一题多解与一题多变

1、 一题多解与一题多变 浦东新区彭镇中学 王国新 在几何证明题中，学生往往只注意证明结果，而不注意证明的方法，有时用的方法过于繁琐。对于一道题的证明方法往往不是一种方法。在教学中，我非常注重对几何证明题的一题多解和一题多变，取得了较好的教学效果。原题：已知，如图（1）：BAC=90°，BA平分DBC，BDDE，CEBD。求证：BC=BD+CE。分析：这种题形一般有两种方法，一种是把一条 线段截成两条线段，另一种是把两条线段接成一条线段。本题可过点A做AFBC，F为垂足，分别证BF=BD，CF=CE即可。或延长BD、CA交与点F，再证BF=BC。证法一，过点A作AFBC、F为垂足。在AB

2、D和ABF中ABDABF (A,A,S)BD=BF，BAD=BAF，D=AFB(全等三角形的对应边相等,对应角相等.)BAF+CAF=90°(垂直定义),DAB+BAC+CAE=180°(平角定义)DAB+EAC=90°(等式性质)CAF=CAE(等角的余角相等)CEBD (已知) D+E=180°(二直线平行,同旁内角互补.)AFB+AFC=180°(平角定义)E=AFC(等角的补角相等)在ACF和ACE中 ACFACE(A.A.S) CE=CF(全等角形三的对应边相等) BD+CE=BF+FC 既BC=BD+CE证法二,延长CE,BA交于F

3、.BDCE (已知) F=DBA (二直线平行, 内错角相等.)ABD=ABC (已知)F=ABC （等量代换） CB=CF （等角对等边）CAB=90°(已知) AB=AF（等腰三角形三线合一）在ABD和AEF中ABDAEF （A.S.A）BD=EF(全等三角形的对应边相等)CF=CE+EF CB=CFCB=CE+BD证法三，在CB上取一点F，使BF=BD，连接AF，在ABD和ABF中 ABDABF (S.A.S)BAD=BAF D=AFB=90(全等三角形的对应角相等)BAC=BAF+CAF=90°(已知)DAB+BAF+CAF+CAE=180°(平角定义)B

4、AD+CAE=90°(等式性质)CAE=CAF (等角的余角相等) CEBD (已知)D+E=180°(二直线平行,同旁内角互补.) D=90°(垂直定义)E=90°(等式性质)在ACE和ACF中 ACEACF(A,A,S)CF=CE(全等三角形的对应边相等)CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE证法四, 在CB上取一点F，使CF=CE，连接AF。以下同证法三类似，略。变式：本题可改编以下几个题目：1， 如图，BA平分DBA，CA平分BCE，BDCE，求证：BC=BD+CE。证明：在CB上取一点F，使BF=BD，连接AF，在ABD和ABF中ABDABF

5、 (S.A.S)D=AFB (全等三角形的对应角相等)BDCE （已知） D+E=180°(二直线平行,同旁内角互补.)AFB+AFC=180°(平角定义)E=AFC (等角的补角相等)在ACE和ACF中 ACEACF(A,A,S)CF=CE(全等三角形的对应边相等)CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE还可以用上面证法二的方法证明，略。2，如图，BA平分DBA，DA=DE，BAC=90°，求证：BC=BD+CE。3，如图，BA平分DBA，CA平分BCE，BC=BD+CE，求证：BDCE。4，如图，BA平分DBA，DA=DE，BC=BD+CE，求证：BDCE。5，如图，BA平分DBA，CA平分BCE，BC=BD+CE，求证BAC=90°。6，如图，DA=DE，BDCE，BC=BD+CE，求证：BA平分DBA