多元微分学的基本概念计算与应用

1、多元微分学的基本概念、计算与应用一、考试内容（一）多元函数微分学计算法则1、记忆下述推理框图：且偏导连续可偏导 可微 方向导数存在（数一） 连续2、记忆二元函数的偏导数定义：；，对类似；在处连续，对在处连续类似；在处连续，对在处连续类似；在处连续.3、记忆多元复合函数的求导法：，则全导数，或.，则，.，则，.;.4、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）：公式法1：若，则存在，且.公式法2：若，则存在，且.若确定，则.5、记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关.6、记忆多元函数的求微法：满足，则，且有.可微，则.可微，则.1 / 13可微，且确定

2、，则由计算.（二）多元函数的极值与最值问题1、极值的必要条件和极值的充分条件设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有 设函数在点的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又令则在点处是否取得极值的条件如下： （1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值； （2）时没有极值； （3）时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论.2、多元函数的极大值、极小值. 求的极值的一般步骤为：第一步 解方程组 求出的所有驻点；第二步 求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数在极值点处的极值.3、条件极值解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条

3、件极值问题.一般有三个方法：一是降元法；二是升元法-拉格朗日乘数法；三是几何法.降元法是解决条件极值问题最彻底的方法，它可使得原目标函数降元，变成一（二）元函数，得到驻点后，利用极值的充分条件进行判定，但有时降元无法实现，也会出现降元后的目标函数变得非常繁琐.对升元法-拉格朗日乘数法，一般有以下两种情况：（1） 在条件（）下, 求目标函数（）的极值. 引进拉格朗日函数（）它将有约束条件的极值问题化为无条件的极值问题.求解时，一般先利用消去，得到的关系，在与联立求解.若得到唯一驻点，则根据实际情况判断其极值性；若得到几个驻点，则根据其相应的函数值大小判断其极值性.（2） 在条件和下，求目标函数的

4、极值， 则引进拉格朗日函数 .用几何法时需记忆一些平面（空间（数一）解析几何的公式，如：（1）点到平面距离公式.（2）点到直线的距离公式.（3）求点到曲面的距离,需用到曲面的切平面公式.4、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）求函数的最大值和最小值的一般步骤为： 第一步 求函数在内所有驻点处的函数值； 第二步 求在的边界上的最大值和最小值； 第三步 将前两步得到的函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 注：在证明不等式的问题时，需将在上的最值问题与积分估值定理联合考虑.（三）特殊曲面（数一）1、平面的方程为， 抛物面方程为.2、 球面方程为,

5、椭球面方程为.3、锥面方程为其中锥面的半顶角为.4、 对，绕轴旋转生成的旋转曲面方程为.5、空间曲线关于面的投影柱面方程为(消).（四）空间切向量与法向量（数一）1、空间曲线过相应于点处的切向量为，切线方程为，有向曲线元，是与同向的单位向量，为弧长元素.（数二需掌握平面弧长元素）2、 过其上点处的切向量为.3、曲面过其上点处的法向量为，切平面方程为.注：数二需掌握平面曲线上点处的法向量为.4、曲面过相应于点处的法向量为，有向曲面元，是与同侧的单位向量，曲面面积元素 .（五）方向导数与梯度（数一）1、记忆方向导数与梯度的计算公式： 在点处的梯度为，在点处沿方向的方向导数为，为的方向角，为轴到的转

6、角，在处沿梯度方向的达到最大值.注：在处的全微分在处沿方向的方向导数为，其沿梯度方向的达到最大值.二、典型例题（公共）例1、设 则.例2、设，问在点处:(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微?解： (1) ，同理；(2) 因，可知该极限不存在 由对称性，同理证不存在. 故及在处不连续；(3) ，则其于处可微.注：常用夹逼求二重极限，（）.例3、设则.例4、设, 具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数, 求.解：，.注：对常用确定，用确定，.，.例5、设函数可微，确定了，其中为常数，且满足，则提示：本题用全微分法，也可运用两端求导法与公式法，但在其过程中，要注意链式法则例6

7、、已知具有二阶导数，且， 由所确定，设，求.解：在中, 令 得，将其两边对求导得，再对求导得将代入上面两式得 ，将，代入上面两式得.注：常用两端求导法求隐函数二阶（偏）导数值，可进一步研究其极值性.例7、设,而是由方程所确定的的函数,若都具有一阶连续偏导数，则.提示：方程的两边求微分得.例8、求由方程确定的函数的极值.解将方程两边对求偏导, 得 因,代入得驻点，将上述两个方程再对求偏导, 得 ， 则 ，将代入方程,得当则为极小值.当则为极大值.解二 配方法：，为极大值, 为极小值.例9、已知函数 的全微分，并且求在椭圆域上的最大值和最小值.解:，则，由，则 令得可能极值点为，且再考虑其在边界曲

8、线上的情形：令，由 得驻点， ，而 ，可见在区域内的最大值为，最小值为.推广：求证：.例10求函数 在条件下的极值.解 令 有 ， ， 得 ，又得， 解得驻点，注意约束集为单位圆，是有界闭集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在驻点达到，最大者为极大值，最小者为极小值.例11、求曲线与之间的距离.（数一）解：任取，则由，得唯一驻点，从几何意义知客观存在，故所求距离为注：（1）的最小值为从几何意义上知，到的距离之和最小为（2）函数的最小值为提示：该题可转化为在上求一点，使其到直线的距离最短注：该题可用几何法求解三、空间切（法）向量、方向导数与梯度（数一）例1、求曲线过点的切线方程，并判断其与的位

9、置关系解: 曲线在的切向量 则其切线方程为，而已知平面的法向量则又不在平面上，故所求切线方程与平面平行例2、椭球面与锥面的交线上点处的切线方程为. （）例3、在第一卦限内求曲面上一点，使过该点的切平面垂直于，且与三个坐标面所围立体的体积为.解: 设点，过其切平面法向量，得（1）切平面在三坐标轴上的截距为：则题设体积 ，即，与（1）联立，得点为和. 例4、函数在点处的梯度等于(D)(A) (B) (C) (D)例5、在点处沿下列哪个方向的方向导数最大（） 解：，故选（）例6、设确定了隐函数，求其在点处方向导数的最大值解：当时，设， 则 ,有，故例7、若函数在点处沿轴正方向的方向导数取得最大值，则

10、提示：例8、求在处沿指向方向的方向导数.提示：.例9、求函数在点处沿的方向导数，其中为过处的内法向量.解： 令 ,则可取,故 .注1：过处法向量的方向为向上（下），有向曲面的侧规定为其法向量的指向，有向曲面的上（下）侧，其法向量的指向为向上（下）.注2：若为封闭曲面，则有向曲面的侧也规定为其法向量的指向，有向曲面的内（外）侧，其法向量指向曲面内（外）部，这样的法向量简称内（外）法向量.四、课后练习（公共）1（A）、设 则 .2（A）、已知，则（B）（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在，不存在 （D），都不存在3（A）、考虑二元函数的下面4条性质:在点处连续,在点处的两个偏导数连续,在点

11、处可微,在点处的两个偏导数存在.若用表示可由性质推出性质,则有( )（A） （B） （C） （D） .4（A）、二元函数在点处可微的一个充分条件是(D)(A) (B) (C) (D) 5（B）、如果在处连续，那么下列命题正确的是 (B)（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在提示：，反之不行6（A）、设连续，且则.7（B）、设问在点处:(1) 是否连续?（是，夹逼） (2)偏导数是否存在? （是） (3)是否可微? （否,特殊路径）8（A）、设, 其中存在，则(B)(A) (B) (C) (D) 9（A）、设，根据隐函数存

12、在定理，在的一个邻域内该方程能确定的具有连续偏导数的隐函数的个数为10（A）、设则.11（A）、设函数，则.12（A）、设确定，则.13（A）、设函数，其中可微，则.14（A）、设是二元可微函数，则.15（A）、设由确定,其中可微,且则.16（A）、设，确定，则17（A）、设二导连续, 则.18（A）、设函数，则19（B）、设二阶偏导连续, 且满足 又, 则.20（B）、设,若都具有一阶连续偏导数，且,则.21（B）、设由确定，其中 二阶可导，且，则（）,（）记， .22（B）、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，则 23（A）、求函数的极值. 是其极大值24（A）、

13、求二元函数的极值. 为其极小值25（A）、设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件为（A）（A） （B）（C） （D）26（B）、设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(D)(A) 若，则 (B) 若，则. (C) 若，则 (D) 若，则. 27（B）、设是由确定的函数,求的极值点与极值. 是其极小点,极小值为；是其极大点,极大值为28（B）、在约束下的最大值为，最小值为.29（B）、在上值域为. 30（B）、在上的值域为.31（B）、面上到距离平方和最小的点为. 32（B）、上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为133（B）、内接于面的长

14、方体（各表面平行于坐标面）的最大体积为.34（B）、已知曲线，求点距离面最远点和最近点.最远点为，最近点为.35（B）、抛物面被平面截成一个椭圆,求原点到椭圆的最长和最短距离.五、空间切（法）向量、方向导数与梯度课后练习（数一）1(A)、曲面在点的切平面方程为（A）（A）（B）（C）（D）2(A)、若上点处的切平面平行于平面则点的坐标是(C)(A) (B) (C) (D) 3(B)、设在点的附近有定义，且，则(C)(A) (B)曲面在处的法向量为(C)曲线 在处的切向量为(D)曲线 在处的切向量为提示： 在处的切向量为.4(A)、曲面上点处的平面与面夹角的余弦为. 5(A)、求过点的法线方程，并判断其与的位置关系法线方程为；平行6(A)、确定并求的切线, 使之与平面垂直.；.7(B)、求过作与曲面相切的平面方程. （用平面束方程）.8(B)、设直线 在平面上,而平面与曲面相切于点求之值.（,用平面束方程）9(A)、求证： 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于.10(B)、设可微，证明：曲面任一法向量垂直于某常向量.提示：常向量为.11(A)、.12(B)、若向量，且二元可微函数在点处