多元函数的极限与连续性§1平面点集_第1页
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1、第十五章 多元函数的极限与连续性§1 平面点集1设是平面点列，是平面上的点. 证明的充要条件是，且.2 设平面点列收敛，证明有界.3 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8).4设是闭集，是开集，证明是闭集，是开集.5证明开集的余集是闭集.6设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足且.7用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8用致密性定理证明柯西收敛原理.9设是平面点集，如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集. 证明紧集是有界闭集.10设是平面上的有界闭集

2、，是的直径，即.1 / 5求证：存在 ，使得.11仿照平面点集，叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12叙述并证明三维空间的波尔察诺魏尔斯特拉斯致密性定理.§2 多元函数的极限与连续性1叙述下列定义： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2求下列极限（包括非正常极限）： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) .3讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)

3、 ；(6) ；(7) ；(8) .4叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5叙述并证明存在的柯西收敛准则.6试作出函数，使当时，(1) 全面极限和两个累次极限都不存在；(2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；(3) 全面极限和两个累次极限都存在.7讨论下列函数的连续范围：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) (6) (7) ；(8) (9) .8若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意和，有，其中为常数，求证在内连续. 9证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10设二元函数在全平面上连续，求证： (1) 在全平面有界； (2) 在全平面一致连续. 11证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数. 12证明：若是有界闭域，是上的连续函数，则是闭区间. 友情

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