把V1=8与V2=128分别代入上式，就得h1=4，h2=16.因此，现在的液面比原来的液面升高了h2-h1=12cm.例5 求由球面x2+y2+z2=2az（a0）和顶角为2，以z轴为中心轴的圆锥面所围成的立体的体积（图10-36）.图10-36解 在球面坐标系下球面x2+y2+z2=2az的方程为r=2acos，圆锥面的方程为=.这个立体可表示为02，0，0r2acos，则体积V可表示为V= = =2 a3 = a3（1-cos4）.读者也可以用二重积分计算本题.三、平面薄片的重心设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）处，质量分别为m1

43、，m2，mn.由力学知识知道，该质点系的重心的坐标为,其中M=为该质点系的总质量.My=，Mx= 分别为该质点系对y轴和x轴的静矩.设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度为（x，y），（x，y）在D上连续，现在要找该薄片的重心坐标.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这个小闭域的面积也记作d），（x，y）是这个闭区域上的一个点.由于d直径很小，且（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于d的部分的质量近似等于（x，y）d，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx分别为：dMy=x（x，y）d，dMx=y（x，y）d.以这些元素为被积表达

44、式，在闭区域D上积分，便得My= ,Mx= .又由第一节知道，薄片的质量为M=，所以，薄片的重心的坐标为如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把提到积分记号外面并从分子、分母中约去，于是便得到均匀薄片重心的坐标为=， =， （10-4-2）其中A=为闭区域D的面积.这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定.我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此平面图形D的形心，就可用公式（10-4-2）计算.例6 求位于r=1，r=2之间的均匀半圆环薄片的重心（图10-37）.图10-37解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心C必位于y轴上，于是=0，D的面积为A=.而=，所以由

45、公式（10-4-2）得=，即重心为.四、平面薄片的转动惯量设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）处，质量分别为m1，m2，mn.由力学知识知道，该质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为：Ix=, Iy=.设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度为（x，y），假定（x，y）在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy.应用元素法.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这个小闭区域的面积也记作d），（x，y）是这小闭区域上的一个点.因为d的直径很小，且（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于d部

46、分的质量近似等于（x，y）d，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素：dIx=y2（x,y）d;dIy=x2（x,y）d.以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得Ix=， Iy=. （10-4-3）例7 求由y2=4ax，y=2a及y轴所围成的均质薄片（面密度为1）关于y轴的转动惯量（图10-38）.图10-38解 区域D由不等式0y2a,0x所确定.根据转动惯量Iy的计算公式，得Iy=.五、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有xOy平面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度为（x，y），假定（x，y）在D上连续.现在要计算该薄片对

47、位于z轴上的点M0（0，0，a）（a0）处的单位质量的质点的引力.我们应用元素法来求引力F=（Fx，Fy，Fz）.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这小闭区域的面积也记作d），（x，y）是d上的一个点.薄片中相应于d的部分的质量近似等于（x，y）d，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）处，于是，按两质点间的引力公式，可得出薄片中相应于d的部分对该质点的引力的大小近似地为G，引力的方向与（x，y，0-a）一致，其中r=，G为引力常数.于是薄片对该质点的引力在三个坐标轴上的投影Fx，Fy，Fz的元素为：dFx=G，dFy=G， dFz=G.以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得到Fx

48、=G，Fy=G， （10-4-4）Fz=-Ga.例8 求面密度为常量、半径为R的匀质圆形薄片：x2+y2R2，z=0对位于z轴上点M0（0，0，a）（a0）处单位质量的质点的引力.解 由积分区域的对称性易知，Fx=Fy=0.记面密度为常量，这时Fz=-Ga=-Ga=-Ga=2Ga，故所求引力为.六、三重积分应用举例类似于二重积分的应用，三重积分在物理学上也有相应的应用，例如求空间物体的重心、转动惯量、引力等.当物体占有空间闭域，体密度为（x，y，z）时，用微元法不难得到如下结论:（1） 其重心坐标为 （10-4-5）其中 M=（2） 绕x轴、y轴、z轴及原点的转动惯量分别为Ix=， Iy= （10-4-6）Iz= I0=（3）对质量为m的质点0（x0，y0，z0）的引力在x，y，z轴的分量为Fx=Gm Fy=Gm （10-4-7） Fz=Gm其中r=（x-x0，y-y0，z-z0）.例9 设一均匀物体由球面x2+y2+z2=R2与半顶角为的圆锥面x2+y2=z2(0)围成，如图10-39所示，求其重心.图10-39解 由密度为常数及物体的对称性知=0，采用球面坐标变换，积分区域表示为：0rR，02，0.由公