三角形全等的判定方法

1、三角形全等的判定方法浦东新区泥城镇彭镇中学 王国新 电话， 知识内容1， 判定三角形全等的方法判定方法条 件作 用边角边公理（SAS）两边和它们夹角对应相等证明两个三角形全等角边角公理（ASA）两角和它们夹边对应相等证明两个三角形全等角角边定理（AAS）两角和其中一角的对边对应相等证明两个三角形全等边边边公理（SSS）三边对应相等证明两个三角形全等斜边。直角边定理（H，L）斜边和一直角边对应相等证明两个直角三角形全等全等三角形定义三边对应相等，三角对应相等证明角，线段相等 2不能判定三角形全等的条件（1）角角角（AAA） 有三角对应相等的两个三角形不一定全等。 如图(

2、1),ABC中，DEBC，则ADEB，AEDC ,AA。而ADE和ABC不全等 （2）边边角（SSA） 有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形不一定全等 （2）如图(2),ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，而两个三角形不全等。（1） 3. 判定方法的选择根据已知条件，选择正确的判定方法，见下表。 已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等（SAS） （ AAS） （ ASA）两角对应相等 （ASA） （ AAS）两边对应相等 （SAS） （SSS） （H L）4. 如何选择两个三角形证全等 （1）从结论出发，看结论的线段或角（用等量代换后的线段或角）在那两个三角形中，可证它们全等。

3、（2）从题设出发，看题设条件能确定那两个三角形，可证它们全等。（3）由题设和结论一起出发，看它们能确定那两个三角形，在证它们全等。（4）分析问题时，可把相等的线段或角在图中标出记号（或不同颜色），使我们一眼就能看出那两个三角形全等，从而为我们证明三角形全等开了方便之门。二， 典例分析例一，已知，在RtABC中，ABAC，BAC90，12, CEBD的延长线于E.求证：BD2CE分析：要证BD2CE ，想到构造线段2CE或取线段BD的一半。证明：证法一.分别延长BA，CE交于F。 BECF （已知）BEFBEC90（垂直定义） 在BEF和BEC中， BEFBEC(ASA) CE=FE=CF（全等

4、三角形对应边相等）BAC=90，BECF （已知） BAC=CAF=90 1+BDA90 1+F=90BDA=F在ABD和AFC中 ABDAFC （AAS）BD=CF (全等三角形对应边相等) BD=2CE说明：此引辅助线法，可以得到等腰三角形，起到加倍线段的作用，故以后如需加倍线段，可考虑此法。 证法二.作线段BD的中垂线FG交BC于G，F为垂足，连接DG。 则 BGDG （角平分线性质）2=6 （等边对等角）ABAC，BAC90ABC34512, （已知）12622.551+645(三角形外角性质)53 (等量代换)DCDG （等角对等边）DCBG (等量代换)CEBD （已知）2+ 3+

5、490(直角三角形两锐角互余)490-(2+ 3) 90-(22.5+45) 22.542 (等量代换)在BFG和CED中 BFGCED (A.A.S)BFCE (全等三角形对应边相等)BD2BF (已作)BD=2CE (等量代换) 说明：此引辅助线法，可以得到等腰三角形，起到 取线段一半的作用。例二，已知：如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF 求证：BE=DF分析：BE和DF分别在ABE和CDF（BDF和DBE）中，由已知条件，不能得它们全等。而由已知条件可先证ABDCDB.由此得A=C.则ABECDF。故问题得证。证明：连接BD，在ABD和CDB中 ABDCDB （SSA=C（全等三角

6、形对应角相等）AD=CD DE=BF （已知）AD+DE=CB+BF ，即AE=CF在ABE和CDF中 ABECDF （SAS） BE=DF （全等三角形对应边相等） 说明：有四边形时，可以化成三角形来解决问题。例三，已知：如图P为AOB平分OP上的一点，PCOA 于C，OAP+OBP=180求证：AO+BO=2OC 分析：作PDOB 于D，则有OC=OD，所以2OC=OC+OD，只须在证AC=BD，可证PAC和 PBD全等。证明：证法一，作PDOB于D PCOA （已知）OCP=ODP=90 （垂直定义）COP=DOP （角平分线定义） 在 COP和DOP 中 COPDOP （AAS） PC

7、=PD OC=OD （全等三角形对应边相等）OAP +OBP= 180 （已知） PBD +OBP= 180 （邻补角定义）OAP=PBD 在CAP和DBP 中 CAPDBP （A.A.S） AC=BD （全等三角形对应边相等） OA=OC+CA OB=ODBD AO+BO=OC+OD=2OC 证法二，在OC上截CD=CA ，连结PD。 PCOA （已知）ACP=DCP=90 （垂直定义） 在CAP和CDP 中 CAPCDP （SAS）OAP=ADP （全等三角形对应角相等） OAP +OBP= 180 （已知） ADP+ODP= 180 （邻补角定义）OBP=ODP （等角的补角相等）在 O

8、DP和 OBP 中 ODP OBP （AAS）OB=OD（全等三角形对应边相等）OA=OC+CA OB+OA=OB+ OC+CA OA+OB=OD+CD+OC 即：OA+OB=2OC证法三， 在OA 上取点D，使OC=CD，连结PD ,如图PCOA （已知） ACP=OCP=90 （垂直定义） OCPDCP （SAS）OPDP （全等三角形对应边相等）D AOP（全等三角形对应角相等） AOP=BOP (已知) D=BOP (等量代换) DAP+OAP= 180 （邻补角定义） OAP +OBP= 180 （已知）DAP=OBP (同角的补角相等) 在 OBP和DAP 中 OB=AD（全等三角

9、形对应边） OD=OA+AD2OC=OA+OB 说明：当图中没有三角形全等时，可构造一个三角形和图中的三角形全等，为证题创造条件。三，强化训练 1、求证：有两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等。 2、如将上题中的锐角改成钝角，那么这个结论成立吗？如成立，请说明理由。3、求证：全等三角形对应边上的中线相等。4、已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：ABCD。5、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，过O的直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F 6、已知：如图，E、F在BD上，且AB=CD、BF=DE、AE=CF，AC与BD交于O，求证：AC平分BD7已知：如图，在ABC中，BAC90，ABAC，BD是中线，AFBD